Отвори го главното мени
Отсечка e дел од права

Во геометријата, отсечка се опишува како дел од права помеѓу две посебни точки на правата. Отсечка секогаш ги содржува сите точки помеѓу крајните точки, а може, но не мора да ги содржи едната или двете крајни точки.[1]

  • Во Евклидовата геометрија, за посебни (дистинктни) точки А и В, постои една единствена отсечка со крајни точки А и B и истата се означува со  .
  • Отсечка е еднодимензионален објект, т.е. има 0 ширина и 0 висина.
  • Отсечка има краеви така да има одредена должина која е растојанието помеѓу крајните точки.

Дефиниција на отсечкаУреди

Нека А и В се две посебни точки. Отсечката   е множеството на сите точки       каде што     .

Средина (средна точка) на отсечкаУреди

 
С e средната точка на отсечката -
Oди на интерактивноста
[2]

Нека А и В се две посебни точки. Тогаш средина, односно средната точка на отсечката       е точката      .

  • Во 2-димензионален простор:      .
Средната точка е:   . 

Пример: Нека   и  . Средната точка на отсечката     e:    .

  • Забележете дека ова е точката C од дефиницијата C=A(1-t)+Bt каде што t=0.5, т.е. на средината на интервалот [0,1].

Пропорционалноста важи и потаму. Например, се заменува t=13 за да се добие точката C на отсечката која е 13 од патот од А до В:      .

Должина на отсечкаУреди

 
Доказ: Должина на отсечка со Питагорова теорема

Должината на   e и растојанието помеѓу А и В. Истата се означува со  .

Во 2-димензионален простор:

  • Должина на отсечка паралелна со х-оската, односно со крајни точки A=(x1,y) и B=(x2,y) со истата у-координата и x2>x1 е:    .
  • Должина на отсечка паралелна со y-оската, односно со крајни точки A=(x,y1) и B=(x,y2) со истата x-координата и y2>y1 е:    .
  • Точки:        .   Должината на     е:  
   

Пример: Нека   и  . Должината на отсечката     e:    .

Во 3-димензионален простор:

  • Точки:        .   Должината на     е:  
  

Доказ: Се користи Питагорова теорема.[3]

  • Во 2Д: Во анимацијата е опишана наједноставната верзија каде што x2>x1 и y2>y1. За произволни точки А и В, едноставно треба да се додава апсолутна вредност околу двете разлики |x2 - x1| и |y2 - y1|. Потоа по примена на Питагорова теорема и поради тоа што (|x|)2=x2, знаковите за апсолутна вредност се бришат како непотребни.
  • Во 3Д: Два пати се користи Питагорова теорема. Најпрво се формира помошна точка   со истата z-координата како А така да А и B' лежат на истата рамнина z=z1. Се користи формулата од 2Д, односно Питагорова теорема со што  . Сега повторно се корисити Питагорова теорема на триаголникот со темињата А, B' и В забележувајќи дека     за да се доби дадената формула.

Крајни точкиУреди

Крајните точки можат, но не морат да бидат вклучени во отсечката. Геометриски тоа се означува со полни или празни кружници, т.е.

  • крајна точка е вклучена во отсечката ако точката е означена со полна кружница и
  • крајна точка е исклучена во отсечката ако точката е означена со празна кружница и

Има 4 можни случаи.

  • затворена отсечка каде што двете крајни точки се вклучени,
  • отворена отсечка каде што двете крајни точки се исклучени,
  • полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е вклучена, а крајната крајна точка е исклучена и
  • полуотворена отсечка каде што почетната крајна точка е исклучена, а крајната крајна точка е вклучена.
 
Затворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1]
 
Отворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1)
 
Полуотворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1)
 
Полуотворена отсечка
C=A(1-t)+Bt, t ∈ (0,1]


Ориентирана отсечкаУреди

При дефиницијата: C=A(1-t)+Bt, t ∈ [0,1] следува дека

  • Кога t=0, C=A e почетната точка на отсечката, а
  • Кога t=1, C=В e крајната точка на отсечката.

Тоа значи дека самиот интервал t ∈ [0,1] ја ориентира, т.е. ја усмерува отсечката од А до В.[4]

Параметарски облик на отсечкаУреди

Нека се дадени две точки А(x1,y1,z1) и B=(x2,y2,z2).

    каде што   ,     [5]

(Во 2-димензионален простор се отфрлува се со z-координатите.)

Отсечка и векторски просториУреди

Ако V е векторски простор над   или  , и L е подмножество на V, тогаш L е (затворена) отсечка ако L може да се пиши во параметарски облик како:       за некои вектори  . Во тој случај векторите u и u + v се викаат крајните точки на L. (Ако t ∈ (0,1), отсечката е отворена.) [6]

ЛитератураУреди

  1. „Line Segment“. Math Open Reference.  интерактивен (англиски)
  2. „Отсечка“. Л.Стојановска.  интерактивен (македонски)
  3. http://www.regentsprep.org/Regents/math/geometry/GCG3/Ldistance.htm (англиски)
  4. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF). Addison-Wesley.  Directed Line Segment стр.237 (англиски)
  5. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/LineIntegralsPtI.aspx (англиски)
  6. http://planetmath.org/LineSegment (англиски)

Поврзани темиУреди

Надворешни линковиУреди