Косеканс

Косеканс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и спротивната катета во правоаголен триаголник.^[1] Косекансот е реципрочна вредност од синус.

Дефиниција

Дефиницијата гласи:

\operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\sin x}}

Врската со секанс е

\operatorname {cosec} \;x=\operatorname {sec} \,(x-\pi /2)

Како и останатите тригонометриски функции и косекансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Косеканс е однос на хипотенузата и спротивната катета.

\operatorname {sec} \;\theta ={\frac {h}{a}}

Тригонометриски триаголник

На тригонометрискиот круг вредноста на косекансот е еднаква на големината на следната должина

\csc \theta ={\overline {OE}}

Првиот квадрант од единична кружница

*Некои карактеристични вредности*
степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијани	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$
$\sec \theta \,$	$\infty \;$	$2\;$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}$	$1\;$

Функцијата може да се претстави во следниот вид:

\csc(x)={\frac {1}{x}}-2x\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,x}{x^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

функција е дефинирана во множеството реални броеви

\mathbb {R}

, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви

-\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z}

функцијата зема вредности во опсег на реалните броеви, освен во областа -1 до 1

-\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty

функција е непарна

\operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)

функцијата е периодична со основна периода 2π

\operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)

функцијата има вертикални асимптоти во точките

x=\left(n\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z}

функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти

функцијата нема нули

нема глобален екстрем

локален минимум

\operatorname {cosec} ((2n+1/2)\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z}

локален максимум

\operatorname {cosec} ((2n-1/2)\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z}

функцијата нема превојни точки

Првиот извод од функцијата е

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\csc(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {1} }{\sin(x)}}={\frac {-\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc(x)\cdot \cot(x)=-{\frac {\csc ^{2}(x)}{\sec(x)}}

Неодредениот интеграл на функцијата е

\int \csc(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\right|+C=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\right|+C

\csc(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}

mit

x,y\in \mathbb {R}

Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инженеров и учахчихсја втузов, Москва, »Наука«, 1980

Тригонометриски и хиперболични функции