Ван Обелова теорема
Во рамнинската геометрија, Ван Обеловата теорема опишува врска помеѓу квадратите поставени над страните на четириаголник. Ако е даден конвексен четириаголник, над секоја од неговите страни конструираме квадрати од надворешната страна. Ван Обеловата теорема вели дека двете отсечки кои ги поврзуваат центрите на квадратите над спротивните страни се со еднакви должини и се сечат под прав агол. Друг начин да се каже истото е дека централните точки на четирите квадрата се темиња на еквидијагонален ортодијагонален четириаголник. Оваа теорема е именувана според белгискиот математичар Хенрикус Хубертус (Анри) ван Обел (1830–1906), кој ја објавил во 1878 година.[1]
Теоремата важи и за четириаголници кои повторно влегуваат,[2] и кога квадратите се конструирани кон внатрешноста на дадениот четириаголник.[3] За сложени (самопресекувачки) четириаголници, конструкциите на квадратите накај надворешноста и внатрешноста не се дефинирани. Во овој случај, теоремата важи кога конструкциите се изведуваат на поопшт начин:[3]
- ги подредуваме темињата од дадениот четириаголник и над секоја страна меѓу две соседни темиња во насока на подредувањето конструираме квадрат од нејзината десна страна.
- ги подредуваме темињата од дадениот четириаголник и над секоја страна меѓу две соседни темиња во насока на подредувањето конструираме квадрат од нејзината лева страна.
Отсечките кои ги спојуваат центрите на квадратите конструирани надворешно (или внатрешно) во однос на четириаголникот над две спротивни страни се нарекуваат Ван Обелови отсечки. Пресечните точки на две еднакви и ортогонални Ван Обелови отсечки (добиени кога тоа е потребно) се наведени како Ван Обелови точки:[3] прва или надворешна Ван Обелова точка за надворешната конструкција, втора или внатрешна точка на Ван Обел за внатрешната конструкција.
Конфигурацијата на теоремата на Ван Обел дава некои релевантни својства, меѓу кои:
- Ван Обеловите точки се средини на двата опишани квадрата на четириаголникот.[4]
- Ван Обеловите точки, средишните точки на дијагоналите на четириаголникот и средишните точки на отсечките на Ван Обел се конциклични.[3]
Во списанието Математички весник (The Mathematical Gazette) [5][6] се објавени неколку проширувања на теоремата кои се добиваат ако наместо квадрати, над страните на дадениот четириаголник се конструирани слични правоаголници, слични ромбови или слични паралелограми.
Исто така погледнете
уреди- Теорема на Петр-Даглас-Нојман
- Теорема на Тебо
- Наполеонова теорема
- Точки на Наполеон
- Теорема на Ботема
Наводи
уреди- ↑ Van Aubel, H. (1878), „Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygon quelconque“, Nouvelle Correspondance Mathématique (француски), 4: 40–44.
- ↑ Coxeter, H.S.M., and Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisited, pages 52.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 D. Pellegrinetti: "The Six-Point Circle for the Quadrangle". International Journal of Geometry, Vol. 8 (Oct., 2019), No. 2, pp. 5–13.
- ↑ Ch. van Tienhoven, D. Pellegrinetti: "Quadrigon Geometry: Circumscribed Squares and Van Aubel Points". Journal for Geometry and Graphics, Vol. 25 (July, 2021), No. 1, pp. 53–59.
- ↑ M. de Villiers: "Dual Generalizations of Van Aubel's theorem" Архивирано на 25 јануари 2021 г.. The Mathematical Gazette, Vol. 82 (Nov., 1998), pp. 405-412.
- ↑ J. R. Silvester: "Extensions of a Theorem of Van Aubel". The Mathematical Gazette, Vol. 90 (Mar., 2006), pp. 2-12.
Надворешни врски
уреди- Weisstein, Eric W. "van Aubel's Theorem". MathWorld.
- Van Aubel's Theorem for Quadrilaterals and Van Aubel's Theorem for Triangles by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
- The Beautiful Geometric Theorem of Van Aubel by Yutaka Nishiyama, International Journal of Pure and Applied Mathematics.
- Interactive applet by Tim Brzezinski showing Van Aubel's Theorem made using GeoGebra.
- Some generalizations of Van Aubel's theorem to similar quadrilaterals at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.
- QG-2P6: Outer and Inner Van Aubel Points by Chris Van Tienhoven at Encyclopedia of Quadri-Figures (EQF).
- Note concernant les centres de carrés construits sur les côtés d'un polygon quelconque by M. H. Van Aubel at HathiTrust Digital Library.