Отвори го главното мени
Квадрат
Square standard.svg
Квадрат е четириаголник со 4 еднакви страни и 4 еднакви агли (по 90°)
ТипЧетириаголник
Рабови и темиња4
Шлефлиев симбол{4}
Коксетер–Динкинови дијаграмиCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
Симетриска групаD4, C4
Плоштинаа·a=a2
Внатрешен агол (степ.)90°
Својстваконвексен
правилен

Во геометријата, квадрат е рамна, т.е. дводимензионална геометриска фигура со четири еднакви страни и четири прави агли.[1][2]

Основна регулатива: Квадрат е потполно определeн со должината на страна. Исто така, квадрат е потполно определен со должината на дијагоналата.


Формули и особини за квадратУреди

Нека е даден квадрат со страна a. Во долунаведените формули точката означува множење, т.е. a · a = a × a.

Периметар

 

</mod>

Плоштина

 

Дијагонала

Дијагоналите на квадрат се исти и    
Доказ: Со Питагорова теорема.
 
Следува и од формулите за дијагоналите на паралелограм бидејќи α=90° така што cos(α)=cos(90°)=0 и b=a.

(Види и степенување, коренување и тригонометрија).

Пример: Нека е даден квадрат со страна a=5km. Тогаш, периметарот e L=4·a=4·5km=20km. Плоштината е P=a·a=5km·5km=25km2 (квадратни километри). Дијагоналите се складни и: d=5km·√2 ≈7,07km.

Пример: Нека е даден квадрат со дијагонала d=14,14mm. Тогаш страната на квадратот е a=14,14mm/√2=10mm. Перимeтарот е L=4·a=4·10mm=40mm, а плоштината е P=a·a=10mm·10mm=100mm2.


       
Квадрат има 4 еднакви страни
и 4 прави агли.
Дијагоналите се сечат под прав агол. Дијагоналите ги преполовуваат аглите (на 45°). Дијагоналите и средните линии се оски на осна симетрија.
       
Дијагоналите се складни. Дијагоналите се преполовуваат. Впишана кружница на квадрат. Опишана кружница на квадрат.
  • Бидејќи секој квадрат е четириаголник, збирот на внатрешните агли е 360°.
  • Бидејќи секој квадрат има спротивни паралелни страни, отсечките кои ги спојуваат средните точки на спротивните паралелни страни врват низ пресекот на дијагоналите.
  • Бидејќи секој квадрат е паралелограм, дијагоналите се преполовуваат.
  • Бидејќи секој квадрат е ромб, дијагоналите се сечат под прав агол и дијагоналите ги преполовуваат внатрешните агли (така што се по 90°/2=45°).
  • Бидејќи секој квадрат е правоаголник, дијагоналите се складни (со истата должина).

Карактеристики на квадратУреди

Четириаголник е квадрат ако и само ако кој било од следните искази е вистинит:

  • Четирите страни се со еднакви должини и четирите внатрешни агли се по 90°.
  • Дијагоналите се со еднакви должини и се сечат под прав агол (90°).
  • Дијагоналите го делат четириаголникот на 4 складни рамнокраки триаголници.

Потаму квадрат е:

  • Паралелограм со еден прав агол и два напоредни (соседни) складни страни.
  • Правоаголник со два напоредни складни страни.
  • Ромб со еден прав агол.
  • Ромб со 4 складни агли.
 
Конструкција на квадрат во опишана кружница

Впишана и опишана кружница на квадратУреди

Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден конвексен четириаголник да е тангентен четириаголник е да збирот на должините на двата парови спротивни страни е ист. Значи квадрат е тангентен четириаголници.[3]

Формула: Радиусот r на впишаната кружница е половина од страната а (на квадратот), односно

 
Доказ: Еден потребен и доволен услов за еден конвексен четириаголник да е тетивен четириаголник е да збирот на спротивни агли бидат 180°. Значи квадрат е тетивен четириаголник.[4]

Формула: Радиусот R на опишаната кружница е половина од дијагоналата d (на квадратот), односно

 
  • Квадратот е бицентричен четириаголник, бидејќи e и тангентен и тетивен.

СиметријаУреди

  • Квадратот има 4 оски на осна симетрија, односно двете дијагонали и двете средни линии (отсечките кои ги поврзуваат средните точки на спротивни страни).
  • Квадратот има вртежна симетрија од 4-ти ред, т.е. ако го ротираме квадратот 360°/4=90° се добива истиот квадрат. [5]

Други фактиУреди

  • Дијагоналите на квадрат се   (приближно 1,414) пати поголеми од страната на квадратот. Оваа вредност, т.е. квадратен корен од 2 се вика Питагорова константа и првиот број да е докажен дека е ирационален, т.е. не е рационален број.[6]
  • Ако геометриска фигура е и правоаголник (прави агли) и ромб (4 складни страни), тогаш е квадрат.
  • Плоштината на опишаната кружница е π/2 (приближно 1,571) пати поголема од плоштината на квадратот.
  • Плоштината на впишаната кружница е π/4 (приближно 0,7854) пати помал од плоштината на квадратот.
  • Квадрат има поголема плоштина од кој било четириаголник со истиот периметар.[7]

Обопштување на квадратУреди

Неeвклидова геометријаУреди

Во неeвклидова геометрија, квадрати се општи многуаголници со 4 складни страни и 4 складни агли.

Во сферна геометрија, квадрат е многуаголник чии страни се рамнодолжни лакови од големи кругови, кои се споени на секое теме со складни агли. За разлика од Евклидова геометрија во рамнина, аглите на таков квадрат се поголеми од 90°.

Во хиперболна геометрија, квадрати со прави агли не постојат. Напротив, квадратите во хиперболична геометрија имаат агли кои се помали од 90°.

Примери:

 
Сфера може плочесто да се нареди со 6 квадрати така што секое теме е теме на 3 квадрати со внатрешни агли од 120°.
Шлефлиев симбол е {4,3}.
 
Евклидовата рамнина може плочесто да се нареди со квадрати така што секое теме е теме на 4 квадрати со внатрешни агли од 90°.
Шлефлиев симбол е {4,4}.
 
Хиперболична рамнина може плочесто да се нареди со квадрати така што секое теме е теме на 5 квадрати со внатрешни агли од 72°.
Шлефлиев симбол е {4,5}.

НаводиУреди

  1. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 744. конс. септември 2013. 
  2. „Square“ [Квадрат] (англиски). Math Open Reference. 2009. конс. септември 2013.  интерактивен
  3. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2006). Mathematical Olympiad Treasures. Birkhäuser. стр. 64–68. ISBN 978-0817682521. .
  4. Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), „10. Cyclic quadrilaterals“, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8 
  5. Stapel, Elizabeth. "Symmetry about an Axis" (англиски). конс. септември 2013.  анимиран
  6. Weisstein, Eric W. „Pythagoras's Constant“ (англиски). MathWorld--A Wolfram Web Resource. конс. септември 2013. 
  7. Hansen, V.L. (1996). „I am the greatest“ (англиски). Mathematics in School Vol.25, No.4. стр. 10–11. конс. септември 2013. 

Поврзани темиУреди


Надворешни врскиУреди