Трансверзала (геометрија)

Нека a и b се две прави во рамнина. Трета права која ги пресекува a и b во две посебни точки се вика трансверзала (или пресечка) на a и b.

Во Евклидовата геометрија Поставката за паралелност, (или Постулат за паралелност, или Петти Евклидов постулат), вели дека две прави се паралелни само ако пар ненапоредни, внатрешни агли од истата страна на која било трансверзала се суплементни. (Ваков пар агли се викаат соседни агли на трансверзала.)

Трансверзала t на две прави	Осум агли на трансверзала.		Трансверзала на непаралелни прави. Спротивните агли не се суплементни.	Трансверзала на паралелни прави. Спротивните агли се суплементни.

Агли на трансверзала

Со трансверзала се формираат 8 агли.

• 4 со секоја од двете прави, имено α, β, γ и δ па α₁, β₁, γ₁ и δ₁.
• 4 се внатрешни (помеѓу двете прави), имено α, β, γ₁ и δ₁ и 4 се надворешни, имено α₁, β₁, γ и δ.
• Има два пара соседни агли, имено парот α и δ₁ и парот β и γ₁. Како што рековме, Евклидовата поставка за паралелност вели дека правите се паралелни ако кој било од овие парови на агли се дадени и се докаже дека се суплементни. (Потоа од дефиниција на права и особини на накрсни агли, исто така и аглите на другиот пар агли се суплементни.)
• Трансверзала која ги пресекува паралелните прави под прав агол се вика нормална трансверзала. Во овој случај сите 8 агли се прави агли.

Кога правите се паралелни, трансверзала дава повеќе пара на складни и суплементни агли. Некои од овие парови имаат свои имиња. Од ова, следува дека аглите формирани со трансверзала низ паралелни прави имаат значително важни особини. Од друга страна, трансверзала низ непаралелни прави нема никакви посебни особини во елементарна математика, па затоа честопати со самиот збор трансверзала се претпоставува дека пресечните прави се паралелни.

Еден пар согласни агли. Со паралелни прави, аглите се складни.

Согласни агли

Согласни агли ги викаме оние парови аглите кои:

• немаат заедничко теме
• лежат на иста страна од трансверзалата
• едниот е внатрешен, а другиот надворешен агол.

Во нашиов пример, согласни агли се следниве парови агли:

• α и α₁
• β и β₁
• γ и γ₁
• δ и δ₁

Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска.

Основна претпоставка (премиса): Правите се паралелни ако и само ако кој било пар согласни агли формирани од која било трансверзала се складни, т.е. се со иста големина.

Ова следува од Поставката за паралелност користејќи ги особините на накрсни и суплементни агли. Исто така доколку аглите од еден пар согласни агли се складни, тогаш и аглите од сите други парови се складни. Значи со паралелни прави: α=α1, β=β1, γ=γ1 и δ=δ1.

Еден пар наизменични агли. Со паралелни прави, аглите се складни.

Наизменични агли

Наизменични агли ги викаме оние парови аглите кои:

• немаат заедничко теме
• лежат на различни страни од трансверзалата
• двата се внатрешни, или двата се надворешни агли

Во нашиов пример, наизменични агли се следниве парови агли:

• Двата агли се внатрешни:
  • α и γ₁
  • β и δ₁
• Двата агли се надворешни:
  • δ иβ₁
  • γ и α₁

Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска.

Основна претпоставка: Две прави се паралелни ако и само ако кој било пар наизменични агли формирани од која било трансверзала се складни, т.е. се со иста големина.

Ова следува од Поставката за паралелност користејќи ги особините на накрсни и суплементни агли. Исто така доколку аглите од еден пар наизменични агли се складни, тогаш и аглите од сите други парови се складни. Значи со паралелни прави: α=γ1, β=δ1, γ=α1 и δ=β1.

Еден пар спротивни агли. Со паралелни прави, аглите се сумплементни.

Спротивни агли

Спротивни агли ги викаме оние парови аглите кои:

• немаат заедничко теме
• лежат на иста страна од трансверзалата
• двата се внатрешни

Во нашиов пример, спротивни агли се следниве парови агли:

• α и δ₁
• β и γ₁

Кога правите не се паралелни, овие парови немаат меѓусебна врска.

Основна претпоставка: Две прави се паралелни ако и само ако кој било пар спротиви агли формирани од која било трансверзала се суплементни, т.е. нивниот збир е 180°.

Оваа претпоставка всушност е Поставката за паралелност. Значи, со паралелни прави: α+δ₁=180° и β+γ₁=180°.

Други одлики на трансверзали

Ако три прави во општа положба формираат триаголник, тогаш шести отсечки формирани од трансверзала која минува низ нив ја задоволуваат Теоремата на Менелаус.

Поврзани теореми

Поставката 5 на Евклид е Поставката за паралелност и вели: Ако збирот на големините на две внатрешни ненапоредни агли кои лежат на истата страна на една трансверзала се собираат до помалку од два прави агли, тогаш правите некаде се сечат.

Претпоставката 27 на Евклид е следната: Ако трансверзала пресекува две прави така на внатрешните наизменични агли се складни, правите се паралелни. Доказот е со доведување до противречност: Ако правите не се паралелни, тогаш се сечат и се формира триаголник. Во тој случај, еден од еднаквите наизменични агли е надворешен агол на триаголникот и е еднаков на спротивниот внатрешен агол на триаголник. Оваа е противречност на Претпоставката 16 која вели дека надворешен агол на триаголник секогаш е поголем од спротивниот внатрешен агол.

Претпоставката 28 на Евклид го обопштува овој резултат на два начини. Прво, ако трансверзала минува низ две прави така што согласните агли се складни, правите се паралелни. Второ, ако трансверзала минува низ две прави така што соседни агли, т.е. внатрешните агли на истата страна од трансверзала се суплементни, правите се паралелни. Ова следува од фактот дека накрсни агли се складни (Претпоставка 15) и напоредните агли на една права се суплементни (Претпоставка 13). Како што забележи Proclus, Евклид даде само три од можните шест вакви критериуми за паралелни прави.

Претпоставката 29 е спротивниот исказ на претходните две претпоставки. Прво, ако трансверзала пресекува две паралелни прави, тогаш наизменичните внатрешни агли се складни. Доказот е со доведување до противречност: Ако аглите не се складни, тогаш еден е поголем од другиот. Од ова следува дека суплементниот агол на едниот е помал од суплементниот агол на другиот и има два соседни агли, т.е. внатрешните агли на истата страна од трансверзала се суплементни, кои се собираат до помалку од два прави агли, што е противречност на Поставката 5 (Поставката за паралелелност). Претпоставката продолжува со исказ дека со трансверзала на паралелни прави и согласните агли се складни. Доказот е аналоген.

Се гледа дека доказите на Евклид значително ја користат Поставката за паралелност (Поставка 5). Меѓутоа, современата геометрија ја користи Аксиомата на Плејфер (Playfair's axiom) која вели „За дадена права m и точка А која не лежи на правата, постои една единствена права која минува низ А и е паралелна со m“. На пример, за да се докаже Претпоставката 29 користејќи ја аксиомата на Плејфер исто така претпоставуваме дека на две паралелни прави, наизменичните внатрешни агли на трансверзалата не се складни. Конструираме трета права која минува низ пресечната точка А на првата права со трансверзалата таква што наизменичните внатрешни агли на третата и втората се складни. Значи и третата права е паралелна со втората права, а првата и третата права минуваат низ А што е противречност на единственоста на таква права од Аксиомата

Литература

• Holgate, Thomas Franklin (1901). Elementary Geometry. Macmillan.
• Thomas Little Heath, T.L. (1908). The thirteen books of Euclid's Elements. The University Press.

Поврзани теми

• Паралелни прави
• Видови агли
• Складност
• Права (геометрија)
• Паралелност
• Аналитичка геометрија

Надворешни врски

• Агли на пресечката на две паралелни-прави интерактивно, видео (македонски)
• Согласни агли интерактивно, видео (македонски)
• Наизменични агли интерактивно, видео (македонски)
• Видео објаснување за согласни агли Архивирано на 15 јуни 2012 г. (македонски)
• Геогебра алатка: Паралела Архивирано на 13 октомври 2014 г. (македонски)