Хиперболични функции – во математиката функции аналогни на тригонометриските , или циркуларните функции.
Основни хиперболични функции се:
од кои се изведени:
кои соодветствуваат на изведените тригонометриски функции .
Инверзни хиперболични функции се:
аркус хиперболичен синус "arcsinh" (исто така се бележи како "sinh−1 ", "asinh" или "arsinh")[ 1] [ 2] [ 3] и така следователно. Зрак низ единична хипербола x 2 − y 2 = 1(cosh a , sinh a ) , каде a е двојна од површината меѓу зракот, хиперболата и x -оската. За точки на хиперболата под x -оската, површината се смета негативна (види анимираната верзија со споредба со тригонометриските (циркуларните) функции). Токму како што точките (cos t , sin t ) образуваат круг со единичен радиоу, точките (cosh t , sinh t ) ја образуваат десната половина од еднаквостранична хипербола . Хиперболичните функции земаат реален аргумент наречен хиперболичен агол . Големината на хиперболичниот агол е двојна од површината на неговиот хиперболичен сектор . Хиперболичните функции може да се дефинираат врз основа на хиперболичниот триаголник кој го опфаќа овој сектор.
Хиперболични функции постојат во решенијата на многу линеарни диференцијални равенки (на пример, равенката која дефинира верижница ), од некои кубни функции , во пресметките на агли и растојанија во хиперболичната геометрија , во Лапласовата равенка во Декартов координатен систем . Лапласовите равенки се битни во многу подрачја на физиката , како електромагнетната теорија , преносот на топлина , динамиката на флуиди и специјалната теорија за релативности .
Во комплексната анализа , хиперболичните функции се јавуваат како имагинарни делови на синус и косинус. Хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус се цели функции . Како резултат, другите хиперболични функции се мероморфни во целата комплексна рамнина.
Според Линдеман-Вајерштрасовата теорема , хиперболичните функции имаат трансцендентна вредност за секоја ненулова алгебарска вредност на аргументот.[ 4]
Хиперболичните функции биле воведени во 1760-тите, независно од Винченцо Рикати и Јохан Хајнрих Ламберт .[ 5] Sc. Cc. sinus/cosinus circulare ) за обележување на циркуларните функции и Sh. Ch. sinus/cosinus hyperbolico ) за обележување на хиперболичните функции. Ламберт ги прифатил имињата, но ги променил кратенките како што се денес.[ 6] sh , ch , th , cth исто така се во оптек, нивното користење повеќе зависи од личните претпочитувања на влијателните математичари отколку од јазикот.
sinh , cosh and tanh csch , sech and coth Постојат различни еквиваленти начини за дефинирање на хиперболичните функции.
уреди
sinh x е половина од разликата од ex e −x cosh x е аритметичка средина од ex e −x Хиперболичните функции може да бидат изразени преку експоненцијалната функција :
Хиперболичен синус: непарниот дел од експоненцијалната функција, кој е
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
=
e
2
x
−
1
2
e
x
=
1
−
e
−
2
x
2
e
−
x
.
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
Хиперболичен косинус: парниот дел од експоненцијалната функција, кој е
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
=
e
2
x
+
1
2
e
x
=
1
+
e
−
2
x
2
e
−
x
.
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}
Хиперболичен тангенс:
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
Хиперболичен котангенс: for x ≠ 0
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
Хиперболичен секанс:
sech
x
=
1
cosh
x
=
2
e
x
+
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
+
1
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}
Хиперболичен косеканс: for x ≠ 0
csch
x
=
1
sinh
x
=
2
e
x
−
e
−
x
=
2
e
x
e
2
x
−
1
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}
уреди
Хиперболичните функции може да бидат дефинирани како решенија на диференцијални равенки : Хиперболичниот синус и хиперболичниот косинус се единствени решенија (s , c ) на системот
c
′
(
x
)
=
s
(
x
)
s
′
(
x
)
=
c
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}
како
s (0) = 0c (0) = 1
Исто така тие се единствено решение на равенката f ″(x ) = f (x )f (0) = 1f ′(0) = 0f (0) = 0f ′(0) = 1
уреди
Хиперболичните функции исто така може да бидат изведени од тригонометриски функции со комплексни аргументи:
Хиперболичен синус:
sinh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}
Хиперболичен косинус:
cosh
x
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}
Хиперболичен косинус:
tanh
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}
Хиперболичен котангенс:
coth
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}
Хиперболичен секанс:
sech
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}
Хиперболичен косеканс:
csch
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}
каде i е имагинарна единица со својство дека i 2 = −1
Комплексните облици во дефинициите се изведуваат од Ојлеровата формула .
уреди
Може да се покаже дека површината под кривата на хиперболичниот косинус на конечен интервал секогаш е еднаква на должината на соодветниот лак на тој интервал:
[ 7]
area
=
∫
a
b
cosh
x
d
x
=
∫
a
b
1
+
(
d
d
x
cosh
x
)
2
d
x
=
arc length.
{\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}
уреди
Хиперболичниот тангенс е решение на диференцијалната равенка f ′ = 1 − f 2 f (0) = 0нелинеарниот проблем на гранична вредност :[ 8] [ 9]
1
2
f
″
=
f
3
−
f
;
f
(
0
)
=
f
′
(
∞
)
=
0.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f''=f^{3}-f;\quad f(0)=f'(\infty )=0.}
Парни и непарни функции:
sinh
(
−
x
)
=
−
sinh
x
cosh
(
−
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}
Оттука:
tanh
(
−
x
)
=
−
tanh
x
coth
(
−
x
)
=
−
coth
x
sech
(
−
x
)
=
sech
x
csch
(
−
x
)
=
−
csch
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
Може да се види дека cosh x и sech x се парни ; другите се непарни функции .
arsech
x
=
arcosh
(
1
x
)
arcsch
x
=
arsinh
(
1
x
)
arcoth
x
=
artanh
(
1
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}
Хиперболичните синус и косинус ги задоволуваат:
cosh
x
+
sinh
x
=
e
x
cosh
x
−
sinh
x
=
e
−
x
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}
последниот од нив е сличен на Питагоровиот тригонометриски идентитет .
Исто така
sech
2
x
=
1
−
tanh
2
x
csch
2
x
=
coth
2
x
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}
за другите функции.
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
x
cosh
y
+
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
x
cosh
y
+
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
x
+
tanh
y
1
+
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
особено
cosh
(
2
x
)
=
sinh
2
x
+
cosh
2
x
=
2
sinh
2
x
+
1
=
2
cosh
2
x
−
1
sinh
(
2
x
)
=
2
sinh
x
cosh
x
tanh
(
2
x
)
=
2
tanh
x
1
+
tanh
2
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}
Исто така:
sinh
x
+
sinh
y
=
2
sinh
(
x
+
y
2
)
cosh
(
x
−
y
2
)
cosh
x
+
cosh
y
=
2
cosh
(
x
+
y
2
)
cosh
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
sinh
(
x
−
y
)
=
sinh
x
cosh
y
−
cosh
x
sinh
y
cosh
(
x
−
y
)
=
cosh
x
cosh
y
−
sinh
x
sinh
y
tanh
(
x
−
y
)
=
tanh
x
−
tanh
y
1
−
tanh
x
tanh
y
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}
Исто така:[ 10]
sinh
x
−
sinh
y
=
2
cosh
(
x
+
y
2
)
sinh
(
x
−
y
2
)
cosh
x
−
cosh
y
=
2
sinh
(
x
+
y
2
)
sinh
(
x
−
y
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}
уреди
sinh
(
x
2
)
=
sinh
(
x
)
2
(
cosh
x
+
1
)
=
sgn
x
cosh
x
−
1
2
cosh
(
x
2
)
=
cosh
x
+
1
2
tanh
(
x
2
)
=
sinh
x
cosh
x
+
1
=
sgn
x
cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
e
x
−
1
e
x
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}
каде sgn е функција сигнум .
Ако x ≠ 0[ 11]
tanh
(
x
2
)
=
cosh
x
−
1
sinh
x
=
coth
x
−
csch
x
{\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}
уреди
arsinh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
arcosh
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
x
⩾
1
artanh
(
x
)
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
|
x
|
<
1
arcoth
(
x
)
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
|
x
|
>
1
arsech
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
−
1
)
=
ln
(
1
+
1
−
x
2
x
)
0
<
x
⩽
1
arcsch
(
x
)
=
ln
(
1
x
+
1
x
2
+
1
)
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geqslant 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
sech
2
x
=
1
cosh
2
x
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
csch
2
x
=
−
1
sinh
2
x
x
≠
0
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
x
≠
0
d
d
x
arsinh
x
=
1
x
2
+
1
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
1
<
x
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
|
x
|
<
1
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
1
<
|
x
|
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
0
<
x
<
1
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
x
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}
уреди
∫
sinh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
cosh
(
a
x
)
+
C
∫
cosh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
sinh
(
a
x
)
+
C
∫
tanh
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
cosh
(
a
x
)
)
+
C
∫
coth
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
sinh
(
a
x
)
)
+
C
∫
sech
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
arctan
(
sinh
(
a
x
)
)
+
C
∫
csch
(
a
x
)
d
x
=
a
−
1
ln
(
tanh
(
a
x
2
)
)
+
C
=
a
−
1
ln
|
csch
(
a
x
)
−
coth
(
a
x
)
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C=a^{-1}\ln \left|\operatorname {csch} (ax)-\coth(ax)\right|+C\end{aligned}}}
Следниве интеграли може да се докажат со користење на хиперболична супституција :
∫
1
a
2
+
u
2
d
u
=
arsinh
(
u
a
)
+
C
∫
1
u
2
−
a
2
d
u
=
arcosh
(
u
a
)
+
C
∫
1
a
2
−
u
2
d
u
=
a
−
1
artanh
(
u
a
)
+
C
u
2
<
a
2
∫
1
a
2
−
u
2
d
u
=
a
−
1
arcoth
(
u
a
)
+
C
u
2
>
a
2
∫
1
u
a
2
−
u
2
d
u
=
−
a
−
1
arsech
(
u
a
)
+
C
∫
1
u
a
2
+
u
2
d
u
=
−
a
−
1
arcsch
|
u
a
|
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}
каде C е интеграциона константа .
уреди
Горните функции може да се изразат како Тејлорови редови :
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
Функцијата sinh x се изразува преку Тејлоров ред само со непарни експоненти на x . Значи таа е непарна функција, па −sinh x = sinh(−x ), и sinh 0 = 0.
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
Функцијата cosh x се изразува преку Тејлоров ред само со парни експоненти на x . Значи таа е парна функција, следствено, симетрична во однос на y -оската. Збирот од редовите на sinh и cosh е бесконечен ред од експоненцијалната функција .
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
coth
x
=
x
−
1
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
x
−
1
+
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
csch
x
=
x
−
1
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
x
−
1
+
∑
n
=
1
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}
каде:
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
n -тиот Бернулиев број
E
n
{\displaystyle E_{n}\,}
n -тиот Ојлеров број
уреди
Тангентата на кружницата и хиперболата во (1,1) ја изразуваат геометријата на циркуларните функции во однос на површината на кружниот сектор u и хиперболичните функции кои зависат од површината на хиперболичниот сектор u . Хиперболичните функции претставуваат проширување на тригонометријаата преку циркуларните функции . Обата вида зависат од аргумент , кој е или кружен агол или хиперболичен агол .
Бидејќи површината на кружниот сектор со полупречник r и агол u е r 2 u /2, истата ќе биде еднаква на u кога r = √2 . На дијаграмот таквиот круг е тангента на хиперболата xy = 1 во (1,1). Жолтиот сектор претставува површина и големина на агол. Слично, жолтиот и црвениот сектор заедно претставуваат површина и агол на хиперболичниот сектор.
Краците на два правоаголни триаголници со хипотенуза на правата која ги дефинира аглите се со должина √2 пати од циркуларните и хиперболичните функции.
Хиперболичниот агол е неваријантна мерка во однос на контракцијата (хиперболична ротација), токму како што кружниот агол е непроменлив со ротацијата.[ 12]
Хиперболичните функции задоволуваат многу идентитети и сите тие се слични по облик со тригонометриските идентитети . Всушност, Осборновото правило [ 13]
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
(
x
)
cosh
(
y
)
+
cosh
(
x
)
sinh
(
y
)
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
(
x
)
cosh
(
y
)
+
sinh
(
x
)
sinh
(
y
)
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
(
x
)
+
tanh
(
y
)
1
+
tanh
(
x
)
tanh
(
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\\\cosh(x+y)&=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}\end{aligned}}}
формулите за "двоен аргумент "
sinh
(
2
x
)
=
2
sinh
x
cosh
x
cosh
(
2
x
)
=
cosh
2
x
+
sinh
2
x
=
2
cosh
2
x
−
1
=
2
sinh
2
x
+
1
tanh
(
2
x
)
=
2
tanh
x
1
+
tanh
2
x
sinh
(
2
x
)
=
2
tanh
x
1
−
tanh
2
x
cosh
(
2
x
)
=
1
+
tanh
2
x
1
−
tanh
2
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\cosh(2x)&=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\sinh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1-\tanh ^{2}x}}\\\cosh(2x)&={\frac {1+\tanh ^{2}x}{1-\tanh ^{2}x}}\end{aligned}}}
и формулите за "половина аргумент "[ 14]
sinh
x
2
=
1
2
(
cosh
x
−
1
)
{\displaystyle \sinh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh x-1)}}\,}
cosh
x
2
=
1
2
(
cosh
x
+
1
)
{\displaystyle \cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh x+1)}}\,}
tanh
x
2
=
cosh
x
−
1
cosh
x
+
1
=
sinh
x
cosh
x
+
1
=
cosh
x
−
1
sinh
x
=
coth
x
−
csch
x
.
{\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x.}
coth
x
2
=
coth
x
+
csch
x
.
{\displaystyle \coth {\frac {x}{2}}=\coth x+\operatorname {csch} x.}
Изводот од sinh x е cosh x , а изводот од cosh x е sinh x ; ова е слично со тригонометриските функции, иако знакот е различен (извод од cos x е −sin x ).
Гудермановата функција дава директна врска меѓу тригонометриските и хиперболичните функции кои не содржат комплексни броеви.
Графиконот на функција a cosh(x /a ) е верижница , кривата образувана од униформен флексибилен синџир кој слободно виси помеѓу две фиксни точки под униформа гравитација.
уреди
Разложувањето на експоненцијалната функција на парен и непарен дел ги дава идентитетите
e
x
=
cosh
x
+
sinh
x
,
{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}
и
e
−
x
=
cosh
x
−
sinh
x
.
{\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}
Првиот е аналоген со Ојлеровата формула
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
.
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}
дополнително,
e
x
=
1
+
tanh
x
1
−
tanh
x
=
1
+
tanh
x
2
1
−
tanh
x
2
{\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}
уреди
↑ Woodhouse, N. M. J. (2003), Special Relativity , London: Springer, стр. 71, ISBN 978-1-85233-426-0 ↑ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , уред. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables Dover Publications , ISBN 978-0-486-61272-0 ↑ Some examples of using arcsinh found in Google Books .↑ Niven, Ivan (1985). „Irrational Numbers“. 11 . Mathematical Association of America. doi :10.4169/j.ctt5hh8zn (неактивно 2019-02-22). JSTOR 10.4169/j.ctt5hh8zn . ↑ Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
↑ Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
↑ N.P., Bali (2005). Golden Integral Calculus ISBN 81-7008-169-6 ↑ „Hyperbolic Tangent MathWorld (англиски)
↑
„Derivation of tanh solution to 1 2 f ″ = f 3 − f “ . Math StackExchange . Посетено на 18 March 2016 .
↑ Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (1 corr.. изд.). New York: Springer-Verlag. стр. 416. ISBN 3-540-90694-0 ↑ „math.stackexchange.com/q/1565753/88985“ . StackExchange (mathematics). Посетено на 24 January 2016 .↑ Mellen W. Haskell , "On the introduction of the notion of hyperbolic functions", Bulletin of the American Mathematical Society 1 :6:155–9, full text ↑ Osborn, G. (July 1902). „Mnemonic for hyperbolic formulae“. The Mathematical Gazette 2 (34): 189. JSTOR 3602492 . ↑
Peterson, John Charles (2003). Technical mathematics with calculus ISBN 0-7668-6189-9 Chapter 26, page 1155
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a343fcb86c5fa15cceb217f4e92410c70a6e200)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df86afe231a8f5e0b223f118dd5a856b2f7eb29)
