Секанс

Секанс
y(x)=sec(x)
Основни особини
Домен	(-π/2+kπ,π/2+kπ), k од Z
Кодомен	(-∞,1] и [1,∞)
Паритет	парна
Периода	2π
Одредени вредности
Асимптота	(k + 1/2)π
Други особини
Извод	sec²(x)/cosec(x)

Секанс – тригонометриска функција еднаква на односот помеѓу хипотенузата и катетата што прилежи кон дадениот агол.

Дефиниција

Дефиницијата гласи:

$\operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\cos x}}$

Врската со косеканс е

$\operatorname {sec} \;x=\operatorname {cosec} \,(\pi /2-x)$

додека Питагоровиот идентитет, идентитет заснован на Питагоровата теорема, која ги поврзува тригонометриските функции е

$1+\tan ^{2}(\alpha )=\operatorname {sec} ^{2}(\alpha )$

Како и останатите тригонометриски функции и секансот претставува однос меѓу две страни на правоаголен триаголник. Секанс е однос на хипотенузата и налегнатата катета.

$\operatorname {sec} \;\theta ={\frac {h}{b}}$ Тригонометриски триаголник

На тригонометрискиот круг вредноста на секансот е еднаква на големината на следната должина

$\sec \theta ={\overline {OB}}$ Првиот квадрант од единична кружница

Некои карактеристични вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијани	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$
$\sec \theta \,$	$1\;$	${\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}$	${\sqrt {2}}$	$2\;$	$\pm \infty \;$

Претставување на функцијата

Претставување на функцијата во вид на Тејлоров ред во околината на точката $x=0$

$\sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \qquad {\textrm {za}}\ |x|<{\frac {\pi }{2}}$

Односно обопштено

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ за }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

каде $E_{k}\!$ во формулата е Ојлерови броеви.

Исто така можно е функцијата да се претстави во следниот вид:

$\sec(x)=\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(8k+4)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Особини на функцијата

Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.

• Дефинициона област на функцијата:

функција е дефинирана во множеството реални броеви $\mathbb {R}$, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви

$-\infty <x<+\infty \quad ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z}$

• Област на вредностите на функцијата:

функцијата зема вредности во опсег на реалните броев, освен во областа -1 до 1

$-\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty$

• Парност

функција е парна

$\operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)$

• Периодичност

функцијата е периодична со основна периода 2π

$\operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)$

• Асимптоти

функцијата има вертикални асимптоти во точките

$x=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z}$

функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти

• Нули на функцијата

функцијата нема нули

• Монотоност на функцијата
• Екстреми

нема глобален екстрем

локален минимум

$\operatorname {sec} (2n\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z}$

локален максимум

$\operatorname {sec} ((2n+1)\cdot \pi )=-1\,;\,n\in \mathbb {Z}$

• Конвексност и конкавност на функцијата

функција е конвексна во интервалот

$-\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z}$

функцијата е конкавна во интервалот

$\pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z}$

• Превојни точки

функцијата нема превојни точки

Извод од функцијата

Првиот извод од функцијата е

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sec} (x)=\operatorname {sec} (x)\cdot \tan(x)={\frac {\operatorname {sec} ^{2}(x)}{\operatorname {cosec} (x)}}$

Интеграл

Неодредениот интеграл на функцијата е

$\int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}}\right|=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}$

Историја

Скратеницата sec првпат се појавува во 1626 година во книгата на Албер Жерар за тригонометрија.

Надворешни врски

• Функцијата секанс на wolfram.com

Литература

• Бронштајн, Семендјајев, Справочник по математике дља инженеров и учахчихсја втузов, Москва, »Наука«, 1980

Тригонометриски и хиперболични функции

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)