Тетивен четириаголник

Тетивен четириаголник — четириаголник околу кој може да се опише кружница. Со други зборови, четириаголникот е тетивен ако сите негови темиња се точки на една кружница. Името тетивен доаѓа од тоа што секоја страна на таков четириаголник е тетива во тој круг.

Сл. 1 Општ случај на тетивен четириаголник

Тетивни четириаголници се: квадрат, правоаголник и рамнокрак трапез. Делтоидот е тетивен ако има два прави агли.

Четириаголници за кои со сигурност знаеме дека околу нив не може да се опишат кружници (не се тетивни) се паралелограмот и ромбот.

Основно својство на тетивен четириаголник:

Четириаголникот е тетивен ако и само ако симетралите на неговите страни се сечат во една точка.

Исто така важна е особината:

Четириаголник е тетивен ако и само ако збирот на секои два спротивни агли е еднаков на 180° (спротивните агли се суплементни).

Сл. 2 Односи меѓу аглите во тетивен четириаголник

$\,\alpha +\gamma =180^{\circ }$

$\,\beta +\delta =180^{\circ }$

што може да се види од сликата на која се прикажани централниот и периферниот агол над дијагоналата. (сл. 2) Од ова произлегува дека секој четириаголник што има два спротивни прави агли е тетивен.

Четириаголник во кој може истовремено да се впише и опише кружница се нарекува тангентно-тетивен четириаголник или двоцентричен четириаголник.

Сл. 3 примери

Некои својства на тетивниот четириаголник

Површината на тетивен четириаголник со страни $a,\,b,\,c,\,d$ може да се изрази со помош на полуобемот $s\,$, при што

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$

со формула наречена Брамагуптина формула:

$P={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

или со формулата во која се појавуваат страните на четириаголникот и полупречникот на опишаната кружница $R\,$

$P={\frac {1}{4R}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}$ .

Ако дијагоналите на овој четириаголник се $e\,$ и $\,f$ (сл. 1), тогаш површината може да се изрази со формулите

$P={\frac {e\cdot (ab+cd)}{4R}}={\frac {f\cdot (ad+bc)}{4R}}$ ,

каде дијагоналите се пресметуваат со формулите

$e={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}$ и $f={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}$ .

Дијагоналите на тетивниот четириаголник се сечат во точка $P\,$ (сл. 1), а односот помеѓу деловите на дијагоналата се изразува со формулата ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$ .

Птоломејова теорема

Ако $a,\,b,\,c,\,d$ се страниците, а $e\,$ и $\,f$ дијагоналите на тетивниот четириаголник, тогаш е

Не можев да расчленам (SVG (MathML може да се овозможи преку приклучок на прелистувачот): Неважечки одговор („Math extension cannot connect to Restbase.“) од опслужувачот „http://localhost:6011/mk.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle ef = ac+bd\,} .

Поврзано

• Тангентен четириаголник
• Тетивно-тангентен четириаголник