Нормалност (математика)

(Пренасочено од Нормални прави)

Во геометријата, две прави во рамнина се (меѓусебно) нормални ако се сечат под прав агол, т.е. под агол со 90°.[1] Оваа дефиниција има два дела: (а) нормални прави се сечат и (б) четирите агли кои се формираат со пресекот се по 90°.

  • Две отсечки во рамнина се нормални ако правите на кои лежат отсечките се нормални. На истиот начин се дефинира нормалност на сите комбинации на права, полуправа и отсечка.[2]
  • При цртање, за да се означи дека две прави се нормални се црта симбол за прав агол кај пресекот на двете прави. Во РМ се користи мал лак со точка, а друго означување е со мало квадратче.[3].
Normalni pravi1.svg Normalni pravi 4.svg Normalni otsecki1.svg Normalni otsecki2.svg Normalni pravi oznaki.svg
Нормални прави. Нормални прави
формираат 4 прави агли.
Нормални отсечки. Означување на прав агол (нормалност).

ОзначувањеУреди

Симбол за нормалност е    . На пример,   значи дека правите AB и CD се нормални. Симболот се совпаѓа со Буловиот симбол за невистинит, но контекстот е сосема различен така што не се мешаат.

  • Нормалност како паралелност е симетрична особина, односно     е еквивалентно со    , па затоа едноставно велиме дека AB и CD се нормални.
  • За разлика од паралелност, нормалност не е транзитивна особина. На против, ако     и     тогаш     .

Во уникод, симболот за нормалност на вашиот тековен прелистувач се прикажува со и е уникод бројот 8869. Соодветните хексадецимален број се 22а5. На веб страна, т.е. во ХТМЛ се внесува ⊥ или &#x22а5;.[4] За внесување на уникод симболи во текст уредувачи на Microsoft се внесува хексадецималниот код, па веднаш потоа се притиска Alt+x.[5] Во уникод има и симболи ⊾ () и ∟ ().

Во LaTeX, симболот      за нормалност се добиваат со командата \perp која е дел од пакетот wasysym.

Во Геогебра, симбол при цртање на прав агол се менува во Опции -> Напредно -> Ознака за прав агол, па се избере точка.

Нормални прави и наклонУреди

Во алгебра, права во рамнина има наклон, односно број кој го опишува правецот и стрмноста на правата. Ако е дадена правата во експлицитен облик y=ax+b, тогаш коефициентот a на x е наклонот на правата.

Основна поставка: Две прави се нормални ако и само ако производот на нивните наклони е -1.[6]

Пример: Правите y= -3x+2 и y =x/3+2 се нормални бидејќи наклонот на првата права е a1= -3, а наклонот на втората права е a2=1/3 така што a1·a2= -3·1/3 = -1.

Пример: Правите 2x-y+3=0 и x-2y-1=0 не се нормални бидејќи производот на нивните наклони е 2·1/2=1 (а не -1).

  • Две прави се нормални само ако едната има позитивен наклон, а другата има негативен наклон.
  • Ако правата m е нормална на правата n, a правата n е нормална на правата p, тогаш правите m и p или се паралелни или се совпаѓаат (т.е. наклоните им се исти).
Доказ: Нека наклон на m e a. Од нормалноста на m и n, наклонот на n е -1/a. Од нормалноста на n и p, наклонот на p е
 .

Нормала на права низ точка во рамнинаУреди

 
Конструкција на нормала на права низ точка која не лежи на правата со Геогебра. Види и навода![7]

Конструкција со шестар и линијарУреди

Една од основните конструкции со шестар и линијар е конструкција на права нормална со дадена права m која минува низ дадена точка C која лежи/не лежи на m.[8]

  1. Со линијар нацртај права и точка која не лежи на правата (види наводи за точка на права).
  2. Означи ја точката со буквата С.
  3. Доколку нема, означи две посебни точки А и В на правата (релативно блиски една до друга и до точката С).
  4. Со шестар нацртај една кружница со радиус АС и центар А.
  5. Со шестар нацртај друга кружница со радиус ВС и центар В.
  6. Означи ја другата пресечна точка D на двете кружници (едната пресечна точка е С).
  7. Нацртај ја правата CD која минува низ двете пресечни точки.

Правата CD врви низ С и е нормална на правата АВ.

Алгебарска равенкаУреди

Нека е дадена точка C со координати С=(p,q) и права

 

Равенката на права која минува низ С(p,q) и е нормална на дадената права е

 

Доказ: Наклонот на дадената права е a. Според основната поставка, наклонот на (која било) нормала е −1/a. Значи бараната нормала го има тој наклон, а минува низ точката (p,q). (Види и Формули за равенка на права.)

Пример: Равенката на нормалата на правата y=3x+2 која минува низ точката (-1,-1) е: y=-x/3-4/3.

Нормала и растојаниеУреди

Нормали се користат за пресметување на растојание помеѓу геометриски објекти.

Растојание помеѓу точка и права во рамнинаУреди

За да се пресмета растојание помеѓу точка C=(p,q) и права m, најпрво треба да се најде равенката на правата n која е нормална на правата m, а минува низ точката C. Потоа треба да се најдат координатите на прeсечната точка D на правите n и m. Тогаш растојанието помеѓу С и m е растојанието помеѓу точките С и D.

Пример: Нека точката C=(-4,2), a правата m нека е дадена експлицитно y=x/2-1. Тогаш наклонот на правата m e ½, така што наклонот на нормалата n е

 

со што равенката на n e

 

Пресекот на правите m и n е решение на систем линеарни равенки

 

Решението е D(-2,-2). Растојанието помеѓу точките С и D е

 

Следува дека растојанието помеѓу точката С и правата m е ≈4,47

Растојание помеѓу две паралелни прави во рамнинаУреди

Види паралелни прави

Растојание во 3Д просторУреди

Види аналитичка геометрија

Нормали на криваУреди

Во математичката дисциплина калкулус (диференцијално сметање) е дефиниран поимот извод. Да претпоставиме дека y=f(x) е реална функција од една реална променлива и е диференцијабилна во точката xo и дека вредноста на функцијата во таа точка е yo=f(xo), а вредноста на изводот во таа точка е y'o=y'(xo).

Тогаш равенката на тангентата на функцијата во таа точка е

 

а равенката на нормалата на функцијата во таа точка е[9]

 

Нормалност и векториУреди

Основна поставка: Во аналитичка геометрија, два радиус-вектори се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е 0. (Види и аналитичка геометрија.)

Нормалност во 3Д просторУреди

  • Во 3-димензионален простор, права и рамнина се нормални ако правата и рамнината се сечат во една точка А и правата е нормална со секоја права од рамнината која минува низ А.

Права зададена во параметарски (векторски, вектор-параметарски) облик е

   ,   

Рамнина зададена во општ облик е

 

Поставка: Правата и рамнината се нормални ако радиус-векторите <a,b,c> и <A,B,C> се колинеарни (линеарно зависни), односно ако

 

Формула: Равенка на рамнина која е нормална со радиус-векторот <a,b,c>, а врви низ точката C(xo,yo,zo) e

 

Нека се дадени две рамнини во општ облик, односно

 
 

Поставка: Рамнините се нормални ако радиус-векторите <A,B,C> и <A1,B1,C1> се нормални, односно ако нивниот скаларен производ е 0.

 

ОбопштувањеУреди

Нормалност како поим во елементарна геометрија се обопштува во поимот ортогоналност во класична математика.

НаводиУреди

  1. Math Open Reference (2009). „Perpendicular lines“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. интерактивен }
  2. C.Clapham, J.Nicholson (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Perpendicular“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 599. Посетено на 1 мај 2014.
  3. Pierce, R. (2012). „Symbols in Geometry“ (англиски). Math is Fun. Посетено на 1 септември 2013.
  4. „Unicode Entity Codes for Math“ (англиски). 2013. Посетено на 1 септември 2013.
  5. „Unicode Input“ (англиски). Wikipedia. Посетено на 1 септември 2013.
  6. Math Open Reference. „Perpendicular lines (Coordinate geometry)“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. интерактивен
  7. Институт за Геогебра на МКД. „Конструкција на нормала низ точка која лежи на права“. Посетено на 1 септември 2013.
  8. Math Open Reference (2009). „Constructing a perpendicular line through a given point with compass and straightedge“ (англиски). Посетено на 1 септември 2013. интерактивно
  9. Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 555. Посетено на 1 септември 2013.

ПоврзаноУреди

Надворешни врскиУреди