Степен (агол)

Во оваа статија се зборува за единица за агол. Други значења ќе најдете на Степен (појаснување).

Степенот (поточно лачен степен, симбол: °) — единица мерка за агол, и претставува ¹⁄₃₆₀ од полн вртеж. Еден степен е еднаков на π/180 радијани. Оваа единица не е дел од системот SI (таму се користи радијанот), но се споменува во нивните брошури како прифатена единица.^[1] Кога тој агол се однесува на упатен меридијан, ова означува местоположба долж голема кружница на сфера, како да речеме Земјата.^[2]

Историја

Кружница со рамнострана тетива (црвено). Степенот е една шеесеттина од овој лак. Шест тетиви сочинуваат кружница.

Првичниот мотив за измислувањето на степенот како единица за вртежи и агли е непознат. Според една теорија, причината за ова е бројот на деновите во годината - приближно 360.^[3] Древните астрономи забележале дека ѕвездите на небото што секојдневно кружат околу небесниот пол се поместуваат со стапка од 360-ти дел од кружницата дневно, т.е. еден степен. Некои стари календари како персискиот имале 360 дена во годината. Употребата на ваквиот календар можеби е врзана со употребата на шеесетеречниот броен систем (сексагезимален систем).

Друга теорија вели дека ова се должи на тоа што степенот е една шеесеттина од аголот на рамностраниот триаголник.^[4] Најстарите тригонометриски пресметки на вавилонските астрономи и Старите Грци по нив, се вршеле со тетиви на кружницата. Како основа се земала тетива еднаква на полупречникот на кружницата. Бидејќи се користел шеесетеречниот систем, една шеесеттина од тетивата изнесувала еден степен.

Хипарх бил првиот што систематски ги приучувал вавилонските астрономски сознанија и методи.^[5] Со исклучок на Тимохарис и Аристил, тој бил првиот старогрчки мислител што ја делел кружницата на 360 степени од по 60 лачни минути (неговиот претходник Ератостен користел поедноставен шеесетеречен систем, делејќи ја кружницата на 60 дела).

Кружницата се делела на 360 дела и во древна Индија, како што е запишано во Ригведата.

Постои можност бројот 360 да е избран поради неговата лесна деливост: 360 има 24 делители,^[6] вклучувајќи го секој број од 1 до 10 освен 7.^[7] Ова својство наоѓа мноштво важни примени - светот се дели на 24 часовни појаси, секоја номинално по 15° од географската должина, и вака се совпаѓа со утврденото 24-часовно деноноќие.

Поделба

Честопати степенот е доволно мал агол за да се задоволи бараната прецизност. Меѓутоа во астрономијата и географијата, каде треба да се изрази географска ширина и географска должина на Земјата, координатите може да се изразат во децимали, но најчесто се среќава традиционалната шеесетеречна поделба. Степенот се дели на 60 „(лачни) минути“, а минутата на 60 „(лачни) секунди“. Овие единици, наречени лачна минута и лачна секунда, се претставуваат со единечен односно двоен прим, или пак со единечен и двоен наводник: 40,1875° = 40° 11′ 15″ (или 40° 11' 15").

За уште поголема прецизност денес се употребуваат децимални делчиња од секундата. Порано делчињата од степенот се претставувале како третини, четвртини итн, со што се продолжува шеесетеречната поделба на единицата, но денес ваквата поделба не е во употреба. Делчињата (шеесеттинките) се пишувале со римски бројки во горен индекс: 1^I = „прим“ (лачна минута), 1^II = секунда, 1^III = третина, 1^IV = четвртина итн. Оттука потекнуваат современите симболи за лачна минута и секунда.

Други единици

Споредба на степени и радијани

Во сите математички операции (освен практичната геометрија), аглите се изразуваат во радијани. Ова се должи на повеќе причини: на пример, тригонометриските функции имаат поедноставни и „поприродни“ својства кога аргументите им се изразени во радијани. Еден полн вртеж (360°) е еднаков на 2π радијани, па затоа 180° се еднакви на π радијани. Во склад на тоа, степенот е математичка константа: 1° = ^π⁄₁₈₀.

Во техниката и науката се користи вртежот (свртување, полн круг). 1 вртеж = 360°. Оттаму имаме вртежи во минута.

Со воведувањето на метричкиот систем (на основа 10) постел обид да се зацврсти употребата на „децимален степен“ (град), така што еден прав агол би имал 100 града, а целата кружница би имала 400. Иако оваа идеја е напуштена уште во времето на Наполеон, некои групи продолжиле да го употребуват градот, дотолку што многу научни дигитрони и денес нудат сметање во градови.

Единицата „илјадити“ наоѓа примена во војувањето, поточно за употреба со „артилериски триаголник“^[8]. Во САД се користи ¹⁄₆₄₀₀, а во Русија поедноставното ¹⁄₆₀₀₀ - обете приближно еднакви на еден милирадијан

Претворање на аголни единици

Единица	Вредности
Вртежи	0	${\tfrac {\tau }{12}}$	${\tfrac {\tau }{8}}$	${\tfrac {\tau }{6}}$	${\tfrac {\tau }{4}}$	${\tfrac {\tau }{2}}$	${\tfrac {3\tau }{4}}$	$\tau$
Степени	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Радијани	0	${\tfrac {\pi }{6}}$	${\tfrac {\pi }{4}}$	${\tfrac {\pi }{3}}$	${\tfrac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\tfrac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
Градови	0^g	33⅓^g	50^g	66⅔^g	100^g	200^g	300^g	400^g

Поврзано

Белешки

↑ Брошура на SI — Табела 6 (англиски)
↑ Beckmann P. (1976) A History of Pi, St. Martin's Griffin. ISBN 0-312-38185-9
↑ Степен - MathWorld (англиски)
↑ J.H. Jeans (1947), The Growth of Physical Science, стр. 7; Francis Dominic Murnaghan (1946), Analytic Geometry, стр. 2
↑ G. J. Toomer, "Hipparchus and Babylonian astronomy"
↑ Делителите на 360 се 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 и 360.
↑ Во споредба со несмасниот број 2520, што е најмалиот заеднички содржател на секој број од 1 до 10.
↑ Андреевски, Венцислав П. (2007). „гл. 7“. Прирачник за математички поими и формули. Скопје: Винсент графика. стр. 235. ISBN 978-9989-2474-4-6.

Надворешни врски

Мерење и цртање на агли Архивирано на 5 март 2016 г. - „Математика за сите“ (македонски)
Степенот како мерка за агол со интерактивна анимација (англиски)

[1] Брошура на SI — Табела 6 (англиски)

[2] Beckmann P. (1976) A History of Pi, St. Martin's Griffin. ISBN 0-312-38185-9

[3] Степен - MathWorld (англиски)

[4] J.H. Jeans (1947), The Growth of Physical Science, стр. 7; Francis Dominic Murnaghan (1946), Analytic Geometry, стр. 2

[5] G. J. Toomer, "Hipparchus and Babylonian astronomy"

[6] Делителите на 360 се 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 и 360.

[7] Во споредба со несмасниот број 2520, што е најмалиот заеднички содржател на секој број од 1 до 10.

[8] Андреевски, Венцислав П. (2007). „гл. 7“. Прирачник за математички поими и формули. Скопје: Винсент графика. стр. 235. ISBN 978-9989-2474-4-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]