Шредингерова равенка

Шредингерова равенка — парцијална диференцијална равенка во квантната механика која опишува како квантната состојба во квантен систем се менува со текот на времето. Равенката била формулирана во крајот на 1925 и издадена во 1926 година од австрискиот физичар Ервин Шредингер.

Шредингеровата равенка како дел од споменикот пред Центарот за нова технологија на Варшавскиот универзитет

Во класичната механика, Вториот Њутнов закон, (F = ma), се користи за математички да се предвиди што ќе прави еден систем во секоја точка од времето откако е позната почетната состојба. Во квантната механика, аналогна на Њутновиот закон е Шредингеровата равенка за квантен систем (најчесто кај атоми, молекули и субатомски честички кои можат да бидат слободни, сврзани или локализирани). Оваа равенка не е едноставна алгебарска равенка, туку е линеарна парцијална диференцијална равенка, која го опишува развојот на брановата функција на системот со текот на времето.

Концептот на брановата функција е основен постулат на квантната механика. Иако Шредингеровата равенка често е презентирана како посебен постулат некои автори покажуваат дека некои својства добиени од Шредингеровата равенка може да се откријат од самата симетрија на принципите, како комутативниот закон. Главно, „изводи” од Шредингеровата равенка ја демонстрираат нејзината можност за математичко опишување на дуалноста бран-честичка, но досега нема прифатливи изводи од Шредингеровата равенка од приближни начела.

Во копенхагенското толкување на квантната механика, брановата функција е најцелосен опис што може да се даде на еден физички систем. Решенија на Шредингеровата равенка опишуваат не само молекуларни, атомски или субатомски системи, туку и макроскопски системи, а можно е и целиот универзум. Шредингеровата равенка во најопштата форма е доследна со класичната механика и специјалната релативност, но оригиналната формулација на Шредингер била нерелативистичка.

Шредингеровата равенка не е единствениот начин да се прават предвидувања во квантната механика – можат да се користат други формулации, како Вернер-Хајзенберговата механика на матрици, и Ричард-Фајнмановата формулација за интеграл по траекторија.

Равенка

Временски-зависна равенка

Формата на Шредингеровата равенка зависи од физичката ситуација. Најопшта форма е временски-зависна Шредингерова равенка, која опишува систем кој се развива со време:

каде i е имагинарна единица, ħ е Планкова константа поделена со 2π, симболот ∂∂t покажува парцијален извод во однос на времето t, Ψ (грчката буква пси) е брановата функција на квантниот систем, и Ĥ е Хамилтоновиот оператор (кој ја опишува вкупната енергија на која било бранова функција и има различна форма од зависност на ситуацијата).

Секој од овие три реда е бранова функција која ја задоволува временски-зависната Шредингерова равенка за квантен хармониски осцилатор. Лево: Реалниот дел (сино) и имагинарниот дел (црвено) од брановата функција. Десно: Веројатната дистрибуција за наоѓање на честичката со оваа бранова функција во одредена точка. Горните два реда се пример за стационарни состојби, кои одговараат на стоечки бранови. Долниот ред е пример за состојба која не е стационарна. Десната колона илустрира зошто стационарните состојби се наречени „стационарни”.

Најпознатиот пример е нерелативистичката Шредингерова равенка за една честичка која се движи низ електрично поле, но не и низ магнетно поле:

Временски-зависна Шредингерова равенка (една нерелативистичка честица) $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)$

каде μ е намалената маса на честичката, V е нејзината потенцијална енергија, ∇² е Лапласовиот оператор и Ψ е брановата функција. Со други зборови значи „вкупната енергија е еднаква на збирот на кинетичката енергија и потенцијалната енергија” но овие термини имаат непознати форми. Поради конкретните диференцијални оператори кои се вклучени, ова е линеарна парцијална диференцијална равенка. Исто така е дифузиска равенка, но за разлика од равенката за топлина, оваа е исто така и бранова равенка поради присутната имагинарна единица. Поимот „Шредингерова равенка” може да се однесува и на општата равенка, или на специфичната нерелативистичка верзија. Општата равенка е навистина општа, во употреба низ целата квантна механика, за сѐ, од Дираковата равенка до квантната теорија за полето, така што се приклучуваат различни комплексни изрази на Хамилтоновиот оператор. Специфичната нерелативистичка верзија е упростена приближност до реалноста која е прилично прецизна во многу ситуации, но многу непрецизна во други. За да се примени Шредингеровата равенка, Хамилтоновиот оператор се поставува за системот и се внимава на кинетичката и потенцијалната енергија на честичките кои го сочинуваат системот, и потоа се вклучува во равенката. Добиената парцијална диференцијална равенка се решава за брановата функција која ги содржи информациите за системот.

Временски независна равенка

Временски независната Шредингерова равенка предвидува дека брановите функции можат да формираат стоечки бранови, наречени стационарни состојби (исто така се наречени орбитали). Овие состојби се важни сами по себе, и ако стационарните состојби се класифицираат и разберат, тогаш станува полесно да се реши временски-зависната Шредингерова равенка за секоја состојба. Временски независната Шредингерова равенка е равенката која ги опишува стационарните состојби и се користи само кога Хамилтоновиот оператор не е зависен од времето. Но, и во овој случај целосната бранова функција е сè уште зависна од времето.)

Временски зависна Шредингерова равенка (Општа) $E\Psi ={\hat {H}}\Psi$

Со зборови, равенката гласи:

Кога Хамилтоновиот оператор дејствува на одредена бранова функција Ψ, и резултатот е пропорционален на истата бранова функција Ψ, тогаш Ψ е стационарна состојба, и константата за пропорционалност, E, е енергијата на состојбата Ψ.

Најпознатата манифестација е нерелативистичката Шредингерова равенка за една честичка која се движи во електрично, но не и магнетно поле.

Временски независна Шредингерова равенка (една нерелативистичка честичка) $E\Psi (\mathbf {r} )=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} )$

со дефиниции како оние погоре.

Последици

Шредингеровата равенка и нејзините решенија воведоа важен чекор во размислувањето за физиката. Шредингеровата равенка е прва од својот вид и решенијата доведоа до последици кои беа многу необични и неочекувани во тоа време.

Вкупна, кинетичка и потенцијална енергија

Целосната форма на равенката не е необична или неочекувана бидејќи ги користи принципите на зачувување на енергијата. Термините од нерелативистичката Шредингерова равенка може да се толкуваат како вкупната енергија на системот, еднаква на збирот на кинетичката и потенцијалната енергија на системот. Во овој поглед е исто како и во класичната физика.

Квантизација

Шредингеровата равенка предвидува дека ако одредени својства на системот се измерат, резултатот може да се квантификува, што значи дека само специфични дискретни вредности можат да бидат добиени. Еден пример е „енергетската квантизација”: енергијата на електрон во атом е секогаш едно од квантизираните енергетски нивоа, факт откриен со атомска спектроскопија. Друг пример е квантизацијата на аголен момент. Ова е претпоставка во поранешниот Боров модел на атомот, но е предвидување во Шредингеровата равенка.

Друг резултат од Шредингеровата равенка е дека не секое мерење дава квантизиран резултат во квантната механика. На пример, позитрон, момент, време и енергија можат да имаат која било вредност до одредена граница.

Мерење и неопределеност

Во класичната механика, една честичка има, во секој момент, точна позиција и точен момент. Овие вредности се менуваат како што се движи честичката во однос на Њутновите закони. При копенхагенско толкување на квантната механика, честичките немаат точно определени вредности, и кога се мерат, резултатот е случајно избран од веројатна распределеност. Шредингеровата равенка предвидува кои се веројатностите, но не може да го одреди точниот резултат на мерењето. Хајзенберговиот принцип на неопределеност е приказот на несигурното мерење во квантната механика. Гласи дека колку повеќе се знае позицијата на една честичка, толку помалку се знае нејзиниот момент, и обратно. Шредингеровата равенка ја опишува еволуцијата на брановата функцијa за честичка. Но иако брановата функција е точно позната, резултатот од нејзиното мерење е сè уште несигурен.

Квантно тунелирање

Квантно тунелирање низ пречка. Честичката којашто надоаѓа од левата страна нема доволно енергија за да ја искачи пречката. Меѓутоа, таа понекогаш може да се „тунелира“ на другата страна.

Во класичната физика, кога топка полека се тркала нагоре по едно брдо, таа ќе застане и ќе се тркала назад, бидејќи нема доволно енергија за да се прекачи на другата страна на брдото. Но Шредингеровата равенка предвидува дека има мала веројатност дека топката ќе стигне до другата страна на брдото, иако има премалку енергија да се искачи до врвот. Ова е наречено квантно тунелирање. Поврзано е со распределбата на енергија: иако се претпоставува дека топката се наоѓа на едната страна од брдото, можно е таа да се најде од другата страна.

Честички како бранови

Експеримент со пречка со два отвори кој покажува како електрони се насобираат на екран како што поминува времето.

Нерелативистичката Шредингерова равенка е вид на парцијална диференцијална равенка наречена бранова равенка. Според тоа, често се вели дека честички можат да се однесуваат како бранови. Во некои модерни толкувања, овој опис е обратен – квантната состојба (бранот) е единствената физичка реалност, и во некои случаи може да се однесува како честичка. Но Балентајн, покажува дека таквото толкување има проблеми. Тој посочува дека иако е можно да се поврзе физички бран со една честичка, постои само една Шредингерова равенка за многу честички. Исто така, тој укажува дека:

„Ако физичко браново поле е поврзано со честичка, или ако честичката се идентификува со бран, тогаш на N честички кои заемно си дејствуваат, тогаш треба да има N бранови кои заемно си дејствуваат во тридимензионалниот простор. Но според (4.6) тоа не е случајот. Наместо тоа има една бранова функција во апстрактен 3N димензионален простор. Погрешното толкување на пси како физички бран во обичниот простор е можна само затоа што најчестите апликации на квантна механика се за состојби со една честичка, за која конфигурацискиот простор и обичниот простор се изоморфни.“

Експериментот на дифракција низ два отвори е познат пример за необичното однесување кое го покажуваат брановите кои не се поврзани со честички. Брановите кои се преклопуваат од двата отвора се поништуваат на некои места а се надоградуваат во некои места, што предизвикува сложена шара. Интуитивно, не може да се очекува ваква шара од фрлање на една честичка кон двата отвора бидејќи честичката ќе помине или низ едниот, или низ другиот отвор, а не комплексно преклопување и на двата.

Но, бидејќи Шредингеровата равенка е бранова равенка, една честичка фрлена низ пречката со два отвора се однесува на овој начин. Експериментот мора да се повтори повеќепати за да се види комплексната шема. Иако е контраинтуитивно, предвидувањето е точно. Особено кај електронската и неутронското расејување, кои се добро разбрани и применети во науката и инженерството.

Поврзано со дифракцијата, честичките исто така покажуваат суперпозиција и интерференција.

Суперпозициските својства ѝ овозможуваат на една честичка да биде во квантна суперпозиција од две или повеќе квантни состојби истовремено. Но квантна состојба во квантната механика ја означува веројатноста дека еден систем ќе биде на пример во позиција x, а не дека навистина системот ќе биде во таа позиција. Не значи дека самата честичка ќе биде во две класични состојби истовремено. Квантната механика не може да додели вредности на својствата пред нивното мерење.

Толкување на брановата функција

Главна статија: Толкување на квантната механика

Шредингеровата равенка дава начин како да се пресмета брановата функција на еден систем и како таа се менува динамично со времето. Но Шредингеровата равенка не кажува директно што е бранова функција. Толкувањето на квантната механика дава одговор на прашањата која е врската меѓу брановата функција, реалноста и резултатите на експерименталните мерења. Важна е врската помеѓу Шредингеровата равенка и сломот на брановата функција. Во најстарото копенхагенско толкување, честичките ја следат Шредингеровата равенка освен за време на слом на брановата функција, а тогаш се однесуваат многу различно. Доаѓањето на теоријата за квантна декохеренција дозволува алтернативи пристапи (како Еверетовото толкување за многу светови и пристапот на постојана историја), каде Шредингеровата равенка е секогаш задоволена, и сломот на брановата функција се објаснува како последица од Шредингеровата равенка.

Историска основа и развој

Ервин Шредингер

Главна статија: Теоретско и експериментално оправдување на Шредингеровата равенка

Следејќи ја Планковата квантизација на светлината (зрачење на црни тела), Алберт Ајнштајн го толкувал Планковиот квант како фотон, честичка на светлина, и предложил дека енергијата на фотон е пропорционална со неговата честота, еден од првите знаци на дуалната природа на светлината. Бидејќи енергијата и моментот се поврзани на истиот начин како и честотата и брановиот број во специјалната релативност, следува дека моментот p на фотон е обратно пропорционален со неговата бранова должина λ, и пропорционален со брановиот број k.

$p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k$

каде h е Планковата константа. Луј де Број претпоставил дека ова е точно за сите честички дури и оние кои имаат маса, како електроните. Тој покажал дека, претпоставувајќи дека бранови од материја се шират заедно со своите соодветни честички, електроните формираат стоечки бранови, што значи дека само одредени дискретни вртежни честоти околу јадрото на атомот се дозволени. Овие квантизирани орбити одговараат на дискретни енергетски нивоа, и Де Број го пресоздал Боровиот модел на формула за енергетските нивоа. Боровиот модел е основан врз претпоставената квантизација на аголниот момент L кој одговара на:

$L=n{h \over 2\pi }=n\hbar .$

Според Де Број, електронот најдобро се опишува како бран, и мора да собира цел број на бранови должини во опсегот на орбитата на електронот.

$n\lambda =2\pi r.\,$

Овој пристап го ограничува електронскиот бран во една димензија, во кружна орбита со полупречник r.

Во 1921 година, пред Де Број, Артур Ц. Лан на универзитот на Чикаго го искористил истиот аргумент заснован на комплетноста на релативистичкиот енергетско-моментен 4-вектор за да ја добие Де Бројовата врска. За разлика од Де Број, Лан продолжил и ги формирал диференцијалните равенки сега познати како Шредингеровата равенка, и ја решил за енергетските ајгенвредности за водороден атом. За жал, неговото дело било одбиено од „Физичка ревија“.

Следејќи ги идеите на Де Број, физичарот Петер Дебај направил коментар дека ако честичките се однесуваат како бранови, треба да задоволуваат некоја бранова равенка. Инспириран од Дебај, Шредингер одлучил да најде вистинска 3-димензионална бранова равенка за електронот. Вилијам Роуан Хамилтоновата аналогија помеѓу механиката и оптиката му помогнала да заклучи дека границата на брановата должина - нула кај оптиката наликува на механички систем – патеките на светлинските зраци стануваат остри и го следат Ферматовиот принцип, аналоген на принципот на најмалку дејство.

Хамилтон верувал дека механиката е границата на бранова должина нула, но не формулирал равенка за тие бранови. Современа верзија на неговото размислување е прикажана подолу. Равенката која тој ја вовел гласи:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,\,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,\,t).$

Но, до тоа време, Арнолд Сомерфилд го рафинирал Боровиот модел со релативистички поправки. Шредингер ја искористил врската енергија-момент за да ја открие Клајн-Гордоновата равенка во Кулонов потенцијал (во природни мерни единици):

$\left(E+{e^{2} \over r}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).$

Ги открил стоечките бранови на оваа релативистичка равенка, но релативистичките поправки не одговарале на Сомерфилдовата формула. Обесхрабрен, ги оставил пресметките и се затворил во изолирана планинска колиба во декември 1925 година.

Додека бил во колибата, Шредингер одлучил дека неговите поранешни нерелативистички пресметки биле доволно нови да се издадат, и одлучил да го остави проблемот на релативистичките исправки на иднината. И покрај тешкотиите во решавањето на диференцијалната равенка за водород (барал помош од неговиот пријател Херман Вејл) Шредингер покажал дека нерелативистичката верзија на брановата равенка ги давала точните спектрални енергии на водород во дело издадено во 1926 година. Во равенката, Шредингер ги пресметал водородните спектрални серии така што го третирал електронот на водородниот атом како бран Ψ(x, t), кој се движи во потенцијална јама V, создадена од протонот. Оваа пресметка прецизно ги пресоздава енергетските нивоа на Боровиот модел. Во едно дело, Шредингер објаснил дека равенката гласи:

„	Веќе споменатата пси-функција е сега средство за предвидување на веројатноста на резултатите на мерењето. Во неа се содржи моментната сума на теоретски заснованото очекување на иднината.	“
— Ервин Шредингер

Овој труд од 1926 година бил поддржан од Ајнштајн, кој ги гледал материјалните бранови како интуитивно отсликување на природата, за разлика од Хајзенберговата механика на матрици, која ја сметал за многу формална.

Шредингеровата равенка го опишува однесувањето на Ψ но не кажува ништо за неговата природа. Шредингер се обидел да ја толкува како промена во полнежот во неговиот четврти труд, но не бил успешен. Во 1926 година, неколку дена по издавањето на Шрединеровиот четврти и последен труд, Макс Борн успешно го толкувал Ψ како амплитуда на веројатност, чиј апсолутен квадрат е еднаков на густината на веројатноста Шредингер секогаш се противел на статистички пристап, и неговите неповрзаности – како Ајнштајн, кој верувал дека квантната механика е статистичка приближност на детерминистичката теорија, и никогаш не се помирил со копенхагенското толкување.

Луј де Број предложил реална бранова функција поврзана со комплексната бранова функција со константа за пропорционалност и ја развил теоријата Де Број-Бор.

Бранова равенка за честички

Главна статија: Дуалноста честичка-бран

Шредингеровата равенка е бранова равенка, бидејќи решенијата се функции кои опишуваат брановидни движења. Брановите равенки во физиката нормално се добиваат од други физички закони – брановата равенка за механички вибрации кај струни и во материја може да се добијат од Њутновите закони – каде брановата функција го претставува поместувањето на материјата, и електромагнетните бранови од Максвеловите равенки, каде брановите функции се електрични и магнетни полиња. Основата за Шредингеровата равенка е енергијата на системот и посебниот постулат на квантната механика: Брановата функција е опис на системот. Шредингеровата равенка е нов концепт сама по себе. Како што кажал Фајнман:

„	Од каде дојде таа равенка? Од никаде. Не е можно да се изведе од ништо што знаеме. Дојде од умот на Шредингер.	“
— Ричард Фајнман

Основата на равенката е линеарна диференцијална равенка основана на класичното зачувување на енергијата, и е согласни со Де Бројовите релации. Решението на брановата функција ψ, која ја содржи сета информација која може да се знае за системот. Во копенхагенското толкување, модулот на ψ е поврзан со веројатноста дека честичките се наоѓаат во некоја просторна конфигурација во некој момент од времето. Решавањето на равенката за ψ може да се користи за да се предвиди како ќе се однесуваат честичките под дејство на одреден потенцијал и меѓусебно.

Шредингеровата равенка била развиена главно од Де Бројовата хипотеза — бранова равенка која би ги опишала честичките — и истата може да се прикаже на неформален начин како во деловите во продолжение.

Доследност со законот за зачувување на енергија

Вкупната енергија E на една честичка е збирот на кинетичката енергија T и потенцијалната енергија V, овој збир е исто така израз на Хамилтоновиот оператор H во класичната механика:

$E=T+V=H\,\!$

Експлицитно, за честичка во една димензија со позиција x, маса m и момент p, и потенцијална енергија Vкоја варира со позицијата и време t:

$E={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)=H.$

За три димензии, позицискиот вектор r и моментниот вектор p мора да се користат:

$E={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)=H$

Ова може да се примени на кој било број на честички: вкупната енергија на системот е вкупната кинетичка енергија на честичките плус вкупната потенцијална енергија. Но може да има заемодејства меѓу честичките, па потенцијалната енергија V може да се менува со промената на просторната конфигурација на честичките и со времето. Потенцијалната енергија не е збир на посебните потенцијални енергии на сите честички, туку е функција од сите просторни позиции на честичките. Експлицитно:

$E=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)=H\,\!$

Линеарност

Наједноставната бранова функција е рамен бран со форма:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!$

каде A е амплитудата, k е брановиот вектор, и ω е аголната честота на рамниот бран. Главно, физичките ситуации не се опишани само со рамни бранови, па се бара принципот на суперпозиција за да може да се генерализира. Секој бран може да се состави со суперпозиција на синусиодни рамни бранови. Така, ако равенката е линеарна, линеарна комбинација на рамни бранови е дозволена како решение. k е збир на суперпозицијата на рамните бранови:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}e^{i(\mathbf {k} _{n}\cdot \mathbf {r} -\omega _{n}t)}\,\!$

За некои реални коефициенти за амплитудата A_n, и за постојано k сумата станува интеграл, Фуриеова трансформација на моментната просторна бранова функција:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int \Phi (\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}d^{3}\mathbf {k} \,\!$

каде d³k = dk_xdk_ydk_z е диференцијалниот зафатнински елемент во k-просторот, и интегралите се земени од k-просторот. Моментната бранова функција Φ(k) се јавува во интеграндот бидејќи позицијата и моментната просторна бранова функција се Фуриеови трансформации една од друга.

Доследност со Де Бројовите релации

Дијаграмско резиме на квантитетите поврзани со брановата функција користени во Де Бројовата хипотеза и развојот на Шредингеровата равенка.

Ајнштајновата хипотеза на светлински кванти (1905) гласи дека енергијата E на фотон е пропорционална со честотата ν (или аголната честота, ω = 2πν) на соодветниот квант светлина:

$E=h\nu =\hbar \omega \,\!$

Слично, Де Бројовата хипотеза (1924) гласи дека секоја честичка може да се поврзе со бран, и дека моментот p на честичка е обратно пропорционален со брановата должина λ на таков бран (пропорционална на брановиот број, k = 2πλ), во една димензија:

$p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k\;,$

А во три димензии, брановата должина λ е поврзана со магнитудата на брановиот вектор k:

$\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,\quad |\mathbf {k} |={\frac {2\pi }{\lambda }}\,.$

Планк-Ајнштајновите и Де Бројовите релации ја покажуваат поврзаноста на енергијата и времето, просторот со моментот, и ја изразуваат дуалноста честичка-бран. Практично се користат природни единици ħ = 1 се користат бидејќи Де Бројовите равенки може да се редуцираат до идентитети: Дозволувајќи моментот, брановиот број, енергија и честота да се користат со разменување на нивните места, за да се спречи дупликација на квантитетите, и да се намали бројот на квантитети поврзани со димензии.

Кон крајот на 1925 година, Шредингер ја изразил фазата на рамниот бран како комплексен фазен фактор користејќи ги релациите:

$\Psi =Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }$

и открил дека парцијалните изводи од прв ред се:

• со запазување на просторот:

$\nabla \Psi ={\dfrac {i}{\hbar }}\mathbf {p} Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }={\dfrac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \Psi$

• со запазување на времето:

${\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\dfrac {iE}{\hbar }}Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }=-{\dfrac {iE}{\hbar }}\Psi$

Друг постулат на квантната механика е дека се набљудува се претставува со линеарен Ермитски оператор кој дејствува на брановата функција и ајгенвредностите на операторот се вредностите кои ги зема набљудуваното. Претходните изводи се доследни на енергетскиот оператор, соодветен за временскиот извод,

${\hat {E}}\Psi =i\hbar {\dfrac {\partial }{\partial t}}\Psi =E\Psi$

каде E се енергетските вредности, и моментниот оператор соодветен на просторните изводи (градиентот) ∇),

${\hat {\mathbf {p} }}\Psi =-i\hbar \nabla \Psi =\mathbf {p} \Psi$

каде p е вектор од вредностите на моментот. Погоре, „капите“ " ( ˆ ) покажуваат дека овие променливи се оператори, не едноставни бројки или вектори. Енергетските и моментните оператори се диференцијални оператори, а функцијата на потенцијалната енергија V е мултипликативен фактор.

Со замена на енергетскиот и моментниот оператор во класичната равенка за зачувување на енергијата се добива операторот:

$E={\dfrac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V\quad \rightarrow \quad {\hat {E}}={\dfrac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V$

Примената на овој оператор на брановата функција Ψ веднаш го довела Шредингер до неговата равенка:

$i\hbar {\dfrac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi$

Двојноста на бран-честичката може да се процени од овие равенки на следниот начин. Кинетичката енергија T е поврзана со квадратот на моментот p. Како што се зголемува моментот на честичката, кинетичката енергија се зголемува се побрзо, но бидејќи брановиот број |k| се зголемува, брановата должина λ се намалува.

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} \propto \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \propto T\propto {\dfrac {1}{\lambda ^{2}}}$

Кинетичката енергија е пропорционална со вториот просторен извод, па е пропорционална и со магнитудата на закривеноста на бранот:

${\hat {T}}\Psi ={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \nabla \Psi \,\propto \,\nabla ^{2}\Psi \,.$

Како што се зголемува закривеноста, амплитудата на бранот се менува меѓу позитивна и негативна побрзо, и се скусува брановата должина. Инверзната врска помеѓу моментот и брановата должина е доследна со енергијата што ја има честичката, и така енергијата на честичката има поврзаност со бранот, се во една иста математичка формулација.

Движење на бран и честичка

Растечки нивоа на локализација на бранови пакети, што значи дека честичката има полокализирана позиција.

Во границата ħ → 0, позицијата и моментот на честичката стануваат целосно познати. Ова е еквивалентно на класична честичка.

Шредингер барал бранов пакет близу до позицијата r со бранов вектор близу до k се движи по патот одреден од класичната механика за доволно кратко време за ширењето k (и брзината) да не го покачи многу ширењето во r. Бидејќи за дадено ширење во k, ширењето на брзината е пропорционално со Планковата константа ħ, и некогаш се вели дека како границата на ħ се доближува до нула, равенките на класична механика се добиваат од квантната механика.

Гранична кратка бранова должина е еквивалентна со ħ кое се стреми кон нула затоа што ова е граничен случај на зголемување на локализацијата на брановите пакети кај позицијата на честичката. Користејќи го Хајзенберговиот принцип на неопределеност за позиција и момент, производите на неодреденоста на позицијата и моментот се нули како што ħ → 0:

$\sigma (x)\sigma (p_{x})\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\quad \rightarrow \quad \sigma (x)\sigma (p_{x})\geqslant 0\,\!$

каде σ ја покажува несигурноста во мерењето за x и p_x (слично и за y и z правците) кое значи дека позицијата и моментот „може-не може“ да се знаат со голема точност во оваа граница.

Шредингеровата равенка во својата општа форма

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)\,\!$

е блиску поврзана со равенката Хамилтон-Јакоби

${\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)\,\!$

каде S е акција(физика)та и H е Хамилтоновата функција. Тука, генерализираните координати q_i за i = 1, 2, 3 може да се наместат на позицијата на картезијанските координати бидејќи r = (q₁, q₂, q₃) = (x, y, z).

Преку замената

$\Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }\,\!$

каде ρ е густината на веројатноста во Шредингеровата равенка и со поставување на границата ħ → 0 во добиената равенка се добива Хамилтон-Јакобивата равенка.

Последиците се следниве:

• Движењето на честичка опишано со решение со бранови пакети на Шредингеровата равенка е исто така опишано со Хамилтон-Јакоби равенката за движење.
• Шредингеровата равенка ја вклучува брановата функција, па така решението со бранови пакети навестува дека позицијата на честичка се шири во бранови предници. Спротивно, равенката Хамилтон-Јакоби се применува за класична честичка со определена позиција и момент, и тие се познати за секоја точка.

Нерелативистичка квантна механика

Квантната механика кај честичките без да се зема предвид специјалната релативност (за честички кои се движат со брзина многу помала од светлината) е позната како нерелативистичка квантна механика. Следуваат повеќе форми на Шредингеровата равенка за различни ситуации. Во реалноста, честичките кои го сочинуваат системот не ги имаат бројчените имиња користени во теоријата. Јазикот на математиката нè тера да ги именуваме нивните позиции, инаку би имало конфузија за тоа што значат симболите и кои променливи се однесуваат на некоја честичка.

Временски независна формула

Ако Хамилтоновиот оператор не е експлицитна функција од времето, равенката може да се подели во производи од просторни и временски делови. Брановата функција главно ја зазема формата:

$\Psi ({\text{space coords}},t)=\psi ({\text{space coords}})\tau (t)\,.$

каде ψ(просторни координати) е функција од сите просторни координати на честичките кои го сочинуваат системот, и τ(t) е функција од времето.

Со замена на ψ во Шредингеровата равенка со релевантниот број на честички во релевантниот број на димензии и решавање со разделување на променливите се добива равенката:

$\Psi ({\text{space coords}},t)=\psi ({\text{space coords}})e^{-i{Et/\hbar }}\,.$

Бидејќи временски зависниот фазен фактор е секогаш ист, само просторниот дел треба да се реши за временски независни проблеми. Дополнително, енергетскиот оператор Ê = iħ∂∂t може да се замени со вредноста на енергијата E, така временски независната Шредингерова равенка е равенка со природна вредност за Хамилтоновиот оператор:

${\hat {H}}\psi =E\psi$

Ова е точно за кој било број на честички во колку било димензии. Овој случај опишува решенијата на стоечки бран за временски зависната равенка, кои се состојбите со одредена енергија. Во физиката, овие стоечки бранови се наречени стационарни состојби или природни состојби на енергијата. Во хемијата се наречени атомски орбитали или молекулски орбитали. Суперпозициите на природните вредности на енергијата ги менуваат својствата во зависност од релативните фази помеѓу енергетските нивоа.

Природните вредности на енергијата од оваа равенка формираат дискретен спектар од вредности, па математички мора да се квантизира енергијата. Природните вредности на енергијата формираат база – која било бранова функција може да се запише како збир од дискретните енергетски состојби или интеграл од постојаните енергетски состојби. Ова е спектралната теорија во математиката.

Еднодимензионални примери

За честичка во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x)\,,\quad {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.$

Со замена на ова во општата Шредингерова равенка се добива:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x).$

Ова е единствениот случај каде Шредингеровата равенка е обична диференцијална равенка, а не парцијална. Решенијата секогаш имаат форма:

$\Psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hbar }\,.$

За N честички во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:

${\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\,,\quad {\hat {p}}_{n}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Каде позицијата на честичката n е x_n. Соодветната Шредингерова равенка е:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N})+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N})=E\psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N})\,.$

Па општите решенија имаат форма:

$\Psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N})$

За честички кои не си дејствуваат, Потенцијалот на системот дејствува на секоја честичка поединечно, па вкупната потенцијална енергија е збирот на потенцијалните енергии за сите честички:

$V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N})=\sum _{n=1}^{N}V(x_{n})\,.$

И брановата функција може да се запише како производ од брановите функции за секоја честичка:

$\Psi (x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)=e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (x_{n})\,,$

За идентични честички кои не заемнодејствуваат, потенцијалот е сепак сума, но брановата функција е покомплицирана – таа е збир од пермутациите на производите на посебните бранови функции за да се земе предвид размената на честички.

Слободна честичка

Поврзано: Слободна честичка и Бранов пакет

За нула потенцијал, V = 0, па честичката е слободна и равенката гласи:

$-E\psi ={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{d^{2}\psi \over dx^{2}}\,$

која има осцилаторни решенија за E > 0 (C_n се произволни константи):

$\psi _{E}(x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,x}+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,x}\,$

и експоненцијални решенија за E < 0

$\psi _{-|E|}(x)=C_{1}e^{{\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,x}+C_{2}e^{-{\sqrt {2m|E|/\hbar ^{2}}}\,x}.\,.$

Експоненцијалните растечки решенија се бесконечни и нефизички. Не се дозволени во ограничен волумен со гранични услови.

Константен потенцијал

Анимација на Де Бројов бранов инцидент на бариера.

За константен потенцијал, V = V₀, решението е осцилаторно за E > V₀ и експоненцијално за E < V₀, соодветно на енергиите кои се дозволени во класичната механика. Осцилаторните решенија имаат класично дозволена енергија и одговараат на вистински класични движења, а експоненцијалните решенија имаат недозволена енергија и опишуваат мало количество на квантно протекување во класично недозволен регион, поради квантно тунелирање. Ако потенцијалот V₀ расте до бесконечност, движењето е класично ограничено во конечен простор. Гледано од доволно далеку, секое решение се редуцира до експоненцијално; условот дека експоненцијалното се намалува ги ограничува енергетските нивоа во дискретен сет наречен дозволени енергии.

Хармониски осцилатор

Хармониски осцилатор во класичната механика и (A-B) и квантната механика (C-H). Во (A-B), топка, закачена за федер осцилира напред-назад. (C-H) се шест решенија за Шредингеровата равенка за оваа ситуација. Хоризонталната оска е позиција, вертикалната е реалниот дел (сино) или имагинарниот дел (црвено) од брановата функција. Стационарните состојби, или природните енергетски вредности, кои се решенија на временски независната Шредингерова равенка се покажани во C,D,E,F но не и G и H.

Главна статија: Квантен хармониски осцилатор

Шредингеровата равенка за оваа ситуација е

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi$

Ова е важен квантен систем за кој треба да се реши равенката, бидејќи решенијата се точно (но комплексни) и може да се опишат или проценат многу други системи, вклучувајќи вибрирачки атоми и молекули, и атоми или јони во решетки, и за проценка на други потенцијали близу до точки на рамнотежа.

Системот има група на решенија, кои во основата се:

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)$

каде n = 0,1,2,..., и функциите H_n се Ермитски полиноми.

Тридимензионални примери

Продолжувањето од една димензија во три димензии е едноставно, сите позиции и моментни оператори се заменети со нивните тридимензионални форми и парцијални изводи со запазување на просторот, кој е заменет од градиентскиот оператор.

Хамилтоновиот оператор за една честичка во три димензии е:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$

Со што се добива равенката:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )$

Со решенија за стационарни состојби со форма:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-iEt/\hbar }$

Каде позицијата на честичка е r. Два корисни координатни системи за решавање на Шредингеровата равенка се картезијанските координати, така да r = (x, y, z) и сферните поларни координати така да r = (r, θ, φ), иако други ортогонални координати се корисни за решавање на равенката во системи со одредени геометриски симетрии.

За N честички во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:

${\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}_{n}=-i\hbar \nabla _{n}$

Каде позицијата на честичка n е r_n и градиентские оператори се парцијални изводи. Во картезијанските координати за честичка n, позицискиот вектор е r_n = (x_n, y_n, z_n) а градиентот и Лапласовиот оператор се:

$\nabla _{n}=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\,,\quad \nabla _{n}^{2}=\nabla _{n}\cdot \nabla _{n}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y_{n}}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z_{n}}^{2}}}$

Шредингеровата равенка е:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})=E\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})$

Со решенија за стационарни состојби:

$\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N})$

За честички кои не заемнодејствуваат, потенцијалот е сума на потенцијалите на сите честички

$V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})=\sum _{n=1}^{N}V(\mathbf {r} _{n})$

И брановата функција е производ од брановите функции на честичките

$\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)=e^{-i{Et/\hbar }}\prod _{n=1}^{N}\psi (\mathbf {r} _{n})\,.$

За идентични честички кои не заемнодејствуаат, потенцијалот е сума, но брановата функција е сума од пермутации и производи. Претходните две равенки не важат за честички кои заемнодејствуваат. Следат примери каде точно се определени решенијата.

Водороден атом

Оваа форма на Шредингеровата равенка може да се примени за водороден атом:

$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi$

каде e е електронскиот полнеж, r е позицијата на електронот (r = |r| е магнитудата на позицијата), потенцијалниот термин е поради Кулонова интеракција, каде ε₀ е електричната константа и

$\mu ={\frac {m_{e}m_{p}}{m_{e}+m_{p}}}$

е смалената маса на водородното јадро (само протон) со маса m_p и електрон со маса m_e. Негативниот знак се јавува во потенцијалниот термин бидејќи протонот и електронот имаат спротивни полнежи. Редукцијата на маса наместо масата на електронот се користи затоа што електрон и протон заедно се кружат околу заеднички центар на маса, и составуваат проблем со две тела. Движењето на електронот е од интерес, па еквивалентниот проблем со едно тело е движењето на електрон користејќи ја редуцираната маса.

Брановата функција за водород е функција од координатите на електронот и може да се подели во функции од секоја координата Обично ова се прави во сферни поларни координати:

$\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$

каде R се функции од полупречник и Ym
ℓ(θ, φ) се сферни хармонии со степен ℓ и ред m. Ова е единствениот атом за кој била решена Шредингеровата равенка точно. Повеќе електронски атоми бараат приближни методи. Групата на решенија се:

$\psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )$

каде:

• $a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}$ е Боровиот полупречник,
• $L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )$ се општите Лагереови полиноми од степен n − ℓ − 1.
• n, ℓ, m се основен квантен број, азимутски квантен број и магнетен квантен број, соодветно. Тие ги земаат вредностите:

${\begin{aligned}n&=1,2,3,\dots \\\ell &=0,1,2,\dots ,n-1\\m&=-\ell ,\dots ,\ell \\\end{aligned}}$

Атоми или јони со два електрони

Равенката за кој било систем со два електрони, како неутралниот атом на хелиум, (He, Z = 2), негативниот водороден јон (H⁻, Z = 1), или позитивниот јон на литиум (Li⁺, Z = 3) е:

$E\psi =-\hbar ^{2}\left[{\frac {1}{2\mu }}\left(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{M}}\nabla _{1}\cdot \nabla _{2}\right]\psi +{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left[{\frac {1}{r_{12}}}-Z\left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}\right)\right]\psi$

каде r₁ е позицијата на еден електрон (r₁ = |r₁| е неговата магнитуда), r₂ е позицијата на другиот електрон (r₂ = |r₂| е магнитудата), r₁₂ = |r₁₂| е магнитудата на разделување меѓу нив дадена со

$|\mathbf {r} _{12}|=|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|\,\!$

μ е редуцираната маса на електрон, со земање предвид јадро со маса M, па овој пат

$\mu ={\frac {m_{e}M}{m_{e}+M}}\,\!$

и Z е атомскиот број за елементот (не е квантен број).

Вкрстувањето на два Лапласови оператори

${\frac {1}{M}}\nabla _{1}\cdot \nabla _{2}\,\!$

е познато како поларизација на масата, што се јавува поради движењето на атомското јадро. Брановата функција е функција од позициите на двата електрона:

$\psi =\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}).$

Оваа равенка нема решение од затворен облик.

Временски зависна равенка

Ова е равенката за движење на квантната состојба. Во најопштата форма е запишана:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi .$

И решението, брановата функција, е функција од сите координати на сите честички во системот и времето. Следуваат специфични случаи.

За една честичка во една димензија, Хамилтоновиот оператор е

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V(x,t)\,,\quad {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}$

Со што се добива равенката:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x,t)\Psi (x,t)$

За N честички во една димензија, Хамилтоновиот оператор е:

${\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {p}}_{n}^{2}}{2m_{n}}}+V(x_{1},x_{2},\cdots x_{N},t)\,,\quad {\hat {p}}_{n}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

Каде позицијата на честичка n е x_n, со што се добива равенката:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}\Psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)+V(x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)\Psi (x_{1},x_{2}\cdots x_{N},t)\,.$

За една честичка во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:

${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$

Со што се добива равенката:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)$

За N честички во три димензии, Хамилтоновиот оператор е:

${\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}_{n}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}_{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)\,,\quad {\hat {\mathbf {p} }}_{n}=-i\hbar \nabla _{n}$

Каде позицијата на честичката n е r_n, со што се добива равенката:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N},t)$

Оваа равенка е во многу висока димензија, па решенијата не може да се визуализираат.

Методи на решавање

Постојат повеќе методи на решавање на Шредингеровата равенка кои може да се поделат во две групи: 1) општи методи и 2) посебни методи. Во групата на општи методи спаѓаат примената на теоријата на вознемиреност, варијацискиот метод, квантните методи Монте Карло, теоријата за густина на функцијата, како и Венцел-Крамерс-Брилуиновата приближност и полукласичното проширување. Во групата на посебни методи, пак, се вбројуваат разни квантно-механички системи со аналитички решенија и Хартри-Фоковите методи.

Својства

Шредингеровата равенка ги има следните својства: Некои се корисни, но има недостатоци. Овие својства се јавуваат поради користениот Хамилтонов оператор, и решенијата на равенката.

Линеарност

Во развојот, Шредингеровата равенка била направена линеарна за да биде општа, но ова има други импликации. Ако две бранови функции ψ₁ и ψ₂ се решенија, тогаш која било линеарна комбинација од двете

$\displaystyle \psi =a\psi _{1}+b\psi _{2}$

каде a и b се кои било комплексни броеви. Ова својство овозможува квантната суперпозиција на квантните состојби да биде решение за Шредингеровата равенка. Уште по општо, може да се најде општо решение за Шредингеровата равенка така што ќе се земе збир од сите можни решенија за една состојба. На пример, ако ја разгледуваме брановата функција Ψ(x, t) така да брановата функција е производ од две функции, една временски зависна, а другата независна. Ако состојбите на дефинитивната енергија добиени од временски независната Шредингерова равенка се дадени од ψ_E(x) со амплитуда A_n и временски зависен фазен фактор добиен од

$e^{{-iE_{n}t}/\hbar },$

тогаш прифатливо решение е

$\displaystyle \Psi (x,t)=\sum \limits _{n}A_{n}\psi _{E_{n}}(x)e^{{-iE_{n}t}/\hbar }.$

Дополнително, способноста да се прави размер на решенијата, дозволува да се реши бранова функција без прво да се нормализира. Ако се има сет на нормализирани решенија ψ_n, тогаш

$\displaystyle \Psi =\sum \limits _{n}A_{n}\psi _{n}$

Може да се нормализира, така што

$\displaystyle \sum \limits _{n}|A_{n}|^{2}=1.$

Ова е попогодно отколку прво да се провери дека

$\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|\Psi (x)|^{2}\,dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\Psi (x)\Psi ^{*}(x)\,dx=1.$

Реални природни вредности на енергијата

За временски независна равенка, дополнително својство на линеарност е: Ако две бранови функции ψ₁ и ψ₂ се решенија за временски независната равенка со иста енергија E, тогаш исто е и со секоја линеарна комбинација:

${\hat {H}}(a\psi _{1}+b\psi _{2})=a{\hat {H}}\psi _{1}+b{\hat {H}}\psi _{2}=E(a\psi _{1}+b\psi _{2}).$

Две различни решенија со иста енергија се наречени „изродени“.

Во произволен потенцијал, ако бранова функција ψ е решение на временски независната равенка, тогаш решение е и конјугиран комплексен број, назначен ψ*. Со земање на линеарни комбинации, реалниот и имагинарниот дел на ψ се решенија. Ако нема дегенерација, тие може да се разликуваат само по некој фактор.

Во временски зависната равенка, конјугирани комплексни бранови се движат во спротивни насоки. Ако Ψ(x, t) е едно решение, тогаш е и Ψ(x, –t). Симетријата на комплексна конјугираност се нарекува симетрија со спротивно време.

Просторни и временски изводи

Постојаноста на брановата функција и нејзиниот прв просторен извод (во x правецот, y и z координатите не се прикажани), во време t.

Шредингеровата равенка е од прв ред во времето и втор ред во просторот, со што се опишува временскиот развој на квантна состојба.

Експлицитно за една честичка во тридимензионален простор со картезијански координати, равенката е

$i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\partial ^{2}\Psi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Psi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\Psi \over \partial z^{2}}\right)+V(x,y,z,t)\Psi .\,\!$

Првиот парцијален извод ја дава основната вредност на t = 0 на брановата функција

$\Psi (x,y,z,0)\,\!$

Е произволна константа. Слично, изводите од втор ред, со земање предвид просторот, ја даваат брановата функција и нејзините изводи од прв ред

${\begin{aligned}&\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\\&{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\quad {\frac {\partial }{\partial y}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\quad {\frac {\partial }{\partial z}}\Psi (x_{b},y_{b},z_{b},t)\end{aligned}}\,\!$

Се сите произволни константи на одредена група на точки, каде x_b, y_b, z_b се група на точки кои ја опишуваат границата b (изводите се мерат на границите). Типично има една или две граници, како потенцијал на чекор и честичка во кутија

Бидејќи изводите од прв ред се произволни, брановата функција може да е континуирано диференцијална функција од просторот, бидејќи на која било граница градиентот на брановата функција може да се достигне.

Спротивно, бранови равенки во физиката се најчесто од втор ред по времето, како групата на класични бранови равенки и квантната Клајн-Гордонова равенка.

Локално зачувување на веројатност

Шредингеровата равенка е доследна со зачувувањето на веројатноста. Со множење на Шредингеровата равенка од десно со конјугирана комплексна бранова функција, и множење на брановата функција од лево со конјугираната комплексна Шредингерова равенка, и со одземање се добива равенката за постојаност на веројатноста:

${\partial \over \partial t}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$

каде

$\rho =|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!$

е густината на веројатноста и

$\mathbf {j} ={1 \over 2m}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)\,\!$

е струјата на веројатност.

Оттука предикции од Шредингеровата равенка не го нарушуваат зачувувањето на веројатноста.

Позитивна енергија

Ако потенцијалот е ограничен од долу, што значи дека има минимална вредност на потенцијална енергија, функциите со основни вредности од Шредингеровата равенка имаат енергија која е исто така ограничена од долу. Ова може најлесно да се забележи користејќи го принципот на варијации.

За кој било линеарен оператор Â ограничен од долу, векторот со основна вредност со најмала природна вредност е векторот ψ кој ја минимизира количината

$\langle \psi |{\hat {A}}|\psi \rangle$

Преку сите ψ кои се нормализирани. На овој начин, најмалата природна вредност се прикажува преку принципот на варијации. За Шредингер-Хамилтоновиот оператор Ĥ ограничен од долу, најмалата природна вредност на енергија се нарекува основна енергетска состојба. Таа енергија е најмалата вредност од

$\langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} )\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )\right]d^{3}\mathbf {r} =\int \left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|\nabla \psi |^{2}+V(\mathbf {r} )|\psi |^{2}\right]d^{3}\mathbf {r} =\langle {\hat {H}}\rangle$

(користејќи парцијална интеграција). Поради комплексниот модул на ψ², десната страна е секогаш поголема од најниската вредност на V(x). Основната енергетска состојба е секогаш позитивна кога V(x) е позитивен секаде.

За потенцијали ограничени од долу и кои не се бесконечни во еден регион има основна состојба која го минимизира интегралот над неа. Оваа најниска енергетска бранова функција е реална и позитивна, што значи дека брановата функција може да расте и опаѓа, но е позитивна за сите точки. Не е возможно да е негативна, бидејќи тогаш потенцијалната и кинетичката енергија би се менувале со различни брзини, што не е возможно поради законот за зачувување на енергијата. Решенијата се согласни со Шредингеровата равенка ако брановата функција е позитивна. Недостатокот на промена на знаци исто така покажува дека основната состојба не е изродена, бидејќи ако постојат две основни состојби со заедничка енергија E, не пропорционални една на друга,би постоела линеарно комбинација од двете што би била основна состојба со нула енергија.

Аналитичко продолжување на дифузијата

Горенаведените својства дозволуваат за аналитичко продолжување на Шредингеровата равенка за да може да се идентификува како случаен процес. Ова може да се толкува како Хајгенс-Френелов принцип применет на Де Бројови бранови; брановите предници кои се шират се дифузни амплитуди на веројатност.

За слободна честичка во случајно движење, со замена на τ = it во Шредингеровата равенка се добива:

${\partial \over \partial \tau }X(\mathbf {r} ,\tau )={\frac {\hbar }{2m}}\nabla ^{2}X(\mathbf {r} ,\tau )\,,\quad X(\mathbf {r} ,\tau )=\Psi (\mathbf {r} ,\tau /i)$

Која има иста форма како равенката на дифузија, со дифузиски коефициент ħ2m. Во тој случај, дифузијата произведува Де Бројова врска по примерот на Марков процес.

Релативистичка квантна механика

Главна статија: Релативистичка квантна механика

Релативистичка квантна механика се добива кога истовремено важат и квантната механика и специјалната релативност. Во општ случај, треба да се поставата релативистички бранови равенки од релативистичката врска енергија-момент.

$E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\,,$

Наместо класичните равенки за енергија, Клајн-Гордоновата и Дираковата равенка се две такви равенки. Клајн-Гордоновата равенка

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.$

била првата таква равенка добиена пред нерелативистичката и важи за масивни честички без спин. Дираковата равенка се јавила со земање на квадратен корен од Клајн-Гордоновата равенка со факторизирање на целиот релативистички бранов оператор во производ од два оператори – еден од кои е операторот за целата Диракова равенка.

Општата форма на Шредингеровата равенка е доследна со релативноста, но за Хамилтоновиот оператор не е толку едноставно. На пример, Дирак-Хамилтоновиот оператор за честичка со маса m и електричен полнеж q во електромагнетно поле (опишано со електромагнетни потенцијали φ и A) е:

${\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\phi \right]\,,$

каде γ = (γ¹, γ², γ³) и γ⁰ се Дираковите гама матрици поврзани со вртењето на честичка. Дираковата равенка важи за сите честички со половично вртење и решенијата за равенката се вртечки плиња со четири составни делови, од кои два дела одговараат на честичката, а останатите два на античестичката.

За Клајн-Гордоновата равенка, општата форма на Шредингеровата равенка е несоодветна, и во практиката Хамилтоновиот оператор не се изразува на начин аналоген на Дираковиот Хамилтонов оператор. Равенките за релативистички квантни полиња може да се добијат на други начини, како почнување од Лагранжова густина и користејќи ја Ојлер-Лагранжовата равенка за полиња или користење на репрезентациската теорија на Лоренцовата група во која одредени репрезентации може да се искористат за да ја поправат равенката за слободна честичка со вртење и маса.

Главно, замената на Хамилтоновиот оператор во општата Шредингерова равенка не е само функција од позицискиот и моментниот оператор, туку од матрици на вртење. Исто така, решенијата на релативистичка бранова функција за масивна честичка со вртење s се сложени вртечки полиња со 2(2s + 1) составни делови.

Квантна теорија за полето

Општата равенка важи и се користи во квантната теорија за полето, и во релативистички и во нерелативистички ситуации. Но решението ψ повеќе не се толкува како бран, туку треба да се толкува како оператор кој дејствува на состојбите кои постојат во Фоков простор.

Поврзано

• Парцијална Шредингерова равенка
• Нелинеарна Шредингерова равенка
• Квантен тепих
• Квантно оживување
• Шредингерово поле
• Шредингерова слика
• Шредингеровата мачка

Облик од прв ред

Шредингеровата равенка исто така може да се изведе од облик во прв ред, на сличен начин како што Клајн-Гордоновата равенка може да се изведе од Дираковата равенка. Во еднодимензионален облик, равенката од прв ред може да се прикаже како

$${\begin{aligned}-i\partial _{z}\psi =(i\eta \partial _{t}+\eta ^{\dagger }m)\psi \end{aligned}}.$$

Оваа равенка овозможува вклучување на спин во нерелативистичката квантна механика. Со квадрирање на равенката погоре се добива Шредингеровата равенка во еднодимензионален облик. Притоа, матриците $\eta$ ги поседуваат следниве особености:

$${\begin{aligned}\eta ^{2}=0\\(\eta ^{\dagger })^{2}=0\\\left\lbrace \eta ,\eta ^{\dagger }\right\rbrace =2I\end{aligned}}.$$

Тридимензионалниот облик на равенката може да се прикаже како

$${\begin{aligned}-i\gamma _{i}\partial _{i}\psi =(i\eta \partial _{t}+\eta ^{\dagger }m)\psi \end{aligned}}.$$

Тука, $\eta =(\gamma _{0}+i\gamma _{5})/{\sqrt {2}}$ е нилпотентна матрица со димензии $4\times 4$ и $\gamma _{i}$ се Дираковите гама-матрици ($i=1,2,3$). Шредингеровата равенка во тридимензионален облик може да се добие со квадрирање на равенката погоре. Во нерелативистичките граници $E-m\simeq E'$ и $E+m\simeq 2m$, горната равенка може да се изведе и од Дираковата равенка.

Користена литература

• P. A. M. Dirac (1958). The Principles of Quantum Mechanics (4. изд.). Oxford University Press.
• B.H. Bransden & C.J. Joachain (2000). Quantum Mechanics (2. изд.). Prentice Hall PTR. ISBN 0-582-35691-1.
• David J. Griffiths (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2. изд.). Benjamin Cummings. ISBN 0-13-124405-1.
• Richard Liboff (2002). Introductory Quantum Mechanics (4. изд.). Addison Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• David Halliday (2007). Fundamentals of Physics (8. изд.). Wiley. ISBN 0-471-15950-6.
• Serway; Moses; Moyer (2004). Modern Physics (3. изд.). Brooks Cole. ISBN 0-534-49340-8.
• Schrödinger, Erwin (December 1926). „An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules“. Phys. Rev. 28 (6): 1049–1070. Bibcode:1926PhRv...28.1049S. doi:10.1103/PhysRev.28.1049.
• Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5.

Надворешни врски

• Хацевинкел, Михил, уред. (2001), „Schrödinger equation“, Математичка енциклопедија, Шпрингер, ISBN 978-1556080104
• Quantum Physics Архивирано на 7 март 2012 г.
• Linear Schrödinger Equation, EqWorld: The World of Mathematical Equations
• Nonlinear Schrödinger Equation, EqWorld: The World of Mathematical Equations
• The Schrödinger Equation in One Dimension Архивирано на 24 мај 2006 г. заедно со директориумот на книгата Архивирано на 24 мај 2006 г.
• All about 3D Schrödinger Equation
• Mathematical aspects of Schrödinger equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki Архивирано на 23 јули 2017 г.
• Web-Schrödinger: Interactive solution of the 2D time-dependent and stationary Schrödinger equation
• An alternate reasoning behind the Schrödinger Equation
• Periodic Potential Lab — програм за решавање на временски зависна Шредингерова равенка со произволни периодични потенцијали
• What Do You Do With a Wavefunction?
• The Young Double-Slit Experiment

Статијата „Шредингерова равенка“ е избрана статија. Ве повикуваме и Вас да напишете и предложите избрана статија (останати избрани статии).