Кинетичка енергија

Во физиката, кинетичка енергија е енергијата што ја поседува едно тело што е во движење. Се определува како работата потребна за едно тело со определена маса да добие забрзување од положба на мирување до дадена брзина. Добиената енергија при забрзувањето (кинетичката енергија) телото ја одржува сè додека не се промени неговата брзина. Телото ја врши истата работа и при забрзување со намалување на брзината од неговата моментна брзина до состојба на мирување.

Кинетичка енергија
Количките на лудата железница ја постигнуваат својата максимална кинетичка енергија кога се на дното од нивната патека. Кога започнуваат да се искачуваат кинетичката енергија се претвора во гравитациска потенцијална енергија. Збирот на кинетичката и потенцијалната енергија во ситемеот е постојан, се занемаруваат губитоците поради триењето.
Симболи	KE, Ek, или T
SI-единица	џул (J)
Изведенки од други величини	Ek = ½mv2 Ek = Et+Er

Во класичната механика кинетичката енергија на тело кое не ротира и при тоа има маса m и брзина v е еднаква на ${\frac {1}{2}}$$m$$v^{2}$. Во релативистичката механика ова е добра проценка само кога v е помала од брзината на светлината.

Meрна единица за кинетичка енергија е 1 ЏУЛ.

Историја и развој

Зборот „кинетичка“ потекнува од грчкиот збор kinesis, што значи движење. Поделбата меѓу кинетичката и потенцијалната енергија датира од времето на Аристотел и неговите концепти за вистинитост и можност.

Принципот на класичната механика дека E ∝ mv²  први ја развиле Готфрид Лајбниц и Џонан Бернули, кои ја опишале кинетичката енергија како жива сила  (vis viva). Вилем Грејвсанде од Холандија обезбедил експериментални докази за оваа врска. Пуштајќи тегови слободно да паѓаат од различни виочини во маса од глина, тој одредил дека нивната длабочина на пенетрација е пропорционална со квадратот на брзината со која што удриле во глината. Емили де Шателе увидела на предлозите кои експериментот ги нудел и објавила објаснување.

Поимите кинетичка енергија и работа со нивните денешни научни значења датираат од средината на 19 век. Раните разбирања за овие идеи се поврзуваат со Гаспард-Густаве Королис, кој објавил статија во 1829 година во која што тој ја потенцирал математиката во кинетичката енергија како величина. Вилијам Томпсон го измислил поимот „кинетичка енергија“ (1849-1851).

Вовед

Енергијата се појавува во разни форми: хемиска, топлинска енергија, електромагнетно зрачење, гравитациска енергија, електрична, еластична, јадрена енергија и енергија на тело во мирување. Сите овие се групирани во два основни видови на енергија: потенцијална и кинетичка. Кинетичка енергија е енергијата која ја поседува едно тело кое е во движење. Таа може да се пренесе од едно тело на друго, или пак да се претвори во друг тип на енергија.

Кинетичката енергија може најдобро да се сфати преку примери кои покажуваат како таа може да се претвори од/во други форми на енергија. На пример, еден велосипедист користи хемиска енергија добиена од храната за да го доведе велосипедот до определена брзина. На рамна површина оваа брзина може да се одржува без понатамошна работа, освен за совладување на отпорот со воздуот и триењето. На овој начин хемиската енергија е претворена во кинетичка, но во текот на процесот се создава и топлина во телото на велосипедистот.

Кинетичката енергија која ја поседуваат велосипедот и велосипедистот можат да се претворат и во други форми на енергија. На пример, велосипедистот може да наиде на некоја угорница која е доволно висока, за движењето на велосипедот по неа да предизвика претворање на речиси целата кинетичка енергија во гравитациска потенцијална, а тоа би довело до целосно застанување на велосипедот. Гравитациската енергија може повторно да се претвори во кинетичка доколку велосипедот се пушти слободно да се движи по удолницата. На тој начин висината на која што се наоѓа телото се намалува, предизвикувајќи пад и на гравитациската енергија, а растење на брзината и со самото тоа и на кинетичката енергија. Но, телото нема да може да ја врати целосно кинетичката енергија која ја поседувало пред да се качи на угорницата без при тоа да ги движи педалите, а причина за ова е триењето. Кинетичката енергија не исчезнува, туку само се претвора во друга форма на енергија благодарение на триењето. Исто така, велосипедистот би можел да поврзе динамо за тркалата на велосипедот, што би довело до тоа кинетичката енергија која ја поседуваат тркалата да биде претворена во електрична. Тоа значи дека ќе дојде до пад на кинетичката енергија, а со самото тоа и намалување на брзината кога велосипедот ќе стигне до крајот на удолницата. Друга опција, пак би била велосипедистот да притисне на кочниците. Во тој случај кинетичката енергија ќе се претвори во топлина поради триењето.

Кинетичката енергија не е константна.

Кинетичката енергија може да се пренесе од едно тело на друго. При играње билијард, играчот придава кинетичка енергија на топчето со тоа што го удира со стапот. Доколку топчето се судри со друго топче, брзината кај него драстично се намалува, додека топчето со кое се судрило добива забрзување, поради кинетичката енергија која ја добило од другото топче. Судирите при играње билијард се од еластична природа, односно кинетичката енергија се зачувува (само се пренесува од едно тело на друго без при тоа да се претвори во некој друг вид на енергија). Но, при судири од нееластична природа доаѓа до претворање на кинетичката енергија во други форми на енергија (топлина, звук итн.).

Постои направа наречена замаец, којашто служи за зачувување на енергија. Ова докажува дека кинетичката енергија може да се зачува во вртежно движење.

Постојат повеќе математички описи на кинетичката енергија. За тела или процеси кои се одвиваат во секојдневието на човекот, формулата ½mv², поставена од Њутновата механика, може да се примени. Но, доколку брзината на едно тело е споредлива со онаа на брзината, тогаш се користи релативистичката формула. Доколку телото е на атомско или субатомско ниво, тогаш се користи квантномеханички модел.

Њутнова кинетичка теорија

Кинетичка енергија на цврсти тела

Во класичната механика кинетичката енергија на една материјална точка (тело чијашто маса ја замеруваме) или пак на цврсто нееластично тело кое не ротира зависи од масата и брзината на телото. Кинетичката енергија е еднаква на една половина од производот на масата и квадратот на брзината. Во вид на формула:

$\mathrm {E} \kappa ={\frac {1}{2}}mv^{2}$

каде m е масата, а v претставува брзината на телото. Во SI системот масата се мери во килограми (kg), а брзината во метри во секунда (m/s), додека кинетичката енергија се мери во џули (Ј). 

На пример, 80 килограми и 18 м/s.

$E_{k}={\frac {1}{2}}\cdot 80kg\cdot {\bigg (}18m/s{\biggr )}^{2}=12960J=12.96kJ$

Кога пуштаме топче слободно да паѓа, ние вршиме работа врз него за да му дадеме брзина. Додека паѓа, топчето може да удри во нешто, вршејќи работа врз тоа тело. Кинетичката енергија на тело во движење е еднаква со работата потребна да се изврши за да се доведе до определена брзина од положба на мирување, или пак на работата која телото е способно да ја изврши додека се доведува до положба на мирување. 

$Fs={\frac {1}{2}}mv^{2}$ 

Бидејќи кинетичката енергија се зголемува со квадратот на брзината, тело кое има двапати поголема брзина има четири пати поголема кинетичка енергија. На пример, автомобил со брзина двојно поголема од брзината на друг автомобил му е потребно четири пати поголемо растојание за да застане, доколку сметаме дека силата на кочење е константна. Како последица на ова зголемување за четири пати, потребно е да се изврши четири пати поголема работа за двојно да биде зголемена брзината.

Кинетичката енергија на едно тело е поврзана со количеството движење кое телото во движење го поседува преку формулата:

$Ek={\frac {p^{2}}{2m}}$

каде:

p- е количество движење

m- масата на телото

Транслаторна кинетичка енергија пак, претставува кинетичка енергија поврзана со праволиниско движење на круто (цврсто и нееластично) тело со константна маса m, чијшто центар на маса се движи по права линија со брзина v:

$Et={\frac {1}{2}}mv^{2}$

каде:

m=масата на телото

v=брзината на центарот на масата на телото

Тела кои ротираат

Доколку едно цврсто тело Q ротира околу било која линија која минува низ центарот на масата на телото, тогаш тоа има вртежна кинтичка енергија (Е_r) која претставува збир од кинетичките енергии на сите негови подвижни делови и е дадена преку формулата:

$E_{r}=\int _{Q}{v^{2}dm \over 2}=\int _{Q}{(rw)^{2}dm \over 2}={w^{2} \over 2}\int _{Q}r^{2}dm={w^{2} \over 2}I={\frac {1}{2}}Iw^{2}$

Каде:

• ω претставува аголна брзина на телото
• r претставува растојание помеѓу линијата и било која маса (делта) m
• I претставува момент на инерција на телото еднаков на

(Во оваа формула моментот на инерција мора да биде земен при оска низ центарот на масата и ротацијата мерена преку ω мора да биде околу оваа оска; постојат повеќе општи формули за системи каде телото е подложно на нишање поради неговата специфична форма).  

Кинетичка енергија на системи

Систем од тела може да има внатрешна кинетичка енергија поради релативното движење на телата кои се наоѓаат во системот. На пример, во Сончевиот Систем планетите и планетоидите се движат околу Сонцето. Во резервоар со гориво молекулите се движат во сите правци. Кинетичката енергија на системот е всушност збир од кинтичките енергии на сите тела кои ги содржи.

Макротело кое е во мирување (поставен е појдовен систем кој соодветствува на центарот на телото во моментот може да има разни видови внатрешна енергија на молекуларно или атомско ниво, кои можат да се сметаат како кинетички, како последица на молекуларни транслација, ротација и вибрација, транслација и вртење на електрони и вртење на јадрото. Сите овие придонесуваат во масата на телото, како што ни кажува и специјалната теорија за релативноста. Кога се зборува за движења на макроскопски тела, кинетичката енергија вообичаено припаѓа само на макроскопското движење. Но, сите видови внатрешна енергија придонесуваат во масата, инерцијата и вкупната енергија на телото. 

Појдовен систем

Брзината, а со самото тоа и кинетичката енергија на едно тело е релативно: може да ја има било која вредност која не е негативна, со избирање на соодветен инерцијален појдовен систем. На пример, еден куршум, кој поминува покрај некој набљудувач има кинетичка енергија во рамките на појдовниот систем на набљудувачот. Истиот

куршум е во мирување од перспективата на набљудувачот кој се движи со иста брзина како и куршумот, така што тој има кинетичка енергија еднаква на нула. Вкупната кинетичка енергија на систем од тела не може да биде намалена на нула од страна на соодветен инерцијален појдовен систем, освен кога сите тела ја имаат ја имаат истата брзина. Во било кој друг случај кинетичката енергија има минимална вредност поголема од нула, бидејќи не може да се одбере инерцијален појдовен систем, каде сите тела се во мирување. Минималната кинетичка енергија придонесува во масата на системот, која е независна од појдовниот систем.

Вкупната кинетичка енергија на еден систем зависи од инерцијалниот појдовен систем: таа е збир од сите кинетички енергии во тежишниот упатник и кинетичката енергија, која би ја имала вкупната маса доколку таа е сконцентрирана во центарот на масата.

Просто може да се запише вака: да v биде релативната брзина на центарот на моментот на системот во системот k. Бидејќи,

$v^{2}=(V_{i}+V)^{2}=(V_{i}+V)\cdot (V_{i}+V)=V_{i}+V_{i}+2V_{i}\cdot V+V\cdot V=V_{i}^{2}+2V_{i}\cdot V+V^{2}$

$E_{k}=\int {v^{2} \over 2}dm=\int {V_{i}^{2} \over 2}dm+V\cdot \int V_{i}dm+{v^{2} \over 2}\int dm$

Но, нека $\int {V_{i}^{2} \over 2}dm=E_{i}$ биде кинетичката енергија во центарот на системот, тогаш

$\int V_{i}dm$ би било вкупниот момент кој по дефиниција е еднаков на нула во center of mass frame, и нека вкупната маса: $\int dm=M$

Заменувајќи, добиваме:

$E_{k}=E_{i}+{MV^{2} \over 2}$

Значи, кинетичката енергија на еден систем е најниска со исклучок на центарот на моментот на референтните системи односно појдовните системи каде центарот на масата е статичен. Во било кој друг појдовен систем постои дополнителна кинетичка енергија која соодветствува на вкупната маса, која се движи со брзина еднаква на брзината на центарот на масата. Кинетичката енергија на систем е вредност која е непроменлива (сите набљудувачи ја гледаат како иста). 

Ротација на системи

Понекогаш е практично да се подели вкупната кинетичка енергија на едно тело на збир од транслацијалната кинетичка енергија на центарот на масата на телото и енергија на ротација околу центарот на масата (вртежна енергија):

$E_{k}=E_{t}+E_{r}$

каде:

·        E_k е вкупната кинетичка енергија

·        E_t е транслацијалната кинетичка енергија

·        E_r  е вртежната енергија или аголната кинетичка енергија во rest frame.

Значи, кинетичката енергија на тениско топче во двиење низ воздухот е всушност кинетичка енергија предизвикана од ротацијата на топчето, плус кинетичката енергија предизвикана од неговото транслаторно движење. 

Релативистичка кинетичка енергија на цврсти тела

Доколку брзината на едно тело е значаен дел од брзината на светлината, потребно е да се употреби релативистичка механика за да се пресмета неговата кинетичка енергија. Во специјалната теорија на релативноста изразот за линеарен монмент е изменет.

m претставува маса на телото, v и v неговите брзини и с е брзината на светлината во вакуум, тука го користиме изразот за линеарен момент $p=m\gamma v$, каде

$\gamma =1/{\sqrt {1-V^{2}/c^{2}}}$

$E_{k}=\int v\cdot dp=\int v\cdot d(m\gamma v)=m\gamma v\cdot v-\int m\gamma v\cdot dv=m\gamma v^{2}-{m \over 2}\int \gamma d(V^{2})$

Бидејќи: $\gamma =(1-V^{2}/c^{2})-^{\frac {1}{2}}$

$E_{k}=m\gamma v^{2}-^{\frac {2}{4}}$

$E_{k}=m\gamma v^{2}-{-mc^{2} \over 2}\int \gamma d(1-v^{2}/c^{2})=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}$

Со упростување на изразот добиваме:

$E_{k}=m\gamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}=m\gamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}=m\gamma c^{2}-E_{0}$

Е₀ се наоѓа, така што гледаме дека V = 0, g= 1 и E_k = 0 и се ова дава:

Е₀ = mc² ;

Давајќи ја формулата:

$E_{k}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$

Оваа формула покажува дека работата expended accelerating an object од состојба на мирување (и) се приближува до бесконечност, додека брзината се приближува до брзината на светлината. Значи, невозможно е едно тело да добие забрзување кое ја преминува оваа граница.

Математичкиот производ од оваа пресметка е формулата за еквиваленција помеѓу масата и енергијата – телото во мирување мора да има количество енергија

$Erest=E_{0}=mc^{2}$

При мала брзина (v<<c), релативистичката кинетичка енергија

$E_{k}\approx mc^{2}(1+{1 \over 2}v^{2}/c^{2})-mc^{2}={1 \over 2}mv^{2}$

Значи вкупната енергија Е_к може да се подели на енергијата на масата и Њутновата кинетичка енергија при мала брзина.

Кога телата се движат со брзина многу помала од онаа на светлината (пр. секојдневно движење на Земјата), првите два дела од формулата доминираат . Следниот дел од Тејлоровата формула за проценка

$E_{k}\approx mc^{2}(1+{1 \over 2}v^{2}/c^{2}+{3 \over 8}v^{4}/c^{4})-mc^{2}={1 \over 2}mv^{2}+{3 \over 8}mv^{4}/c^{2}$

е мал за мали брзини. На пример, за брзина еднаква на 10 км/s the correction to Њутновата кинетичка енергија е 0.0417 J/kg (при Њутнова кинетичка енергија од 50 MJ/kg), а за брзина еднаква на 100 км/s тоа е 417 Ј/kg (при Њутнова кинетичка енергија од 5 GJ/kg).

Релативистичката поврзаност помеѓу кинетичката енергија и моментот е искажана преку

$E_{k}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}$

Ова исто така може да се претстави како

$E_{k}\approx {p^{2} \over 2m}-{p^{4} \over 8m^{3}c^{2}}$

Ова кажува дека формулите за енергија и момент не се посебни и аксиоматски, туку концепти кои произлегуваат од еквиваленцијата помеѓу масата и енергијата и од принципите за релативност

Општа релативност

Земајќи по договор дека

$\varrho _{\alpha }\beta u^{\alpha }u^{\beta }=-c^{2}$

каде четири-брзината на една честичка е

$u^{\alpha }={dx^{\alpha } \over dr}$

и t е соодветното време на таа честичка, постои и израз за кинетичката енергија на честичката во областа општа релативност.

Доколку честичката има момент

$p_{\beta }=mg_{\beta }\alpha u^{\alpha }$

момододека поминува покрај набљудувач со четири-брзина u_obs , тогаш изразот за вкупната енергија на честичката при набљудување е:

$E=-p_{\beta }u_{o}bs^{\beta }$

а кинетичката енергија може да се претстави како разлика помеѓу вкупната енергија и ввишокот енергија:

$E_{k}=-p^{\beta }u^{\beta }-mc^{2}$

Земете го предвид случајот, кога материјалната точка кој/а е дијагонален/на и просторно изотропична (g_tt,g_ss,g_ss,g_ss). Бидејќи

$u^{2}={dx^{\alpha } \over dt}{dt \over dr}=v^{\alpha }u^{t}$

каде v^α е обичната брзина мерена , добиваме

$-c^{2}=g_{\alpha }u^{\alpha }u^{\beta }=g_{t}t(u^{t})^{2}+g_{s}v^{2}(u^{t})^{2}$

Формулата за u^t гласи

$u^{t}=c{\sqrt {-1 \over g_{t}+g_{s}v^{2}}}$

Значи, за набљудувач кој е во состојба на мирување (v= 0)

$u^{t}=c{\sqrt {-1 \over g_{t}}}$

а, тоа значи дека кинетичката енергија ќе ја има следната форма

$E_{k}=-mg_{t}u^{t}u^{t}-mc^{2}=mc^{2}{\sqrt {g_{t} \over g_{t}+g_{s}v^{2}}}-mc^{2}$

Доколку се тргне настрана вишокот енергија добиваме:

$E_{k}={\Biggl (}{\sqrt {{g_{t} \over g_{t}+g_{s}v^{2}}-1}}{\Biggr )}$

Овој израз се намалува,и :

$gt=-c^{2}$

$g_{s}=1$

Во Њутновата проценка за општа релативност

$g_{t}=-{\bigl (}c^{2}+2\Phi {\bigr )}$

$g_{s}=1-{2\Phi \over c^{2}}$

каде Φ е Њутновиот гравитациски потенцијал. Ова значи дека часовниците се движат поспоро и мерните прачки се пократки во близина на големи тела.

Наводи

Кин