Координатен систем

Координатен систем — систем во геометријата што користи еден или повеќе броеви наречени координати за точно утврдување на положбата на некоја точка или друг геометриски елемент на некое многуобразие како што е Евклидовиот простор.^[1]^[2] Редоследот на координатите е важен бидејќи често се утрдуваат по нивната положба во подредена кратност или по буква „координата x“. Во елементарната математика, координатите се сметаат за реални броеви, но можат да бидат и комплексни или елементи на поапстрактен систем како комутативен прстен. Координатите имаат важна примена, бидејќи овозможуваат геометриските проблеми да се преведат во бројчени и обратно. Ова е основата на аналитичката геометрија.^[3]

Бројна оска

Најпростиот пример за координатен систем е бројната оска. Во овој систем има права линија (оска) се зема произволна точка O наречена „почеток“. Координатата на точка Т е определена од растојанието од O до Т, кое може да биде позитивно или негативно, зависно од тоа на која страна од почетокот лежи точката Т. Секоја точка има своја координата, и секој реален број е координата на таа точка.^[4]

Бројна оска

Декартов координатен систем

Декартовиот координатен систем на рамнина.

Правоаголни координати

Прототипен пример за координатен систем е Декартовиот координатен систем, наречен и „правоаголен координатен систем“. Во овој систем се одбираат две нормални прави на рамнина и координатите се означени како оддалеченоста од местото во кое се сечат (почетокот). Во тридимензионалната варијанта на истиот начин се одбираат три нормални рамнини и одделеченоста на координатата на секоја од тие рамнини може да ја претставуива секоја точка n во просторот.

Во зависност од насоката и редоследот на координатната оска, системот може да биде деснорак или леворак.

Поларен координатен систем

Друг чест систем за координати на рамнина е поларниот. Во него, се става точка на „полот“ и од оваа точка се повлекува зрак (линија) која ќе бида поларна оска. За даден агол θ, постои една линија низ полот чијшто агол со поларната оска е θ (измерен налево од оската до линијата). Потоа на оваа линија има дадена точка со растојание r од почетокот за даден број r. За даден пар координати (r, θ) постои една точка, но секоја точка е претставена со многу парови координати. На пример, (r, θ), (r, θ+2π) и (−r, θ+π) се поларни координати на една иста точка. Полот е претставен со (0, θ) за секоја вредност на θ.

Цилиндричен и сферен координатен систем

Постојат два позастапени начина на пренесување на поларниот координатен систем во три димензии. Кај цилиндричниот координатен систем, на поларните координати r и θ им се додава координата z. Сферниот систем оди понатаму, претворајќи пар цилиндрични коорднати (r, z) во поларни (ρ, φ), добивајќи тројка (ρ, θ, φ)

Еднородни координати

Една точка на рамнина може да се претстави во еднородни (хомогени) координати, со тројката (x, y, z), каде x/z и y/z се Декартовите координати на точката. Тука се воведува трета координата (инаку за претставување на точката на рамнина се потребни само две) за претставување на точка на проективната рамнина без поѕтреба на бесконечност. Начелно земено, еднородни координати се оние кајшто имаат важност само соодносите на координатите, а не нивните фактички вредности.

Преод од еден во друг координатен систем

Бидејќи постојат многу различни координатни системи за опишување на геометриските фигури, важно е да се познаваат односите помеѓу нив. Овие односи се опишуваат со координатни преоди или трансформации кои даваат формули за координатите на еден систем изразени преку координатите на друг. На пример, на рамнината, Декартовите координати (x, y) и поларните координати (r, θ) имаат ист почеток, а поларната оска е позитивната x-оска, тогаш преодот од поларни во Декартови координати ќе биде x = r cosθ и y = r sinθ.

Координатни криви и површини

Координатни површини во сферниот координатен систем

Доколку, во две димензии, сите освен една координата се постојани, а една може да се менува, тогаш добиваме крива наречена координатна крива (понекогаш наречена „координатна линија“). Ова не важи за сите системи, особено не во еднообразниот. Во Декартовиот систем, координатните криви се всушност прави, напоредни на една од оските. Во други системи, координатната крива може да е општа крива. На пример, координатните криви кај поларниот систем добиени со постојана r се кружници со центар во координатниот почеток. Во Евклидовиот простор, координатните системи освен Декартовиот се нарекуваат криволиниски координатни системи.^[5]

Во тридимензионален простор, ако една координата се земе за постојана, а останатите се променливи, тогаш добиената површина се нарекува координатна површина. На пример, координатните површини добиени при постојана ρ во сферниот координатен систем се сферите со центар во координатниот почеток. Во тридимензионален, простор, пресекот на две координатни површини е координатна крива. Координатните хиперповршини се определуваат на тој начин, но со повеќе димензии.^[6]

Смена на координати

Во геометријата и кинематиката, координатните системи на се користат само за изразување на (линиската) положба на точките, туку и за опишување на аголната положба на оските, рамнините и апсолутно тврдите тела. Во вториот случај, насоченоста на втор (наречен „месен“) координатен систем, приврзана за јазол, се дефинира врз основа на првиот (наречен „глобален“ или „светски“) координатен систем. На пример, насоченоста на едно тврдо тело може да се претстави со матрица на насоченост, која во трите колони ги опфаќа Декартовите координати на трите точки. Овие точки ја определуваат насоченоста на оската на месниот систем и претставуваат краеви на три единични вектори порамнети со тие оски.

Поврзано

Наводи

↑ Woods p. 1
↑ „Координатен систем“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)
↑ „Координати“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)
↑ Woods p. 8
↑ Tang, K. T. (2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. 2. Springer. стр. 13. ISBN 3-540-30268-9.
↑ Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation. Springer. стр. 38. ISBN 3-540-34235-4.

Војцеховски, М.И.; Иванов, А.Б. (2001), „Координати“, Во Хацевинкел, Михил (уред.), Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104CS1-одржување: повеќе имиња: список на автори (link)
Woods, Frederick S. (1922). Higher Geometry. Ginn and Co. стр. 1ff.
Shigeyuki Morita, Teruko Nagase, Katsumi Nomizu (2001). Geometry of Differential Forms. AMS Bookstore. стр. 12. ISBN 0-8218-1045-6.CS1-одржување: повеќе имиња: список на автори (link)

Надворешни врски

Координатен систем на Ризницата ^?
Координатни системи — Скопско астрономско друштво

[1] Woods p. 1

[2] „Координатен систем“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

[3] „Координати“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

[4] Woods p. 8

[5] Tang, K. T. (2006). Mathematical Methods for Engineers and Scientists. 2. Springer. стр. 13. ISBN 3-540-30268-9.

[6] Liseikin, Vladimir D. (2007). A Computational Differential Geometry Approach to Grid Generation. Springer. стр. 38. ISBN 3-540-34235-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]