Франсоа Виет

Франсоа Виет (француски: François Viète; 1540 — 13 февруари 1603), познат и како Франциско Виета — француски математичар.

Биографија и дела

Виет е роден во Фонтне ле Конт и се верува дека е одгледан како римокатолик, но нема сомнение дека неколку години бил француски протестант. По завршувањето на студиите по право во Поатје, Виет ја почнал својата кариера како адвокат во својот роден град, од каде што заминува во 1567. година и подоцна станува советник во парламентот на Бретања во градот Рен. Поради религиозни проблеми ја напуштил таа позиција, па под своја заштита го зел Анри, роанскиот војвода, познат како предводник на протестантите. Анри од Навара испратил две писма до кралот Анри III од Франција, на 3 март и на 26 април 1585. година, во обид да го врати Виет на неговата позиција, но тие обиди биле безуспешни. Бидејќи Анри од Наварa станал крал на Франција, на Виет му е доделено местото советник во парламентот во Тур (1589). Потоа станал личен советник на кралот сè до својата смрт, која настапила ненадејно во Париз во февруари 1603 година. Причината за смртта е непозната.

Додека бил во Тур, Виет го открил клучот на шпанската шифра, кој се состоел од повеќе од 500 карактери и ова значело дека сите пораки на тој јазик Французите можат лесно да ги прочитаат. Меѓутоа неговата слава денес е во неговите достигнувања од областа на математиката. Бидејќи бил богат, печател многу трудови на свој трошок, и во нив пишувал за разни гранки на науката и ги праќал на своите пријатели во скоро секоја земја во Европа. Виетовите трудови многу брзо станале познати, но кога Франциско ван Схотен издал општо издание за неговите дела во 1646 година во Лајден под името Opera Mathematica, некои од трудовите биле изгубени.

На Виетовите трудови им недостигала дисциплина. Имено техничките називи изведени од грчкиот јазик, тој се обидел да ги направи уште понеразбирливи и затоа ниеден негов предлог не опстанал. Ниту неговиот предлог за обележување на непознатите величини со самогласките -{A, E, I, O, U}- и Y (согласките -{B, C}- итн. би биле резервирани за познати величини) не бил прифатен. Виет често се нарекува како татко на модерната алгебра. Ова не значи дека никој пред него не се сетил да користи симболи што не се броеви, туку тој овој обичај го популаризирал.

Од друга страна, Виет бил вешт во многу модерни вештини, барајќи упростување на равенките со замена на непознатите величини со нови величини кои имаат одредена врска со тие непознати величини. Едно од неговите дела, -{Recensio canonica effectionum geometricarum}-, подоцна наречено алгебарска геометрија, е збирка на правила како да се конструираат алгебарски изрази користејќи само линијар и шестар. Принципот на хомогеноста, кој прв го формулирал Виет, го користеле и грчките автори, но од подоцнежните математичари, само Херон Александриски, Диофант и други биле спремни да ги третираат линиите и површините како обични броеви кои можат да се сврзат за да се добие нов број, односно нивен збир.

Виет знаел дека постои врска помеѓу позитивните решенија на равенките и коефициентите на различните степени на непознатата величина (види Диофантови равенки и нивна примена во квадратните равенки). Ја открил формулата за изведување на синус од мултиплициран агол која ја знаел уште во 1593. година. Таа године Адријан ван Ромен на сите математичи како проблем им зададил една равенка од 45-ти степен, која Виет ја решил веднаш, бидејќи увидел дека зависи од равенката помеѓу $\sin x$ и $\sin {\frac {x}{45}}$ . За Аполониевиот проблем на допир Адријан ван Ромен дал решение преку хиперболи, но Виет не го прифатил бидејќи постоело решение само со помош на шестар и линијар, кое го објавил во -{Apollonius Gallus}- (1600). Конечно, дал и бесконечен производ за бројот π.

Виетови формули за решенија на полиноми

Ако

P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}

е полином од степен $n\geq 1$ со комплексни коефициенти (па броевите $a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}$ се комплексни, и $a_{n}\neq 0$ ), $P(X)$ има $n$ (не секогаш различни) комплексни решенија $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ Виетовите формули велат дека

x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}

(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}

\cdots \,

x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.

Со други зборови, сумата на сите можни производи од $k$ -торки на решенијата на полиномот $P(X)$ е еднаква на $(-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},$

\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}

за секој $k=1,2,\dots ,n.$

За полином од втор степен $P(X)=aX^{2}+bX+c$ , Виетовите формули гласат дека решенијата $x_{1}$ и $x_{2}$ на секоја квадратна равенка $P(X)=0$ го задоволуваат следното:

x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.

Виетова формула за бројот π

Виетовата формула за бројот π во облик на бесконечен производ е како шпто следи:

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

Изразот од десната страна на равенството е гранична вредност

\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}

каде што $a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}$ со почетни услови $a_{1}={\sqrt {2}}$ .

После средувањето се добива формула за π во облик

\lim _{\mathbf {n} \to \infty }2^{\mathbf {n} +1}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{\mathbf {n} }}}\;=\;\pi

.

Виетови формули за синус и косинус од мултиплициран агол

\sin nx=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\,\sin ^{n-k}x\,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)

\cos nx=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}x\,\sin ^{n-k}x\,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right).

Литература

Оваа статија вклучува текст од објавено дело кое сега е јавна сопственост: Chisholm, Hugh, уред. (1911). Encyclopædia Britannica (11. изд.). Cambridge University Press. Отсутно или празно |title= (help)
Јакоб Клајн: -{Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra}- у: -{Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung B: Studien, Band 3, Erstes Heft, Berlin 1934, p. 18-105 and Zweites Heft, Berlin 1936, p. 122-235;}- реиздадено на англиски како: -{Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, Mass.}- 1968, ISBN 0-486-27289-3

Надворешни врски

Оконор, Џон Џ. и Едмунд Ф. Робертсон. „Франсоа Виет“ - Архив „Историја на математиката“ на MacTutor (англиски)