Праводијагонален четириаголник

Праводијагонален или ортодијагонален четириаголник — во Евклидовата геометрија, четириаголник чии дијагонали се вкрстуваат под прав агол. Со други зборови, тоа е четиристрана фигура во која линиските отсечки помеѓу несоседните темиња се меѓусебно ортогонални (нормални).

Посебни случаи

Делтоидот е праводијагонален четириаголник во кој едната дијагонала е права на симетрија. Змејовите се токму праводијагоналните четириаголници кои содржат кружница што е допирка на сите четири нивни страни; односно делтоидите се тангентни праводијагонални четириаголници.^[1]

Ромб е праводијагонален четириаголник со две двојки паралелни страни (односно, праводијагонален четириаголник кој исто така е паралелограм).

Квадратоте е ограничувачки случај и на делтоид и на ромб.

Праводијагонални рамнодијагонални четириаголници во кои дијагоналите се долги барем колку што сите страни на четириаголникот, имаат најголема плоштина за нивниот пречник меѓу сите четириаголници, решавајќи го случајот за n = 4 проблемот на најголемиот мал многуаголник. Квадратот е еден таков четириаголник, но има бесконечно многу други. Праводијагонален четириаголник кој е исто така рамнодијагонален е средноквадратен четириаголник бидејќи неговиот Варињонов паралелограм е квадрат. Неговата плоштина може да се изрази чисто во однос на нејзините страни.

Особини

За секој праводијагонален четириаголник важи дека збирот на квадратите на две спротивни страни е еднаков на збирот на другите две спротивни страни. За последователни страни a, b, c и d, имаме:^[2]^[3]

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.

Ова произлегува од Питагоровата теорема, со која кој било од овие два збира од два квадрати може да се прошири за да се изедначи со збирот на четирите квадратни растојанија од темињата на четириаголникот до точката каде што дијагоналите се сечат. Обратно, секој четириаголник во кој a² + c² = b² + d² мора да биде праводијагонален.^[4] Ова може да се докаже на повеќе начини, како со користење на косинусната теорема, вектори, индиректен доказ и комплексни броеви.^[5]

Дијагоналите на испакнат четириаголник се нормални ако и само ако двете бимедијани имаат еднаква должина.^[5]

Според друга особина, дијагоналите на испакнат четириаголник ABCD се нормални ако и само ако:

\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi

каде што P е пресечната точка на дијагоналите. Од оваа равенка речиси веднаш следи дека дијагоналите на испакнатиот четириаголник се нормални ако и само ако проекциите на дијагоналниот пресек на страните на четириаголникот се темиња на тетивен четириаголник.^[5]

Праводијагонален четириаголник ABCD (во сина боја). Варињоновиот паралелограм (во зелено) образуван од средните точки на страните на ABCD е правоаголник. Дополнително, четирите средни точки (сива) и четирите подножја на височините (црвени) се коциклични на кругот со 8 точки.

Испакнат четириаголник е праводијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм (чии темиња се средните точки на неговите страни) е правоаголник.^[5] Поврзана особеност вели дека испакнатиот четириаголник е праводијагонален ако и само ако средните точки на страните и подножјата на четирите височини се осум коциклични точки - кругот од осум точки. Средиштето на овој круг е центар на четириаголникот. Четириаголникот образуван од подножјата на височините се нарекува главен ортски четириаголник.^[6]

Вториот круг од 8 точки може да се конструира од праводијагонален четириаголник ABCD (во сина боја). Правите нормални на секоја страна преку пресекот на дијагоналите ги сечат страните во 8 различни точки, кои се коциклични.

Ако нормалите на страните на испакнатиот четириаголник ABCD низ дијагоналниот пресек ги сечат спротивните страни во R, S, T, U, а K, L, M, N се подножјата на овие нормали, тогаш ABCD е праводијагонален ако и само ако осумте точки K, L, M, N, R, S, T и U се коциклични - вториот круг од осум точки. Поврзана карактеризација вели дека испакнатиот четириаголник е праводијагонален ако и само ако RSTU е правоаголник чии страни се паралелни со дијагоналите на ABCD.^[5]

Постојат неколку метрички особености во однос на четирите триаголници образувани од дијагоналниот пресек P и темињата на испакнатиот четириаголник ABCD. Нека со m₁, m₂, m₃, m₄ се означени тежишниците во триаголниците ABP, BCP, CDP, DAP од P до страните AB, BC, CD, DA соодветно. Ако R ₁, R ₂, R ₃, R ₄ и h ₁, h ₂, h ₃, h ₄ ги означуваат полупречниците на опишаните кружници и височините соодветно на овие триаголници, тогаш четириаголникот ABCD е праводијагонален ако и само ако важи која било од следните еднаквости:^[5]

$m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}$
$R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$
${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Освен тоа, четириаголник ABCD со пресек на дијагоналите P е праводијагонален ако и само ако опишаните кружници на триаголниците ABP, BCP, CDP и DAP се средните точки на страните на четириаголникот.^[5]

Споредба со тангентен четириаголник

Како што може да се види во табелата, неколку метрички особености на тангентни четириаголници и праводијагонални четириаголници се многу слични по изглед.^[5] Ознаките на страните a, b, c, d, полупречниците на опишаните кружници R ₁, R ₂, R ₃, R ₄ и височините h ₁, h ₂, h ₃, h ₄ се исти како погоре кај двата вида четириаголници.

Тангентен четириаголник	Праводијагонален четириаголник
$a+c=b+d$	$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$
$R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}$	$R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Плоштина

Плоштината K на праводијагонален четириаголник е еднаква на половина од производот на должините на дијагоналите p и q:^[7]

K={\frac {pq}{2}}.

Обратно на тоа, секој испакнат четириаголник каде плоштината може да се пресмета со оваа формула мора да биде праводијагонален.^[5] Праводијагоналниот четириаголник има најголема плоштина од сите испакнати четириаголници со дадени дијагонали.

Други својства

Праводијагоналните четириаголници се единствените четириаголници за кои страните и аголот образуван од дијагоналите не ја одредуваат плоштината на единствен начин.^[3] На пример, два ромба кои имаат заедничка страна a (и, како и за сите ромбови, и двата имаат прав агол помеѓу дијагоналите), но едниот има помал остар агол од другиот, имаат различни плоштини (плоштината на вториот ромб се приближува на нула како што остриот агол се приближува до нула).
Ако квадратите се подигнати нанадвор на страните на кој било четириаголник (конвексни, конкавни или накрсни), тогаш нивните центри (центроиди) се темиња на праводијагонален четириаголник кој е исто така рамнодијагонален (т.е. има дијагонали со еднаква должина). Ова се нарекува Ван Обелова теорема.
Секоја страна на праводијагонален четириаголник има најмалку една заедничка точка со Паскаловите точки на кружницата.^[8]

Својства на праводијагоналните четириаголници кои се исто така циклични

Полупречник и плоштина

За цикличен праводијагонален четириаголник (оној што може да се впише во кружница), да претпоставиме дека пресекот на дијагоналите ја дели едната дијагонала на отсечки со должина p₁ и p₂ и ја дели другата дијагонала на отсечки со должини q₁ и q₂. Следи^[9] (првата еднаквост е предлогот 11 во Книгата леми од Архимед):

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

каде што D е пречникот на кружницата. Ова важи затоа што дијагоналите се нормални тетиви од кружницата. Овие равенки го даваат изразот за полупречникот:

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}

или, изразено преку страните на четириаголникот, како:^[2]

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.

Исто така, следи дека:^[2]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Според Ојлеровата четириаголна теорема, полупречникот може да се изрази во однос на дијагоналите p и q, и растојанието x помеѓу средните точки на дијагоналите како:

R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}\,.

Формулата за плоштината K на тетивен праводијагонален четириаголник во однос на четирите страни се добива непосредно кога се комбинира Птоломејовата теорема и формулата за плоштина на праводијагонален четириаголник. Резултатот е:^[10]^:p.222

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Други својства

Во тетивен праводијагонален четириаголник, антицентарот се совпаѓа со точката каде што се сечат дијагоналите.^[2]
Брамагуптината теорема вели дека за тетивен праводијагонален четириаголник, нормалата од која било страна низ точката на пресек на дијагоналите ја преполовува спротивната страна.^[2]
Ако еден праводијагонален четириаголник е исто така тетивен, растојанието од опишаната кружница (центарот на опишаната кружница) до која било страна е еднакво на половина од должината на спротивната страна.^[2]
Во тетивен праводијагонален четириаголник, растојанието помеѓу средните точки на дијагоналите е еднакво на растојанието помеѓу центарот на кружмницата и точката каде што се сечат дијагоналите.^[2]

Бесконечни множества на впишани правоаголници

ABCD

е праводијагонален четириаголник,

P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}

и

P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}

се правоаголници чии страни се паралелни со дијагоналите на четириаголникот.

ABCD

е праводијагонален четириаголник.

P_{1}

и

Q_{1}

се Паскалови точки образувани од кругот

\omega _{1}

,

\sigma _{P_{1}Q_{1}}

е кругот со Паскалови точки кој го определува правоаголникот

P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}

.

P_{2}

и

Q_{2}

се Паскалови точки образувани од кругот

\omega _{2}

,

\sigma _{P_{2}Q_{2}}

е кругот со Паскалови точки кој го определува правоаголникот

P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}

.

Во секој праводијагонален четириаголник, можеме да впишеме две бесконечни групи правоаголници:

(з) множество правоаголници чии страни се паралелни со дијагоналите на четириаголникот

(ii) множество правоаголници определени со кругови од Паскалови точки.^[11]

Наводи

↑ Josefsson, Martin (2010), „Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral“ (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130, Архивирано од изворникот (PDF) на 2011-08-13, Посетено на 2011-01-11.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 Altshiller-Court, N. (2007), College Geometry, Dover Publications. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136-138.
↑ ^3,0 ^3,1 Mitchell, Douglas, W. (2009), „The area of a quadrilateral“, The Mathematical Gazette, 93 (July): 306–309, doi:10.1017/S0025557200184906.
↑ Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009), „Class preserving dissections of convex quadrilaterals“ (PDF), Forum Geometricorum, 9: 195–211, Архивирано од изворникот (PDF) на 2019-12-31, Посетено на 2011-01-14.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 ^5,5 ^5,6 ^5,7 ^5,8 Josefsson, Martin (2012), „Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals“ (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13–25, Архивирано од изворникот (PDF) на 2020-12-05, Посетено на 2012-04-08.
↑ Mammana, Maria Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario (2011), „The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral“ (PDF), Forum Geometricorum, 11: 109–119, Архивирано од изворникот (PDF) на 2018-04-23, Посетено на 2012-04-09.
↑ Harries, J. (2002), „Area of a quadrilateral“, The Mathematical Gazette, 86 (July): 310–311, doi:10.2307/3621873, JSTOR 3621873
↑ David, Fraivert (2017), „Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals“ (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509–526, Архивирано од изворникот (PDF) на 2020-12-05, Посетено на 2017-12-18.
↑ Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996), Challenging Problems in Geometry (second. изд.), Dover Publications, pp. 104–105, #4–23.
↑ Josefsson, Martin (2016), „Properties of Pythagorean quadrilaterals“, The Mathematical Gazette, 100 (July): 213–224, doi:10.1017/mag.2016.57.
↑ David, Fraivert (2019), „A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles“, Journal for Geometry and Graphics, 23: 5–27.

Надворешни врски

A Van Aubel like property of an Orthodiagonal Quadrilateral at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.

[1] Josefsson, Martin (2010), „Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral“ (PDF), Forum Geometricorum, 10: 119–130, Архивирано од изворникот (PDF) на 2011-08-13, Посетено на 2011-01-11.

[Altshiller-Court-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 Altshiller-Court, N. (2007), College Geometry, Dover Publications. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136-138.

[Mitchell-3] 3,0 ^3,1 Mitchell, Douglas, W. (2009), „The area of a quadrilateral“, The Mathematical Gazette, 93 (July): 306–309, doi:10.1017/S0025557200184906.

[4] Ismailescu, Dan; Vojdany, Adam (2009), „Class preserving dissections of convex quadrilaterals“ (PDF), Forum Geometricorum, 9: 195–211, Архивирано од изворникот (PDF) на 2019-12-31, Посетено на 2011-01-14.

[Josefsson2-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 ^5,3 ^5,4 ^5,5 ^5,6 ^5,7 ^5,8 Josefsson, Martin (2012), „Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals“ (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13–25, Архивирано од изворникот (PDF) на 2020-12-05, Посетено на 2012-04-08.

[6] Mammana, Maria Flavia; Micale, Biagio; Pennisi, Mario (2011), „The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral“ (PDF), Forum Geometricorum, 11: 109–119, Архивирано од изворникот (PDF) на 2018-04-23, Посетено на 2012-04-09.

[7] Harries, J. (2002), „Area of a quadrilateral“, The Mathematical Gazette, 86 (July): 310–311, doi:10.2307/3621873, JSTOR 3621873

[Fraivert-8] David, Fraivert (2017), „Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals“ (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509–526, Архивирано од изворникот (PDF) на 2020-12-05, Посетено на 2017-12-18.

[9] Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1996), Challenging Problems in Geometry (second. изд.), Dover Publications, pp. 104–105, #4–23.

[Josefsson3-10] Josefsson, Martin (2016), „Properties of Pythagorean quadrilaterals“, The Mathematical Gazette, 100 (July): 213–224, doi:10.1017/mag.2016.57.

[Fraivert2-11] David, Fraivert (2019), „A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles“, Journal for Geometry and Graphics, 23: 5–27.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]