Тангентен трапез

Тангентен трапез — трапез во рамнинска геометрија чии страни се тангенти на кружница - на впишана кружница. Тоа е посебен случај на тангентен четириаголник каде што барем еден пар спротивни страни е паралелен. Како и кај другите трапези, паралелните страни се нарекуваат основи, а другите две се краци. Краците на рамнокрак тангентен трапез се со иста должина.

Пример за тангентен трапез

Секој рамнокрак тангентен трапез е двоцентричен

Пример за правоаголен тангентен трапез. Негова посебност е што должината на првата дијагонала e е еднаква на должината на вториот крак d (e = d).

Дефиниција

Конвексниот четириаголник е тангентен трапез ако и само ако за спротивните страни важи Питоовата теорема (четириаголникот е тангентен), два негови соседни агли (на краците) се суплеменатарни - ова важи и за другите два агли, а четириаголник е трапез. Затоа, AB и CD се сметаат за основи во тангентниот трапез ABCD ако и само ако:

$a+c=b+d\!\,$

и:

$\alpha +\delta =\beta +\gamma =\pi \!\,.$

Посебни случаи

Посебни случаи на тангентни трапези се сите ромбови и квадрати. Посебен случајза тангентен трапез е и правоаголен тангентен трапез.

Обем

Обемот на тангентен трапез е вкупната должина на сите страни:

$o=a+b+c+d\!\,.$

Плоштина

Формулата за плоштина на трапез може да се поедностави со теоремата на Пито и ја добиваме формулата за плоштината на тангентен трапез:

$p={\frac {a+c}{a-c}}{\sqrt {ac(a-b)(b-c)}}\!\,.$

каде a и c се основи (каде a > c ) и b е една од катетите.

Плоштината може да се изрази и со помош на поединечните должини на тангентите g, h, i и j како:

$p={\sqrt[{4}]{ghij}}(g+h+i+j)\!\,.$

Полупречник на впишана кружница

Со истите ознаки како и за плоштината, полупречникот на впишаната кружница е еднакова на:

$r={\frac {p}{a+c}}={\frac {\sqrt {ac(a-b)(b-c)}}{a-c}}\!\,.$

Пречникот на впишаната кружница е еднаков на висината на тангентниот трапез.

Полупречникот на впишаната кружница може да се изрази со користење на поединечните должини на тангентите како:

$r={\sqrt[{4}]{ghij}}\!\,.$

Литература

• Josefsson, Martin (2010). „Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral“ (PDF). Forum Geometricorum. 10: 119–130.