Точка (геометрија)

Во геометријата, топологијата и сродните математички дисциплини, точката претставува основен поим со кој е означена една положба во просторот и со кој се означува бесконечно мал објект без должина, ширина или волумен. Точката се смета за основен елемент од кој е изграден просторот и како таков, таа не се дефинира со помош на други поими. Правите и отсечките се множества од точки (според ова, пресекот на две непаралелни прави во рамнина е точка).

Конечно множество точки во дводимензионален Евклидов простор.

Најчесто, точките се означуваат со големите букви од латиницата, а на цртежите се обележуваат со мали крукчиња до кои се пишуваат ознаките.

Точки во Евклидовата геометрија

Евклид во својата книга „Елементи“ ја дефинира точката како: „Точка е она што нема делови“. Точка во Евклидовата геометрија нема величина, правец, насока, ниту каква било друга особина, освен положба. Во потрагата по тоа што е прво, Евклид смета дека точката е основна, а правата е таа што содржи точки, додека Аристотел правата ја зема за основа, а точката е она што е на краевите од линијата. Денес најприсутна и најблиска во терминологијата дефиниција во смисла на толкувањата на Евклид е онаа која вели дека „точка е она што нема димензии“.

Во дводимензионалниот Евклидов простор, т.е. во реалната рамнина, точката се претставува во Декартов координатен систем со подреден пар од броеви $(x,y)$, каде првиот број, по договор, ја означува ортогоналната проекција на првата (хоризонталната или апсцисната) оска и најчесто се обележува со $\,x$ или $x_{1}$, додека вториот број, по договор, ја претставува ортогоналната проекција на втората (вертикалната или ординатната) оска и најчесто се обележува со $\,y$ или $x_{2}$. Оваа нотација лесно се обопштува во тридимензионалниот Евклидов простор, каде точката е претставена со подредена тројка од реални броеви$\,(x,y,z)$, при што додатниот трет број означува висина и најчесто се обележува со $\,z$. Во $n$-димензионалниот Евклидов простор, точката е претставена со подредена $n$-торка од реални броеви$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$.

Покрај тоа што ги дефинирал точките и основните објекти кои со нив можат да се конструираат, Евклид исто така нарправил многу претпоставки од кои некои се точни и до денешен ден, како на пример дека било кои две различни точки можат да се поврзат со права. Ова својство, покрај тоа што било основно во времето кога било напишано и скоро сите конструкции во „Елементите“ биле направени со негово користење, е точно и во обопштувањата на Евклидовата геометрија. Меѓутоа, Евклидовите постулати за точките не биле ниту комплетни ниту конечни и тој повремено користел некои својства на точките кои не биле директно наведени во аксиомите, како на пример подредувањето на точките на права или постоењето нанекои специфични точки. Овие недостатоци се отстранети во модерните проширувања на Евклидовиот аксиоматски систем.