Лапласова равенка

Лапласова равенка – елиптична парцијална диференцијална равенка од втор ред која го добила името по Пјер-Симон Лаплас кој прв ги проучувал нејзините својства. Нејзиниот облик е:

Решенијата на Лапласовата равенка се хармонични функции. Лапласовата равенка е значајна во математиката, електромагнетизмот, астрономијата и динамиката на флуиди.

ДефиницијаУреди

Во три димензии Лапласовата равенка може да се прикаже во различни координатни системи. Во Декартовиот координатен систем го има обликот:

 

Во цилиндричниот координатен систем е:

 

Во сферниот координатен систем е:

 

Во закривениот координатен систем е:

 

или

 

Дводимензионален системУреди

Во поларниот дводимензионален координатен систем го има обликот:

 

Во дводимензионалниот Декартов систем е:

 

Гринова функцијаУреди

Лапласовата равенка често се решава со помош на Гриновата функција и Гриновата теорема:

 

Дефиницијата на Гриновата функција е:

 

Ако во Гриновата теорема се стави   се добива:

 

Сега може да се реши Лапласовата равенка   во случај на Нојманови и Дирихлеови рабни услови. Земајќи во обѕир:

 

равенката се сведува на:

 

Кога нема рабни услови Гриновата функција е:

 

ЛитератураУреди

  • Sommerfeld A, Partial Differential Equations in Physics, New York: Academic Press (1949)
  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
  • Лапласова равенка

Надворешни врскиУреди