Питоова теорема
Питоова теорема — теорема во геометријата која вели дека во тангентен четириаголник двете двојки спротивни страни имаат иста вкупна должина. Името ѝ е дадено по францускиот инженер Анри Пито.[1]
Тврдење и обратна теорема
уредиТангентен четириаголник обично се дефинира како конвексен четириаголник за кој сите четири страни се тангенти на истиот впишана кружница. За овие четириаголници Питовата теорема вели дека двата збира на должини на спротивните страни се исти. Двата збира на должини се еднакви на полуобемот на четириаголникот.[2]
Обратната теорема е исто тка вистината: секогаш кога конвексниот четириаголник има двојки спротивни страни со исти збирови на должини, во него може да се впише кружница. Затоа, ова е точната определба: тангентни четириаголници се токму четириаголниците со еднакви збирови на должини на спротивните страни.[2]
Идеја за доказ
уредиЕден начин да се докаже Питоовата теорема е да се поделат страните на кој било даден тангентен четириаголник во точките каде што неговата впишана кружница ја допира секоја страна. Така, четирите страни се поделени на осум отсечки, помеѓу темето на четириаголникот и точката на допир со кружницата. Било кои две од овие отсечки што се среќаваат во исто теме имаат иста должина, така што образуваат двојка отсечки со еднаква должина. Било кои две спротивни страни имаат по еден сегмент од секоја од овие двојки. Според тоа, четирите отсечки на двете спротивни страни имаат исти должини и ист збир на должини како и четирите отсечки на другите две спротивни страни.
Историја
уредиАнри Пито ја докажал својата теорема во 1725 година, додека обратната била докажана од швајцарскиот математичар Јакоб Штајнер во 1846 година.[2]
Обопштување
уредиПитоовата теорема се обопштува за тангентни -аголници, во кој случај двата збира на наизменичните страни се еднакви. Важи истата идеја за доказ.[3]
Наводи
уреди- ↑ Pritsker, Boris (2017), Geometrical Kaleidoscope, Dover Publications, стр. 51, ISBN 9780486812410.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 Josefsson, Martin (2011), „More characterizations of tangential quadrilaterals“ (PDF), Forum Geometricorum, 11: 65–82, MR 2877281, Архивирано од изворникот (PDF) на 2016-03-04, Посетено на 2014-03-16. See in particular pp. 65–66.
- ↑ de Villiers, Michael (1993), „A unifying generalization of Turnbull's theorem“, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 24 (2): 65–82, doi:10.1080/0020739930240204, MR 2877281.