Во елементарната геометрија, аголот е еден од најосновните поими. Агли се цртаат во дводимензионален простор, односно во рамнина.

  • Агол се формира од две полуправи со заедничка почетна точка. На тој начин рамнината е поделена на два дела. Едниот дел на рамнината се вика внатрешност на аголот, а другиот дел се вика надворешност на аголот. За да се означи внатрешноста на аголот, се пишува кружен лак помеѓу полуправите со кои е определен аголот.[1]
    • Заедничката почетна точка на полуправите се нарекува теме на аголот.
    • Полуправите се нарекуваат краци на аголот.
    • За ознака на агол најчесто се користи мала буква од грчката алфабета како итн.
Агол
Angle std.svg
Агол α
Типагол во рамнина (2Д)
Поддршкасамостоен
Поврзано: Видови агли
Angle mk.svg Angle ex1.svg Angle ex2.svg Angle ex3.svg
Составни делови на агол Некој агол означен со α Друг агол означен со β Трет агол означен со α
  • Понекогаш агол може да се дефинира како рамнинска форма составена од две полуправи и теме заедно со неговата внатрешност, т.е. со сите точки „внатре“ во аголoт, т.е. сите точки помеѓу полуправите каде што е лакот на аголот.[2]
  • Агол може да се дефинира како ротација, односно како количество на ротација околу темето кое е потребно за едната полуправа да се поклопи со друга полуправа, следејќи го лакот.

Двете дефиниции за агол го имаат своето место во сфаќањето на поимот агол (види подолу).[3]

Агли од точки, прави или отсечкиУреди

За да се определи агол во рамнина се потребни три различни точки од кои една е темето на аголот, а другите две служат за да се определат краците на аголот. Нека трите точки се означени со А, В и С. За цртање на аголот АВС, најпрво се цртаат полуправите од В низ А и од В низ С (со заедничка почетна точка В). Потоа, се црта кружен лак тргнувајќи од полуправата ВА кон полуправата ВС во насока спротивна на насоката на движење на стрелките на часовникот. Аголот се означува со   (види слика).

Агол од три точки
       
Три точки во рамнина Полуправите од В Внатрешност на аголот Аголот  

Две прави со пресечна точка В формираат 4 посебни аглa. Почнувајќи од точката В правите формираат 4 полуправи, а секој пар последователни полуправи формира еден од 4-те аглa.

  • Секој напореден пар агли (т.е. пар агли со заеднички крак) од овие четири агла кои се суплементни (т.е. збирот на нивни големини е рамен агол = 180°).
  • Секој накрсен пар агли (т.е. пар агли без заеднички крак) од овие четири агла се складни (т.е. со еднаква големина).
 
Внатрешни агли α, β и γ и надворешни агли α′, β′ и γ′ на еден триаголник.

Геометриските форми како што се многуаголниците имаат парови на страни со заедничко теме. Страните на многуаголниците се отсечки што значи дека можат да се продолжуваат во (две) прави. Со ова се формираат 4 посебни агла (види го претходното). Агол кој лежи во внатрешноста на многуаголникот се нарекува внатрешен агол на многуаголникот. Кој било од неговите напоредни агли се нарекува надворешен агол на многуаголникот. Меѓутоа, од двата надворешни агла за еден фиксен внатрешен агол за секое теме (види слика), се означува само едниот. Внатрешните агли на еден многуаголник определуваат голем број од неговите својства (види многуаголник).

Големина на агол во степениУреди

  Главна статија: „Степен (агол).

Во елементарната геометрија, големината на еден агол е позитивна и се мери во единици кои се нарекуваат степени. Ознаката за степен е o, односно мало крукче како горен индекс.

  • Ако лакот на кој одговара аголот е целата кружница (краците се поклопуваат), тогаш аголот има 360 степени, односно 360o. Агол од 360o се нарекува полн агол.
    • За изборот на бројот 360 како основна поделба на кружницата види степен.
  • Ако двете полуправи формираат права, тогаш темето на аголот е точка на правата, независно каде се пиши лакот таа е полукружница и аголот е со половина големина од цела кружница. Ваков агол има 180o (како ½ од 360o). Агол со 180o се нарекува рамен агол.
  • Ако лакот помеѓу двете полуправи формира четвртина кружница, таа се вика прав агол или квадратен агол и има 90o (како ¼ од 360o). Сите внатрешните агли на квадрат или правоаголник се прави агли.
  • Значи, во елементарната геометрија, големината на агол α е пропорционален на делот на лакот кој одговара на аголот, во однос на целата кружница, т.е. пропорцијата на аголот од 360o (полн агол).
  • Во елементарната геометрија, секој агол α има позитивна големина и тоа:    
 
Агломер со 180°
  • За цртање на агол со одредена големина или за мерење на големина на веќе нацртан агол може да се користи агломер (види агломер).

Пример: Нека е даден агол кој е 5 пати помал од полниот агол. Големината на дадениот агол е  .

Пример: Нека е даден еден агол и два такви агла формираат рамен агол. Следува дека големината на дадениот агол е  .

Пример: Нека е даден триаголник со три еднакви внатрешни агла. За триаголниците во Евклидова геометрија важи правилото дека збирот на внатрешните агли на триаголник изнесува  . Следува дека големината на секој од внатрешните агли на дадениот триаголник е   (види рамностран триаголник).

Дефиниции на аголУреди

Кај дефиницијата на агол како форма со внатрешност која е множеството од точките опфатени помеѓу краците, секогаш се сфаќа дека големината на аголот е позитивна. Агли во геометриски фигури се разгледуваат од оваа гледна точка. На пример, големината на сите агли во еден многуаголник (внатрешни или надворешни) се позитивни. Аглите дефинирани според оваа дефиниција едноставно се цртаат. Меѓутоа, според оваа дефиниција потешко се разбира поимот за големина на аголот.[4]

Со дефиницијата на агол како ротација, едноставно се пресметува големината на аголот како пропорција на ротацијата во однос на цела ротација, односно во однос на полн агол кој има 360o. Исто така, оваа дефиниција може да се обопштува со поимот за насока на ротација и се дефинираат позитивни и негативни агли. Меѓутоа, со оваа дефиниција потешко се разбира цртањето на агол.[5]

Во елементарната геометрија, агол истовремено се смета и како фигура и и како ротација. Велиме „Да се нацрта  .“, а мислиме „Да се нацрта агол   со големина  “. Значи кај поимот агол, фигурата и нејзината големина се непосредно поврзани.

Видови на аглиУреди

  Главна статија: „Видови агли.

Агол   според неговата големина може да биде позитивен и негативен.

Друга поделба на ненасочените агли во рамнината според нивната големина е следнава: агол   за кој важи дека  може да биде:

  празен агол
  остар агол
  прав агол
  тап агол
  рамен агол
  неконвексен агол
  полн агол

Некои парови на агли имаат меѓусебен однос и заемна класификација:

Оваа поделба на аглите може да се употреби и кај агли на трансферзалa на две паралелни прави.

Аглите во однос на позицијата на темето во однос на кружница се делат на:

Големина на агол во радијаниУреди

  Главна статија: „Радијан.

Има три основни единици за мерење на агли: степени, радијани и градиенти во однос на тоа на колку еднакви дела е поделен правиот, рамниот или полниот агол.

  • Степенот е ознака за агол која најмногу се користи во основното и во средното образование Ознака за степен е  . Правиот агол има  , рамниот агол има  , а полниот агол има  .
  • Градиaнoт се користи најретко. Бил воведен после Француската револуција и најмногу се користел во артилеријата на француската армија. Ознака за градијан  , grad, grd или gr. Се нарекува уште и „нов степен“. Правиот агол има  , рамниот агол има   ( ), а полниот агол има  ( ).
  • Радијанот е ознака за агол која е присутна во SI-системот на интернационални мерки и се користи претежно во науката и научната литература. Ознака за радијан е  , но таа понекогаш не се пишува затоа што е бездимензионална. Големина на агол без ознака за степени (би требало) да значи дека е мерена во радијани. Честопати при првото објаснување на радијани се користи ознака rad. Еден радијан е големина на централен агол во некоја кружница кој одговара на кружен лак на таа кружница со должина еднаква на радиусот на кружницата. Правиот агол има   радијани, рамниот агол има   радијани, а полниот агол има   радијани.

Денес, типичен научен калкулатор има копче (или комбинација од копчиња) за промена на мерната единица на аглите (анг. mode) со која ќе работи дигитронот. Тоа копче обично е DRG. Изборот на мерната единица се прави пред да се внесе големината на аголот.

Пример: Еден агол   има големина 2, т.е.  . Бидејќи нема знак за мерна единица, значи дека големината е зададена во радијани. Големината на овој агол во степени е

 

На интернет, повеќето пребарувачи вршат автоматска конверзија на големината на аголот од една во друга мерна единица.

Пример: Аголот   има 45°. Во пребарувач се внесува 45 degrees in radians. По притискање на ентер се добива 45 degrees=0,785398163 radians, т.е.  . Меѓутоа, егзактниот одговор е:  .[6]

Агол во стандардна позицијаУреди

Во Декартов правоаголен координатен систем, аголот   е во стандардна позиција ако темето е во координатниот почеток   и почетниот крак е позитивниот дел на  -оската.[7] Ако агол е зададен во стандардна позиција, можно е да не се означи почетниот крак, т.е. да не се означи посебно дека позитивниот дел од  -оската е почетен крак на аголот.

Насока на завртување. Агли со произволна големинаУреди

Надвор од елементарната геометрија, корисно е големина на агол да може да биде кој било реален број. За таа цел, најпрво се дефинира поимот насока на завртување и насочен агол. Во продолжение ќе работиме со агли во стандардна позиција.

Насока на завртување (ротација) е насоката по која се завртува (ротира) првиот крак на аголот сè додека не се поклопи со вториот крак, без притоа да се враќа наназад. Има две насоки во кои може да се движи првиот крак:

  • позитивна или обратна од насоката на движењето на стрелките начасовникот и
  • негативна или иста со насоката на движењето на стрелките начасовникот.

Соодветно на насоката на ротација се дефинира знакот на големината на некој агол:

  • големината на аголот е позитивна (или аголот е позитивен) ако насоката од првиот кон вториот крак на аголот е позитивна и
  • големината на аголот е негативна (или аголот е негативен) ако насоката од првиот кон вториот крак на аголот е негативна.

Гледаме дека на овој начин може да се дефинира агол со произволна големина.

Забелешка: Најчесто аглите во III и IV квадрант се означуваат како негативни агли. Циклометриските функции (инверзните функции на тригонометриските функции) за синус и тангенс се дефинираат на интервалот   и пресметувањето на нивните вредности со дигитрон дава вакви агли. На пример,  .[3]

Котерминалност на аглиУреди

Два аглa се нарекуваат котерминални ако имаат исти темиња, почетниот крак на првиот агол се поклопува со почетниот крак на вториот агол и крајниот крак на првиот агол се поклопува со крајниот крак на вториот агол.[8]

  • Услов за котерминалност. Аголот  , односно  , е котерминален со аголот   за секој цел број  .
  • Единственост. За секој агол постои единствен котерминален агол   за кој:   односно   (види слики подолу)

Примери:

  • Аголот   е котерминален со аголот  . Крајниот крак на двата аглa е во истата позиција во IV квадрант.
  • Аголот   е котерминален со аголот  . Крајниот крак на двата аглa е во истата позиција во III квадрант.
  • Аголот   е котерминален со аголот  . Крајниот крак на двата аглa е во истата позиција во IV квадрант (види слика).еколку агли и нивните котерминални агли.

На сликата подолу се прикажани позитивни, негативни и котерминални агли.

Три (различни) агли во стандардна позиција
 
Агол со негативна големина (степени) Позитивен агол (агол со позитивна големина изразена во степени) Негативен агол (агол со негативна големина изразена во радијани)
Соодветните котерминани агли помеѓу 0° и 360°
 
Агол од –53° котерминален
со –53°+360°=307°
Агол од 394° котерминален
со 394°–360°=34°
Агол од –15,063 котерминален
со –15,063+6π=3,787

Примери: Аголот  .

Аголот  .

Аголот  .

Аголот  .

  • За кој било агол  , котерминалниот агол помеѓу   и   (или помеѓу   и  ) се добива со повеќекратно одземање (ако е позитивен) или повеќекратно додавање (ако е негативен) на 360° (или на  ).
  • Забелешка: Иако во примерите се користи знакот =, ова не е правилно! Правилно, треба да се каже дека двата агла се котерминални. Меѓутоа, најчесто оваа дистинкција не е битна.
    • Битна може да биде во реални ситуации. На пример, не е исто завртување на кола на мраз за агол од   и завртување за гол од   или за агол од  .
    • Во математиката, оваа дистинкција е битна при пресметување на вредности на сложени функции кои содржат и нетригонометриски функции. На пример, вредноста на фукцијата   за   e  , a вредноста на истата функција за   e  .
 
Агол во поларен координатен систем

Агли во рамнински координатни системиУреди

Во геометријата во рамнината, на точка со правоаголни координатни   се придружува еднозначно определен агол   во стандардната позиција на следниов начин. Темето на   е координатниот почеток  , позитивниот дел од  -оската е почетниот крак (и вообичаено не се обележува), а крајниот крак е од координатниот почеток низ точката  . Лакот со кој се означува аголот   почнува од х-оската во насоката спротивна на движењето на стрелките на часовникот завршувајќи на крајната полуоска низ  . Земајќи   - должината на отсечката  , на секоја точка   во рамнината може на единствен начин да и се придружи подредени пар   кои се викаат координати на   во т.н. поларен координатен систем. Означуваме   (види поларен координатен систем и координатни системи ).[9]

 
Агол помеѓу две криви

Агол помеѓу две рамнински кривиУреди

Нека   и   се две реални функции од една реална променлива кои се диференцијабилни во точката  . Нека нивните графици се рамнински криви кои имаат пресек во точката  . Агол помеѓу кривите во точката   е аголот   помеѓу соодветните тангенти на кривите во таа точка.[10]

 
 
Агол помеѓу два полупречнички вектора во простор. Т1=(0,3,2), Т2=(–3,1,0). Создаден со Геогебра

Агли во простор (просторни агли)Уреди

Два неколинеарни радиус-вектора во тридимензионален простор   и   определуваат рамнина во простор. Нека   и   се крајните точки на овие радиус-вектори. Аголот помеѓу   и   е аголот   (види слика). Ако радиус-векторите се колинеарни, тогаш аголот помеѓу нив е еднаков на 0°=0.[9] Важи

 
Секоја права во простор определува еден правец и на него два колинеарни радиус-вектора. Следува дека две прави во простор определуваат два правца. Агол помеѓу правите се дефинира како аголот помеѓу соодветните радиус-вектори определени од правите кој е помал од  .
Секоја рамнина определува нормален насочен радиус-вектор. Аголот помеѓу две рамнини е аголот помеѓу соодветните нормални радиус-вектори.

НаводиУреди

  1. „Angle“. Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive
  2. „Interior of an angle“. Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive
  3. 3,0 3,1 „Angles as turns: How can angles be negative?“ (англиски). 2010. Посетено на 1 декември 2013.
  4. „Angles of Inclination vs. Angles of Rotation“ (англиски). MathForum.org. 1999. Посетено на 1 декември 2013.
  5. Bogomolny, A. (2010). „What is an angle?“ (англиски). Посетено на 1 декември 2013.
  6. „45 degrees in radians“ (англиски). wolframalpha.com. Посетено на 1 December 2013. interactive
  7. „Trignometry:Standard position of an angle“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive
  8. „Coterminal angles“ (англиски). Math Open Reference. 2009. Посетено на 1 December 2013. interactive
  9. 9,0 9,1 Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Polar coordinates“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 661. Посетено на 1 септември 2013.
  10. „Angle between two curves“ (англиски). sunshinemaths.com. Архивирано од изворникот на 2014-01-20. Посетено на 1 декември 2013.

Поврзани темиУреди

Надворешни врскиУреди