Конусен пресек

Конусен пресек – пресек на конус и произволна рамнина во просторот. Конусните пресеци заземаат многу значајно место како во геометријата, така и во целата математика. Постојат различни случаи на пресеци. Се делат на дегенерирани (точка, права или две прави кои се сечат), и недегенерирани (криви). Недегенерираните се пресеци кај кои рамнината не го содржи темето на конусот и таквите пресеци се нарекуваат коники. Тука спаѓаат параболата, хиперболата, елипсата, како и специјалниот случај на елипса – кругот. Основна карактеристика на недегенирираните конусни пресеци (освен кругот) е дека постои точка (фокус) и права (директриса) такви што односот на растојанието на произволна точка од кониката до нив е константен. Во аналитичката геометрија, кониката може да се дефинира како рамнинска алгебарска крива од втор ред. Кониките се многу битни за многу области. На пример, во астрономијата: небесните тела се движат по патеки кои се коники, во оптиката (конструкција на леќи и огледала), во механиката и многу други области. Често се применува и во палеонтологијата за разбирање на изгледот на одредени организми.

• 

  Елипса

• 

  Круг

• 

  Хипербола

• 

  Парабола

Историја на конусните пресеци

Стара Грција

Проучувањето на конусните пресеци датира уште од времето на Старите Грци. Се смета дека конусните пресеци прв ги открил, дефинирал и опишал Менехмо (Menaechmus, околу 375-325 година пр.н.е.), Платонов ученик и тутор на Александар Македонски. Работата на Менехмо не е сочувана, така што денес за неа дознаваме само до различни списи на негови современици. Конусните пресеци ги користел при обидите за решавање на три проблеми на конструктивната геометрија: квадратура на круг, трисекција на агол и удвојување на коцка. Дефиницијата која тогаш се користела се разликува од денешната. Дури кога во 19 век било докажано дека наведените три проблеми не се решливи со употреба само на линијар и шестар, конусните пресеци почнале да се дефинираат како пресеци на исправен кружен конус и рамнина. Во Стара Грција конусите ги конструирале со вртење на правоаголен триаголник околу една катета, така што хипотенузата ја генерира површината на конусот. Одредувањето на кониката се вршело така што се посматрал аголот меѓу рамнината и темениот агол (двократна големина на аголот што го образуваат хипотенузата и катетата околу која се ротира триаголникот). Доколку аголот е остар, кониката е елипса, ако е прав, парабола, и доколку аголот е тап, се работи за хипербола.

Се смета дека со конусни пресеци се занимавал и Евклид (околу 3390275 година пр.н.е.), меѓутоа ни неговите трудови не се сочувани. Кониките, со посебен акцент на параболата, ги проучувал и Архимед (297-212 година пр.н.е.). Неговите трудови како „Расправи за квадратурата на парабола“ се сочувани до денес.

Во проучувањето на кониките посебен придонес дал Аполониј (околу 262-190 година пр.н.е.), грчки математичар и астроном. Тој ја напишал монографијата „Конусни пресеци“ која се состоела од осум книги со 787 ставови. Првите четири книги се на грчки јазик, наредните три на персиски, додека осмата, последната, е изгубена. Аполониј прв ги дал основните теории за сите три коники на кружен, исправен или кос конус, за што пишувал во првата книга. Исто така, прв ги воочил двете гранки на хиперболата, за што, покрај цртањето на тангентите на хиперболата и изучување на нејзините асимптоти, пишувал во втората книга.

Во третата книга се занимавал со одредени теореми за површините и хармониските својства на половите на кониките. Четвртата книга била продолжение на третата, додека петтата, шестата и седмата, негови сопствени откритија. Најоригинална од сите се смета петтата книга во која се разгледува нормалата како максимална и минимална права линија повлечена од точка на кривата. Шестата книга зборува за поклопувањето и сличноста на конусите, додека седмата книга зборува за пречниците и праволиниските фигури опишани над тие пречници. Аполониј прв им ги дал имињата: парабола, хипербола и елипса. Иако не му бил познат алгебарскиот начин на претставување на конките, многу Аполониеви резултати можат непосредно да се запишат со метода на координати. Се смета за еден од најголемите математичари во историјата кои се занимавале со геометрија, а најголем во Стара Грција, покрај Евклид.

Последен антички великан на геометријата кој ги проучувал конусните пресеци бил Папо (290-350 година н.е.) од Александрија. Во своето дело „Колекција“, покрај тоа што би обединил сознанијата од своите претходници, ги вовел поимите фокус и директриса на хипербола.

Конусни пресеци во арапскиот свет

Дијаграм на Аполониевите коники, 9 век, арапски превод

Персискиот математичар, физичар и астроном Ал-Кухи во десеттиот век направил инструмент за цртање конусни пресеци. Инструментот бил наречен конусен шестар. Користејќи ги кониките, поточно пресек на две параболи, Ал-Кухи го решил проблемот на конструкција на рамностран петаголник впишан во зададен квадрат. Друг персиски математичар Омар Ал-Хајам (1048-1131) кој исто така бил и астроном, филозоф, поет и полиглот, ги превел Аполониевите дела на арапски јазик. Тоа биле петтата, шестата и седмата книга од Аполониевието дело „Конусни пресеци“. Исто така, ја користел параболата и (правоаголната) хипербола при решавање на кубни равенки.

Европа

Во Европа научниците не се занимавале со кониките сè до ренесансата. Прв значаен чекор биле Кеплеровите закони (Јохан Кеплер, 1571—1630). Кеплер, германски астроном, поставил три теории познати како „Кеплерови закони“. Првиот Кеплеров закон е најбитен за продолжување на изучувањето на кониките и зборува за тоа дека телата во Сончевиот Систем се движат околу Сонцето по коника, а дека самото Сонце се наоѓа во фокусот на таа коника. Тој разликувал пет вида коники, за разлика од Аполониј кој разликувал само три вида. Кониките кои ги разликувал Кеплер се кружница, елипса, парабола, хипербола и права. Се смета дека прв во Европа ги вовел називите „фокус“ и „директриса“ во 1604 година (прв ги вовел Папо, поврзани со хипербола во Стара Грција). Се смета дека тврдел дека со поместување на фокусите на една коника може да се добие друга (од елипса може да се добие круг со приближување на фокусите, додека со нивно оддалечување може да се добие парабола). Прв почнал да го изучува законот на континуитет. Врз основа на Кеплеровите трудови, Лајбниц (Готфрид Вилхелм Лајбниц) подоцна продолжил да го изучува.

Проучувањето на кониките особено било забрзано со настанувањето на проективната геометрија чии втемелувачи биле Дезарг (Жирар Дезарг, 1591—1661), Де ла Ир (Филип де ла Ир, 1640—1718) и Паскал (Блез Паскал, 1623—1662). Едно од најпознатите Паскалови дела е „Теорема за мистичниот хексаграм“ во која се наоѓа и доказот на теоремата: „Доколку во кониката е впишан хексаграм 1231'2'3', тогаш пресеците на трите пара спротивни страни 12' со 1'2, 23' со 2'3 и 13'со 1'3 се колинеарни“.

Декарт (Рене Декарт, 1596—1650) заедно со Ферма (Пјер де Ферма, 1601—1665) ги поставил темелите на денешната аналитичка геометрија. Волис (Џон Волис, 1616—1703) прв, во 1655 година ги дефинирал кониките како случаи на равенки од втор степен. Сепак, можеби и најголемо значење на кониките и конусните пресеци им дал Њутн (Исак Њутн, 1642—1727) со откритието дека орбитите на небесните тела се коники, односно со докажување на Кеплеровите закони. Денес, кружните запченици ги движат машините, исто така знаеме за параболични антени и фарови на автомобилите, додека цистерните и ехо локаторите ги користат особините на хиперболата, односно, кониките се секаде околу нас.

Особини на конусните пресеци

За сите коники, освен кругот, важи дека постои точка $F$ која се нарекува фокус на кониката, и права $d$ која се нарекува директриса такви што односот на растојанието на произволна точка $M$ конике до жиже $F$' и директрисата $d$ е константен.

$e={\frac {MF}{d(M,d)}}$

Тој однос се нарекува ексцентритет на кониката и се означува со $e$. Доколку ексцентритетот е меѓу 0 и 1, кониката е елипса, а во специјален случај, кога ексцентритетот е еднаков на 0, кониката е круг. Параболата има ексцентритет 1, додека кониката чиј ексцентритет е поголем од 1 е хипербола.

Теорема. Секој коника, освен кругот, е геометриско место точки во рамнина за кои односот на растојанието од некоја точка $F$ (фокусот) и некоја постојана права $d$ (директриса) е константна величина.

Фокусот на кругот воедно е и негов центар, а директриса е бесконечно далечна права. Елипсата и хиперболата имаат два фокуса и соодветни директриси. Параболата има само еден фокус и една директриса.

Уште една особина заедничка за сите коники, освен параболата, е линеарниот ексцентритет. Линеарниот ексцентритет претставува оддалеченост на центарот на коникат до нејзиниот фокус, или еден од фокусите. Најчесто се означува со $c$.

Тетивата која поминува низ фокусот или еден од двата фокуса на кониката и е паралелна со директристата се нарекува latus rectum. Фокусниот параметар на кониката е растојанието меѓу фокусот, или еден од фокусите на кониката, и директрисата. Се означува со $p$.

коника	канонска равенка	ексцентрицитет ($e$)	линеарен ексцентрицитет ($c$)	latus rectum ($l$)	фокусен параметар ($p$)
круг	${x^{2}}+{y^{2}}=r^{2},\ r>0$	$0$	$0$	$r$	$\infty$
елипса	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\ a>b>0$	${\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}}$
парабола	$y^{2}=2px,\ p>0$	$1$	$-$	$2a$	$2a$
хипербола	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\ a,b>0$	${\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$	${\sqrt {{a^{2}}+{b^{2}}}}$	${\frac {b^{2}}{a}}$	${\frac {b^{2}}{\sqrt {{a^{2}}+{b^{2}}}}}$

Конструкција

Трите основни конусни пресеци се елипса, парабола и хипербола. Кружница може да се третира како четврта коника, или како специјален случај на елипса. Кружницата и елипсата се добиваат кога пресекот на кружниот конус со рамнина е затворена крива. Кружницата се добива кога рамнината која го сече конусот е поставена паралелно со рамнината која ја генерира кружницаа на конусот – кога е во прашање прав конус како на сликата горе на страната, пресечната рамнина е нормална на оската на симетрија на конусот. Доколку пресечната рамнина е паралелност (геометрија)паралелна точно на една права која генерира конус, добиениот конусен пресек не е ограничен и се нарекува парабола. Во преостанатиот случај, кога рамнината ги сече двете компоненти на конусот, се добиваат две раздвоени неограничени криви кои се нарекуваат гранки на хипербола.

Канонски облик

Во Декартови координати равенките на кониките може да се запишат во својот канонски облик:

• Кружница: $x^{2}+y^{2}=r^{2}\,$
• Елипса: ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$
• Парабола: $y^{2}=2px$
• Хипербола: ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1,\;{x^{2} \over b^{2}}-{y^{2} \over a^{2}}=-1$

Параболата поседува својство на оскина симетрија, додека кружницата, елипсата и хиперболата се централно симетрични.

Конусните пресеци може да бидат зададени и со своите параметарски равенки:

• Кружница: $(x=x_{0}+rcos\theta ,\ y=y_{0}+rsin\theta ),\qquad \theta \in [0,2\pi )$,
• Елипса: $(x=x_{0}+acos\theta ,\ y=y_{0}+bsin\theta ),\qquad \theta \in [0,2\pi )$,
• Парабола: $(x=x_{0}+{\frac {t^{2}}{2p}},\ y=y_{0}+t),\qquad t\in R$,
• Хипербола: $x=x_{0}\pm a\cosh \theta ,\ y=y_{0}+b\sinh \theta ),\qquad \theta \in R$.

Декартов координатен систем

Во Декартовиот координатен систем, графиконот на квадратна функција со две непознати $f(x,y)$ може да биде конусен пресек.

Равенката на конусни пресеци е во облик: $f(x,y)\equiv Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$, каде $A,B,C,D,E$ и $F$ не се сите еднакви на нула.

Како скалирањето на константите $A,B,C,D,E$ и $F$ не влијае на множеството на нули на функцијата $f(x,y)$, конусните пресеци може да се посматраат како точки во петодимензионален проектен простор $P^{5}$.

Класификација според дискриминантата

Конусни пресеци дадени со оваа равенка може да се класифицираат според вредноста на Дискриминантата, $B^{2}-4AC$.

Ако конусните пресеци не се дегенерирани, тогаш:

• ако е $B^{2}-4AC<0$, равенката претставува елипса
  • ако е $A=C$ и $B=0$, равенката претставува круг, кој е специјален случај на елипса
• ако е $B^{2}-4AC=0$, равенката претставува парабола
• ако е $B^{2}-4AC>0$, равенката претставува хипербола
  • ако покрај тоа и $A+C=0$, равенката претставува правоаголна хипербола

Како би ги разликувале дегенерираните случаи од стандардните (недегенерираните), нека $\Delta$ е детерминанта на матрица 3х3:

${\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}$, тј. $\Delta =(AC-B^{2}/4)F+BED/4-CD^{2}/4-AE^{2}/4$.

Конусен пресек не е дегенериран ако и само ако е ∆ ≠ 0. Ако је ∆ = 0 во прашање е некој од случаите на дегенерирани конусни пресеци.

Матрична нотација

Равенката на конусен пресек може да се напише во матричен облик:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+Dx+Ey+F=0$

Типот на коника еднозначно е одреден со детерминантата на матрицата во средината на претходната равенка. Ако детерминантата е позитивна, нула или негативна, тогаш во прашање е елипса, парабола или хипербола соодветно. Ако двете својствени вредности на средната матрица се различно од нула (т.е. ако кониката е елипса или хипербола), променливите може да се трансформираат така што се добива:

$\left({\begin{array}{c}x-a\\y-c\end{array}}\right)^{T}\left({\begin{array}{cc}A&{\frac {B}{2}}\\{\frac {B}{2}}&C\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x-a\\y-c\end{array}}\right)=G$

каде a,c и G ги задоволуваат $D+2aA+Bc=0,E+2Cc+Ba=0$ и $G=Aa^{2}+Cc^{2}+Bac-F$.

Исто така може да се запише во облик:

${\begin{bmatrix}x&y&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}=0$.

Ако детерминантата на средната матрица (3х3) е различна од нула, конусниот пресек не е дегенериран. Ако детерминантата е еднаква на нула, конусниот пресек е дегенерирана парабола (две паралелни или две прави кои се поклопуваат), дегенерирана елипса (точка на елипсата), или дегенерирана хипербола (две прави кои се сечат).

Дел од квадратна форма

Равенката

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

може да се напише во следниот облик:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=-(Dx+Ey+F)$.

Значи, кониката може да се претстави како пресек на графикон на квадратната форма $z=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}$ и рамнината $z=-(Dx+Ey+F)$.

Ексцентрицитет изразен преку параметрите на квадратна форма

Кога кониката е запишана алгебарски како:
$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$,
ексцентрицитетот може да се запише како функција на параметрите на квадратна равенка. Ако $4AC=B^{2}$, кониката е парабола и нејзиниот ексцентрицитет е еднаков на 1. Во спротивен случај, земајќи предвид дека равенката претставува хипербола или неимагинарна елипса, ексцентритетот е даден со:

$e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}$

каде $\eta =1$ ако детерминантата на матрицата 3х3 (од матричната нотација) е негативна, а $\eta =-1$ ако таа детерминанта е позитивна.

Инваријантни коники

Трагата и детерминантата на ${\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}$ се инваријанти во однос на ротацијата околу координатните оски и транслацијата на рамнина.

Константниот израз $F$ е инваријантен само при ротација.

Изменет облик

За некои практични примени корисно е кониката да се претстави во поларен координатен систем, во облик во кој точката на фокусот е поставена во координатниот почеток. Другиот фокус, ако постои, се поставува на негативниот дел (кај елипсата), односно на позитивниот дел на х-оската (кај хиперболата).

Таа равенка го има обликот:

$r={\frac {l}{1-e\cos {\theta }}}$,

каде $e$ е ексцентрицитетот, а $l$ е половина од должината на сегментната линија која ги спојува двете точки на кониката и притоа поминува низ фокусот и е паралелна со директрисата (latus rectum):

$l={\frac {b^{2}}{a}}$, каде $a$ и $b$ се полуоски на кониката.

За $e=0$ имаме круг, за $0<e<1$ елипса, за $e=1$ парабола и за $e>1$ хипербола.

Поларниот облик на равенката на конусни пресеци често се користи во динамиката, на пример, за одредување на орбитите на објектите кои се движат околу Сонцето.

Во Декартовиот координатен систем равенката има облик:

${\begin{alignedat}{7}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\left(l+ex\right)\ \Rightarrow \ \left({\frac {x-{\frac {le}{1-e^{2}}}}{\frac {l}{1-e^{2}}}}\right)^{2}+{\frac {\left(1-e^{2}\right)y^{2}}{l^{2}}}=1\end{alignedat}}$

Линеарниот ексцентрицитет е даден со:

$c=\left({\frac {le}{1-e^{2}}}\right)$

Различните конуси од општите формули може да се претстават во Декартовиот координатен систем на следниот начин:

• Круг: $x^{2}+y^{2}=r^{2}$
• Елипса: ${\frac {(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
• Парабола: $y^{2}=4a(x+a)$
• Хипербола: ${\frac {(x+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Пет точки ја одредуваат кониката

Пет копланарни точки, меѓу кои никои три не се колинеарни, еднозначно ја одредуваат кониката. Доколку меѓу петте точки постојат три или повеќе колинеарни точки, тие исто така одредуваат конусен пресек, но еден од трите дегенерирани случаи.

Конструкција на коника со помош на петте точки

Дегенерирани конусни пресеци

Дегериран случај го сметаме пресекот на рамнина и конус кој го содржи темето на конусот. Може да биде:

• точка, кога аголот меѓу рамнината и оската на конусот е поголем од аголот меѓу оската и изводницата на конусот (и помал од 180° – аголот меѓу оската и изводницата на конусот);
• права, кога аголот меѓу рамнината и оската на конусот е ист како и аголот меѓу оската и изводницата на конусот;
• две прави кои се сечат, кога аголот меѓу рамнината и оската на конусот е помал од аголот меѓу оската и изводницата на конусот.

• 

  Точка

• 

  Права

• 

  Две прави

Коники во другите области

Кос истрел

Движењето на тело кое се истрелува од висина $h$, со почетна брзина ${\vec {v}}_{0}$ и под агол $\alpha$ во однос на тлото, кос истрел, а патеката која ја опишува телото при своето движење е парабола. Ако се занемари отпорот на воздухот, освен почетните услови, на телото ќе влијае и гравитационото поле.

Движење на телата на Сончевиот Систем

Првиот Кеплеров закон вели дека телата на Сончевиот Систем се движат околу Сонцето по коника во чиј фокус се наоѓа Сонцето. Повеќето планети се движат приближно по кружна патека, затоа што ексцентритетот им е близок до нула (Земјиниот 0,0167, а Јупитеровиот 0,0488). Интересно е дека Халеевата комета има ексцентрицитет близок до единица (око 0,995).

Радиоантени (во астрономијата)

Радиоантените се засноваат на оптичките својства на кониките. Радиобрановите, заради големата бранова должина, не е едноставно да се детектираат, па заради тоа се користат параболични антени, во чии фокуси се наоѓаат приемниците. Заради големата оддалеченост сите зраци кои паѓаат на површината се приближно паралелни и ќе се одбијат точно во приемникот (фокусот на параболоидот).

• 

  Радиоастрономска опсерваторија, Сан Агустин, САД

• 

  Одбивање на зраците од рефлектор

Елипсеста маса за билјард

Елипсестата маса за билјард ги користи оптичките својства на елипсата. Доколку би се извел удар без спин од белата точка, во кој било правец, куглата би влегла во дупката. Тоа својство на масата се добива со тоа што точката од која се изведува ударот и дупката се наоѓаат во фокусите на елипсата. Пример на ваква маса може да се види на видео-клипот: Pool Table - Numberphile.

Елипсеста маса за билјард

Надворешни врски

• Конусни пресеци на mathworld.wolfram.com (англиски)
• Изведување на равенките на конусните пресеци (англиски)
• Конусни пресеци (англиски)
• Појава на коники во природата (англиски)
• Конике Архивирано на 6 октомври 2007 г. (англиски)