Рамнокрак трапез

Рамнокрак трапез
	Рамнокрак трапез со оска на симетрија
Вид	четириаголник, трапез
Рабови и темиња	4
Група на симетрија	Dih2, [ ], (*), 2. ред
Својства	испакнат, кружен

Рамнокрак трапез — испакнат четириаголник со линија на симетрија што пресекува еден пар спротивни страни во Евклидовата геометрија. Тоа е посебен случај на трапез. Алтернативно, може да се дефинира како трапез во кој двата крака и двата агли на основата се еднакви.^[1] Забележете дека неправоаголен паралелограм не е рамнокрак трапез поради вториот услов или затоа што нема линија на симетрија. Во кој било рамнокрак трапез, двете спротивни страни (основите) се паралелни, а двете други страни (краците) се со еднаква должина (заеднички својства со паралелограмот). Дијагоналите се исто така со еднаква должина. Аглите на основата на рамнокрак трапез се еднакви (всушност има два пара еднакви агли на основите, каде што аголот на едната основа е суплементен агол на аголот на другата основа).

Специјални случаи

Посебни случаи на рамнокраки трапези

Правоаголниците и квадратите обично се сметаат за специјални случаи на рамнокраки трапези иако некои извори не ги вклучуваат.^[2]

Друг специјален случај е трапез со 3 еднакви страни, понекогаш познат како трилатерален трапез^[3].Тие, исто така, може да се расчленети од правилни многуаголници од 5 или повеќе страни како скратување на 4 секвенцијални темиња.

Самопресеци

Секој четириаголник што не се вкрстува со точно една оска на симетрија мора да биде или рамнокрак трапез или делтоид.^[4] Меѓутоа, ако се дозволени вкрстувања, множеството на симетрични четириаголници мора да се прошири за да ги вклучи и вкрстените рамнокраки трапези, вкрстените четириаголници во кои вкрстените страни се со еднаква должина, а другите страни се паралелни, и антипаралелограмите, вкрстени четириаголници во кои спротивните страни имаат еднаква должина.

Секој антипаралелограм има рамнокрак трапез како конвексна обвивка, и може да се формира од дијагоналите и непаралелните страни (или кој било пар спротивни страни во случај на правоаголник) на рамнокрак трапез.^[5]

Особености

Ако се знае дека четириаголникот е трапез, не е доволно само да се провери дали краците имаат иста должина за да се знае дека е рамнокрак трапез, бидејќи ромбот е посебен случај на трапез со краци со еднаква должина, но не е рамнокрак трапез бидејќи му недостига линија на симетрија низ средните точки на спротивните страни.

Кое било од следниве својства го разликува рамнокракиот трапез од другите трапези:

Дијагоналите имаат иста должина.
Аглите при основите се еднакви.
Отсечката што ги спојува средните точки на паралелните страни е нормална на нив.
Спротивните агли се суплементни, што пак имплицира дека рамнокракните трапези се циклични четириаголници.
Дијагоналите се делат една со друга на сегменти со должини кои се еднакви во парови; во однос на сликата подолу, AE = DE, BE = CE (и AE ≠ CE ако се исклучат правоаголниците).

Агли

Во рамнокрак трапез, аглите на основите се еднакви во пар. На сликата подолу, аглите ∠ ABC и ∠ DCB се еднакви тапи агли, додека аглите ∠ BAD и ∠ CDA се остри агли, исто така еднакви.

Бидејќи отсечките AD и BC се паралелни, аглите до спротивните основи се суплементни, односно аглите ∠ABC + ∠BAD = 180°.

Дијагонали и висина

Друг рамнокрак трапез.

Дијагоналите на рамнокрак трапез имаат иста должина; односно секој рамнокрак трапез е еквидијагонален четириаголник. Покрај тоа, дијагоналите се делат едни со други во ист сооднос. Како што е прикажано, дијагоналите AC и BD имаат иста должина (AC = BD) и се делат една со друга на сегменти со иста должина (AE = DE и BE = CE).

Односот на кој е поделена секоја дијагонала е еднаков на односот на должините на паралелните страни што ги сечат, т.е.

{\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.

Должината на секоја дијагонала, според теоремата на Птоломеј, е дадена со

p={\sqrt {ab+c^{2}}}

каде што a и b се должините на паралелните страни AD и BC, а c е должината на секој крак AB и CD.

Висината е, според Питагоровата теорема, дадена со

h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.

Растојанието од точката Е до основата АД е дадено со

d={\frac {ah}{a+b}}

каде што a и b се должините на паралелните страни AD и BC, а h е висината на трапезот.

Плоштина

Плоштината на рамнокрак (или кој било) трапез е еднаква на просекот на должините на основите (паралелните страни) помножен со висината. На соседниот дијаграм, ако напишеме AD = a, и BC = b, а висината h е должината на отсечка помеѓу AD и BC што е нормална на нив, тогаш плоштината K е дадена на следниов начин:

K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).

ако наместо висината на трапезот, се знае заедничката должина на краците AB = CD = c, тогаш плоштината може да се пресмета со помош на Брамагуптината формула за плоштина на цикличен четириаголник, која со еднакви две страни се поедноставува

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},

-каде $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)$ е полупериметарот на трапезот. Оваа формула е аналогна на Хероновата формула за пресметување на плоштина на триаголник. Претходната формула за површина може да се напише и како

K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.

Полупречник на опишана кружница

Полупречникот на опишана кржуница е даден со ^[6]

R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.

Во правоаголник каде a = b ова е поедноставено до $R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}$ .

Наводи

↑ „Trapezoid - math word definition - Math Open Reference“.
↑ Larson, Ron; Boswell, Laurie (2016). Big Ideas MATH, Geometry, Texas Edition. Big Ideas Learning, LLC (2016). стр. 398. ISBN 978-1608408153.
↑ Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree
↑ Halsted, George Bruce (1896), „Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals“, Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, стр. 49–53.
↑ Whitney, William Dwight; Smith, Benjamin Eli (1911), The Century Dictionary and Cyclopedia, The Century co., стр. 1547.
↑ Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables Accessed 1 July 2014.

Надворешни врски

Some engineering formulas involving isosceles trapezoids

[1] „Trapezoid - math word definition - Math Open Reference“.

[2] Larson, Ron; Boswell, Laurie (2016). Big Ideas MATH, Geometry, Texas Edition. Big Ideas Learning, LLC (2016). стр. 398. ISBN 978-1608408153.

[3] Michael de Villiers, Hierarchical Quadrilateral Tree

[esg-4] Halsted, George Bruce (1896), „Chapter XIV. Symmetrical Quadrilaterals“, Elementary Synthetic Geometry, J. Wiley & sons, стр. 49–53.

[5] Whitney, William Dwight; Smith, Benjamin Eli (1911), The Century Dictionary and Cyclopedia, The Century co., стр. 1547.

[6] Trapezoid at Math24.net: Formulas and Tables Accessed 1 July 2014.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]