Двоцентричен четириаголник

Двоцентричен, бицентричен или тангентно-тетивен четириаголник — конвексен четириаголник во рамнинска геометрија кој е и тетивен и тангентен четириаголник, односно постои кружница што ги содржи сите негови темиња (опишана кружница) и кружница што ги допира сите негови страни (впишана кружница).

Двоцентричен четириаголник

Двоцентричен четириаголник ABCD и неговиот тангентен четириаголник WXYZ

Двоцентричен делтоид

Двоцентричен рамнокрак трапез

Квадрат

Дефиниции

Конвексен четириаголник ABCD со страни a, b, c и d е двоцентричен ако и само ако за него важи Питоовата теорема:

$a+c=b+d\!\,,$

спротивните агли се суплементарни:

$\alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \!\,.$

Три други дефиниции се занимаваат со точките во кои впишаната кружница во тангентниот четириаголник е тангента на страните. Ако впишаната кружница е тангента на страните AB, BC, CD, DA во точките W, X, Y и Z, тогаш тангентниот четириаголник ABCD е исто така тетивен ако и само ако важи една од следните релации:

• $WY\bot \,XZ$ (тангентниот четириаголеник WXYZ е праводијагонален.)

• ${\frac {AW}{WB}}={\frac {DY}{YC}}$

• ${\frac {AC}{BD}}={\frac {AW+CY}{BX+DZ}}$

Ако точките E, F, G и H се симетрали на страните на тангентниот четириаголник WX, XY, YZ и ZW, тогаш тангентниот четириаголник ABCD е исто така тангентен ако и само ако четириаголникот EFGH е квадрат.

Според следнава дефиниција, ако средожиштето на впишаната кружница I е во тангентен четириаголник каде што продолжетоците на спротивните страни се сечат во точките J и K, четириаголникот е исто така тетивен ако и само ако JIK е прав агол.

Според друга дефиниција, тангентен четириаголник ABCD е тетивен ако и само ако неговата Њутн-Гаусова праве е нормална на Њутн-Гаусовата права на нејзиниот тангентен четириаголник WXYZ.

Општи особености

Полупречникот на впишаната кружница r и полупречникот на опишаната кружница R се поврзани со z (Фусов проблем):

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\!\,,$

каде:

$a={\frac {1}{R+x}}\!\,,$

$b={\frac {1}{R-x}}\!\,,$

$c={\frac {1}{r}},\quad r\geq R{\sqrt {2}}\!\,$

а x е растојанието помеѓу средиштето на впишаната и средиштето на опишаната кружница. r може да се смета за висина на хипотенузата на правоаголен триаголник со катети $R\pm x$ со должина. Ова исто така може да се напише како (Фусова равенка):

$\left(R^{2}-x^{2}\right)^{2}=2r^{2}\left(R^{2}+x^{2}\right)\!\,,$

$(R+r+x)(R+r-x)(R-r+x)(R-r-x)=r^{4}\!\,$

Фусовата равенка лесно може да се преуреди во облик:

$x^{2}=\left({\sqrt {R^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}}}-{\frac {r}{2}}\right)\left({\sqrt {R^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}}}-{\frac {r3}{2}}\right)\!\,.$

Може да се напише и како:

$(p^{2}-1)(q^{2}-1)=1\!\,,$

каде:

$p={\frac {R+x}{r}}={\frac {1}{ar}}\!\,,$

$q={\frac {R-x}{r}}={\frac {1}{br}}\!\,.$

Посебни случаи

Некои делтоиди се исто така двоцентрични. Кај нив, зоради Талесовата теорема, двата спротивни внатрешни агли се прави агли. Ако има еден внатрешен прав агол во многуаголникот, а многуаголникот е двоцентричен, тогаш тоа е веќе делтоид со два спротивни внатрешни прави агли, бидејќи тие се суплементарни, односно не постои двоцентричен четириаголник со еден внатрешен прав агол.

Слично на тоа, некои рамнокраки трапезоиди, поточно сите рамнокраки тангентни трапезоиди, се исто така двоцентрични. Посебен пример за двоцентричен четириаголник е квадратот, бидејќи е правилен многуаголник.

Плоштина

Плоштината на двоцентричен четириаголник е:

$p={\sqrt {abcd}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {f_{1}^{2}f_{2}^{2}-(ac-bd)^{2}}}\!\,,$

каде што $f_{1}$ и $f_{2}$ се дијагонали на двоцентричниот четириаголник. Првиот облик е посебен случај на Брамагуптината равенка. Може да се изведе непосредно од тригонометриската равенка за плоштината на тангентниот четириаголник.

Ако во двоцентричниот четириаголник тангентните тетиви се k и l, неговата плоштина е еднаква на:

$p={\frac {klf_{1}f_{2}}{k^{2}+l^{2}}}\!\,.$

Литература

• Josefsson, Martin (januar 2010). „Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral“ (PDF). Forum Geometricorum. 10: 119–130. Архивирано од изворникот (PDF) на 2011-08-13. Посетено на 2024-12-09.
• Josefsson, Martin (februar 2010). „Characterizations of Bicentric Quadrilaterals“ (PDF). Forum Geometricorum. 10: 165–173.

Надворешни врски

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Bicentric Quadrilateral«. MathWorld.