Испакнат многуаголник

Испакнат многуаголник (конвексен многуаголник) е многуаголник кој е граница на конвексно множество. За секоја права која минува низ две негови соседни темиња сите точки лежат на една страна од правата. Поточно речено, тој е прост многуаголник (несамопресекувачки).^[1] Исто така, многуаголникот е испакнат ако секоја линија која не содржи ниеден раб се сече со многуаголниккот во најмногу две точки.

Строго испакнат (строго конвексен) многуаголник е испакнат многуаголник за кој не постои права која содржи два негови раба. Кај испакнат многуаголник, сите внатрешни агли се помали или еднакви на 180 степени, додека пак кај строго испакнатиот многуаголник сите внатрешни агли се строго помали од 180 степени.

Својства

Секој прост многуаголник кој има некое од следниве својства е строго испакнат:

Секој внатрешен агол на многуаголникот е строго помал од 180 степени.
Секоја точка на отсечка со крајни точки кои се во внатрешноста или на границата на многуаголникот се наоѓа во внатрешноста или на границата на многуаголникот.
Многуаголникот потполно се содржи во една затворена полурамнина определена од права која содржи некој негов раб.
За секој раб, сите внатрешни точки се на иста страна од правата што ја определува работ.
Аголот во секое теме ги содржи сите други темиња во неговите рабови и внатрешност.
Многуаголникот е испакнатата обвивка на неговите рабови.

Дополнителни својства на испакнатите многуаголници:

Пресекот на два испакнати многуаголника е испакнат многуаголник.
Испакнатиот многуаголник може да се триангулира во линеарно време со лепезна триангулација, што се состои од повлекување на дијагоналите од едно теме до сите други темиња.
Теорема на Хели. За фамилија од најмалку три испакнати многуаголници: ако пресекот на секои три од тие многуаголници е непразно множество, тогаш пресекот на сите многуаголници од фамилијата е непразен.
Крајн-Милманова теорема. Секој испакнатиот многуаголник е конвексна обвивка на неговите темиња. Затоа тој е наполно определен од множеството составено од неговите темиња, т.е. доволни се само ќошињата на многуаголникот за да се добие комплетниот облик на многуаголникот.
Теорема на одвоеноста. За секои два испакнати многуаголника кои немаат заеднички точки постои разделувачка права. Ако многуаголниците се затворени и барем еден од нив е компактен, тогаш има две паралелни разделувачки линии (со празнина помеѓу нив).
Впишан триаголник. Помеѓу сите триаголници сместени во испакнат многуаголник, има триаголник со максимална плоштина чии темиња се некои темиња на многуаголникот.^[2]
Опишан триаголник. Секој испакнат многуаголник со плоштина $P$ може да се впише во триаголник со плоштина која не е поголема од $2P$ . Равенство важи (исклучиво) за паралелограм.^[3]
Впишани/опишани правоаголници. Во секое рамнинско испакнато тело $C$ може да се впише правоаголник $r$ кој со хомотетија со коефициент не поголем од 2 може да се преслика во правоаголник $R$ во чија внатрешност е $C$ и важи $0,5\cdot P(R)\leqslant {P}(C)\leqslant 2\cdot P(r)$ .^[4]
Средната ширина на испакнат многуаголник е еднаква на неговиот периметар поделен со бројот пи. Така, неговата ширина е пречникот на кружницата чиј периметар е еднаков на периметарот на многуаголникот.^[5]

Секој многуаголник впишан во кружница (така што сите темиња на многуаголникот ја допираат кружницата), ако не се самопресекува, тогаш е испакнат. Меѓутоа, не секој испакнат многуаголник може да се впише во кружница.

Строга испакнатост

Следниве својства на прост многуаголник се еквивалентни со тоа дека тој е строго испакнат:

Секој внатрешен агол е строго помал од 180 степени.
Секоја внатрешна точка на отсечка чии краеви се во внатрешноста или на границата од многуаголникот (но не на ист раб), е строго внатрешна за многуаголникот.
За секој раб, внатрешните точки и граничните точки кои не лежат на работ се на иста страна во однос на правата која го содржи работ.
За секој агол на многуаголникот, сите други темиња се во неговата внатрешност (освен темето кое е теме на аголот и двете негови соседни темиња).

Секој неизроден (недегенериран) триаголник (на кој темињата не му се колинеарни и не му се поклопуваат) е строго испакнат.

Поврзано

Наводи

↑ Definition and properties of convex polygons with interactive animation.
↑ Christos. „Is the area of intersection of convex polygons always convex?“. Math Stack Exchange.
↑ Weisstein, Eric W. „Triangle Circumscribing“. Wolfram Math World.
↑ Lassak, M. (1993). „Approximation of convex bodies by rectangles“. Geometriae Dedicata. 47: 111–117. doi:10.1007/BF01263495. S2CID 119508642.
↑ Belk, Jim. „What's the average width of a convex polygon?“. Math Stack Exchange.

Надворешни врски

„Испакнат многуаголник“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

Проверка на испакнатоста на еден многуаголник (англиски)

[1] Definition and properties of convex polygons with interactive animation.

[2] Christos. „Is the area of intersection of convex polygons always convex?“. Math Stack Exchange.

[3] Weisstein, Eric W. „Triangle Circumscribing“. Wolfram Math World.

[4] Lassak, M. (1993). „Approximation of convex bodies by rectangles“. Geometriae Dedicata. 47: 111–117. doi:10.1007/BF01263495. S2CID 119508642.

[5] Belk, Jim. „What's the average width of a convex polygon?“. Math Stack Exchange.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]