Нормалност (математика)
Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) нормални ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90°.[1] Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90°.
- Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои лежат отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.[2]
- При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче.[3].
Означување
уредиСимбол за нормалност е . На пример, значи дека правите AB и CD се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.
- Нормалност како паралелност е симетрична особина, односно е еквивалентно со , па затоа едноставно велиме дека AB и CD се нормални.
- За разлика од паралелност, нормалност не е транзитивна особина. На против, ако и тогаш .
Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со ⊥ и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На мрежно место, т.е. во ХТМЛ се внесува ⊥ или "а5;.[4] За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x.[5] Во уникод има и симболи ⊾ (⊾) и ∟ (∟).
Во LaTeX, симболот за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.
Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка.
Нормални прави и наклон
уредиВо алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.
Основна поставка: Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1.[6]
Пример: Правите y= -3x+2 и y =x/3+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е a1= -3, а наклонот на втората права е a2=1/3 така што a1·a2= -3·1/3 = -1.
Пример: Правите 2x-y+3=0 и x-2y-1=0 не се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2·1/2=1 (а не -1).
- Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
- Ако правата m е нормална на правата n, a правата n е нормална на правата p, тогаш правите m и p или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти).
- Доказ: Нека наклон на m e a. Од нормалноста на m и n, наклонот на n е -1/a. Од нормалноста на n и p, наклонот на p е
- .
Нормала на права низ точка во рамнина
уредиКонструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода![7] |
Конструкција со шестар и линијар
уредиЕдна од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права m која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на m.[8]
- Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).
- Означи ја точката со буквата С.
- Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
- Со шестар нацртај една кружница со полупречник АС и центар А.
- Со шестар нацртај друга кружница со полупречник ВС и центар В.
- Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
- Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки.
Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.
Алгебарска равенка
уредиНека е дадена точка C со координати С=(p,q) и права
Равенката на права која минува низ С(p,q) и е нормална на дадената права е
Доказ: Наклонот на дадената права е a. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е −1/a. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (p,q). (Види и Формули за равенка на права.)
Пример: Равенката на нормалата на правата y=3x+2 која минува низ точката (-1,-1) е: y=-x/3-4/3.
Нормала и растојание
уредиНормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти.
Растојание помеѓу точка и права во рамнина
уредиЗа да се пресмета растојание помеѓу точка C=(p,q) и права m, најпрво треба да се најде равенката на правата n која е нормална на правата m, а минува низ точката C. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка D на правите n и m. Тогаш растојанието помеѓу С и m е растојанието помеѓу точките С и D.
Пример: Нека точката C=(-4,2), a правата m нека е дадена експлицитно y=x/2-1. Тогаш наклонот на правата m e ½, така што наклонот на нормалата n е
со што равенката на n e
Пресекот на правите m и n е решение на систем линеарни равенки
Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките С и D е
Следува дека растојанието помеѓу точката С и правата m е ≈4,47
Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнина
уредиВиди паралелни прави
Растојание во 3Д простор
уредиНормали на крива
уредиВо математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека y=f(x) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката xo и дека вредноста на функцијата во таа точка е yo=f(xo), а вредноста на изводот во таа точка е y'o=y'(xo).
Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е
а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е[9]
Нормалност и вектори
уредиОсновна поставка: Во аналитичка геометрија, два полупречнички вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)
Нормалност во 3Д простор
уреди- Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.
Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е
- ,
Рамнина зададена во општ облик е
Поставка: Правата и рамнината се нормални ако полупречничките вектори <a,b,c> и <A,B,C> се колинеарни (линеарно зависни), односно ако
Формула: Равенка на рамнина која е нормална со полупречник-векторот <a,b,c>, а врви низ точката C(xo,yo,zo) e
- Во 3-димензионален простор, две рамнини се нормални ако нивниот просторен агол е прав агол. Види и аналитичка геометрија.
Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно
Поставка: Рамнините се нормални ако полупречничките вектори <A,B,C> и <A1,B1,C1> се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.
Обопштување
уредиНормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот ортогоналност во класична математика.
Наводи
уреди- ↑ Math Open Reference (2009). „Perpendicular lines“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.[мртва врска] интерактивен }
- ↑ C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Perpendicular“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 599. Посетено на 1 мај 2014.
- ↑ Pierce, R. (2012). „Symbols in Geometry“ (англиски). Math is Fun. Посетено на 1 септември 2013.
- ↑ „Unicode Entity Codes for Math“ (англиски). 2013. Архивирано од изворникот на 2013-11-27. Посетено на 1 септември 2013.
- ↑ „Unicode Input“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
- ↑ Math Open Reference. „Perpendicular lines (Coordinate geometry)“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013.[мртва врска] интерактивен
- ↑ Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на нормала низ точка која лежи на права“. Архивирано од изворникот на 2012-04-13. Посетено на 1 септември 2013.
- ↑ Math Open Reference (2009). „Constructing a perpendicular line through a given point with compass and straightedge“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. интерактивно
- ↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 555. Посетено на 1 септември 2013.
Поврзано
уредиНадворешни врски
уреди- Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод) (2013). „Геогебра алатка: Нормала“. Архивирано од изворникот на 2014-10-18. Посетено на 1 септември 2013.
- Стефановска, Л. (2012). „Равенки на тангента и нормала на крива“. Connexions. Посетено на 1 септември 2013.
- Стојановска, Л. (2010). „Видеа за калкулус“. Архивирано од изворникот на 2013-07-02. Посетено на 1 септември 2013.