Квадратна пирамида

Квадратна пирамида
Тип	Пирамида,; Џонсоново тело; J92 – J1 – J2
Страни	4 триаголници; 1 квадрат
Рабови	8
Темиња	5
Темен распоред
Симетриска група
Волумен
Дуал	самодуален
Својства	конвексен
Мрежа

Квадратна пирамида — пирамида со квадратна основа, која има вкупно пет лица. Ако врвот на пирамидата е непосредно над средиштето на квадратот, тоа е права квадратна пирамида со четири рамнокраки триаголници; инаку, тоа е коса квадратна пирамида. Кога сите рабови на пирамидата се еднакви по должина, нејзините триаголници се сите рамнострани и се нарекува рамнострана квадратна пирамида.

Квадратните пирамиди се појавиле низ историјата на архитектурата, со примери како египетските пирамиди и многу други слични градби. Тие се појавуваат и во хемијата во квадратни пирамидални молекуларни структури. Квадратни пирамиди често се користат во изградбата на други полиедри. Многу математичари во древно време ја откриле формулата за зафатнина на квадратна пирамида со различни пристапи.

Својства

Рамнострана квадратна пирамида

Квадратна пирамида има пет темиња, осум рабови и пет лица. Едното лице, наречено основа на пирамидата, е квадрат; четирите други лица се триаголници.^[3] Четири од рабовите го сочинуваат квадратот со поврзување на неговите четири темиња. Останатите четири рабови се познати како бочни рабови на пирамидата; тие се среќаваат на петтото теме, наречено врв.[4] Ако врвот на пирамидата лежи на линија подигната нормално од средиштето на квадратот, таа се нарекува права квадратна пирамида, а четирите триаголни лица се рамнокраки триаголници. Инаку, пирамидата има две или повеќе нерамнокраки триаголни лица и се нарекува коса квадратна пирамида.^[4]

Косата висина $s$ на права квадратна пирамида се дефинира како висина на еден од нејзините рамнокраки триаголници. Може да се добие преку Питагоровата теорема:

s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},

каде $l$ е должината на основата на триаголникот, исто така, еден од рабовите на квадратот, $b$ е должината на краците на триаголникот, кои се бочни рабови на пирамидата. [6] Висината $h$ на правата квадратна пирамида може да се добие на сличен начин, со замена на формулата за бочна висина која дава:^[5]

h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.

Плоштината на полиедарот е збир од плоштините на неговите лица. Плоштината $A$ на права квадратна пирамида може да се изрази како $A=4T+S$ , каде $T$ и $S$ се плоштините на еден од неговите триаголници и неговата основа, соодветно. Плоштината на триаголникот е половина од производот на неговата основа и страна, при што плоштината на квадрат е должината на страната на квадрат. Ова го дава изразот:^[4]

A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.

Во општ случај, зафатнината

V

на пирамидата е еднаква на една третина од плоштината на нејзината основа помножена со нејзината висина.^[6] Изразено во формула за квадратна пирамида, ова е:^[5]

V={\frac {1}{3}}l^{2}h.

Многу математичари ја откриле формулата за пресметување на зафатнината на квадратна пирамида во древно време. Во Московскиот математички папирус, египетските математичари покажале познавање на формулата за пресметување на зафатнината на пресечена квадратна пирамида, што претполага дека тие биле запознаени и со зафатнината на квадратна пирамида, но не е познато како е изведена формулата. Надвор од откривањето на зафатнината на квадратната пирамида, проблемот со наоѓање на наклонот и висината на квадратната пирамида може да се најде во Рајндскиот математички папирус.^[7] Вавилонските математичари исто така ја земале предвид зафатнината на пресечена квадратна пирамида, но дале неточна формула за тоа.^[8] Еден кинески математичар Лиу Хуи исто така ја открил зафатнината со методот на расчленување на правоаголно тело на делови.^[9]

Права квадратна пирамида

3Д модел на рамнострана квадратна пирамида

Ако сите триаголни рабови се со еднаква должина, четирите триаголници се рамнострани, а лицата на пирамидата се правилни многуаголници, таа е рамнострана квадратна пирамида.^[10] Диедарските агли помеѓу соседните триаголни лица се $\arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }$ , а помеѓу основата и секое триаголно лице е половина од тоа, $\arctan {\sqrt {2}}\approx 54.735^{\circ }$ .^[1] Конвексен полиедар со само правилни многуаголници како лица се нарекува Џонсоново тело, а рамнострана квадратна пирамида е првото Џонсоново тело, наброено како $J_{1}$ .^[11] Како и другите прави пирамиди со правилен многуаголник како основа, правата квадратна пирамида има пирамидална симетрија. За квадратната пирамида, ова е симетријата на цикличната група $C_{4\mathrm {v} }$ : пирамидата останува непроменлива со ротации од една, две и три четвртини од цело завртување околу нејзината оска на симетрија, линијата што го поврзува врвот со средиштето на основата. Исто така е огледално симетрична во однос на која било нормална рамнина што минува низ симетралата на основата.^[1] Може да се претстави како граф-тркало $W_{4}$ ; поопшто,граф-тракло $W_{n}$ е претставата на скелетот на $n$ -странична пирамида.^[12]

Бидејќи неговите рабови се сите еднакви по должина (т.е. $b=l$ ), неговата косина, висина, плоштина и зафатнина може да се изведат со замена на формулите на права квадратна пирамида: ^[13]

{\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}

Примени

Египетските пирамиди се примери на квадратни пирамидни градби во архитектурата.

Една од мезоамериканските пирамиди, слична градба со египетските, има рамен врв и скали по лицата.

Во архитектурата, пирамидите изградени во древниот Египет се примери на згради во облик на квадратни пирамиди.^[14] Пирамидолозите изнеле различни предлози за нацртот на Големата пирамида во Гиза, вклучително и теорија заснована на Кеплеровиот триаголник и златниот пресек. Меѓутоа, современите научници ги претпочитаат описите кои користат целобројни соодноси, бидејќи повеќе соодветствуваат со знаењето на египетската математика и сразмери.^[15] Мезоамериканските пирамиди се исто така древни пирамидални градби слични на египетските; тие се разликуваат по тоа што имаат рамни врвови и скали кои се качуваат по нивните лица.^[16] Модерните згради чии дизајни ги имитираат египетските пирамиди ги вклучуваат Луврската пирамида и казино хотелот Луксор Лас Вегас.^[17]

Во стереохемијата, атомскиот кластер може да има квадратна пирамидална геометрија. Квадратна пирамидална молекула има елемент од главната група со еден активен осамен пар, кој може да се опише со модел кој ја предвидува геометријата на молекулите познат како теорија на одбивност на електронски пар ^[18] Примери на молекули со оваа структура вклучуваат хлор пентафлуорид, бром пентафлуорид и јод пентафлуорид.^[19]

Тетракис хексаедар, конструкција на полиедри со зголемување на вклучените квадратни пирамиди

Основата на квадратна пирамида може да се прикачи на квадратна страна на друг полиедар за да се конструираат нови полиедри, пример за зголемување. На пример, тетракис хексаедар може да се конструира со прикачување на основата на рамнострана квадратна пирамида на секое лице на коцка.^[20] Прикачувањето на призми или антипризми на пирамидите е познато како издолжување или жироиздолжување, соодветно.^[21] Некои од другите Џонсонови тела може да се конструираат или со зголемување на квадратни пирамиди или со зголемување на други облици со квадратни пирамиди: издолжена квадратна пирамида $J_{8}$ , жироиздолжена квадратна пирамида $J_{10}$ , издолжена квадратна бипирамида $J_{15}$ , жироиздолжена квадратна бипирамида $J_{17}$ , зголемена триаголна призма $J_{49}$ , бизголемена триаголна призма $J_{50}$ , тризголемена триаголна призма $J_{51}$ , зголемена пентагонална призма $J_{52}$ , бизголемена пентагонална призма $J_{53}$ , зголемена шестоаголна призма $J_{54}$ , парабизголемена шестоаголна призма $J_{55}$ , метазголемена шестоаголна призма $J_{56}$ , тризголемена шестоаголна призма $J_{57}$ , и зголемена сфенокорона $J_{87}$ .^[22]

Поврзано

Квадратен пирамидален број - природен број кој го брои бројот на наредени сфери во квадратна пирамида.

Наводи

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Johnson (1966).
↑ Wohlleben (2019), стр. 485–486.
↑ Clissold (2020).
↑ ^4,0 ^4,1 Freitag (2014).
↑ ^5,0 ^5,1 Larcombe (1929).
↑ Alexander & Koeberlin (2014).
↑ Cromwell (1997).
↑ Eves (1997).
↑ Wagner (1979).
↑ Hocevar (1903).
↑ Uehara (2020).
↑ Pisanski & Servatius (2013).
↑ Simonson (2011), стр. 123; Berman (1971), see table IV, line 21.
↑ Kinsey, Moore & Prassidis (2011).
↑ Herz-Fischler (2000) surveys many alternative theories for this pyramid's shape. See Chapter 11, "Kepler triangle theory", pp. 80–91, for material specific to the Kepler triangle, and p. 166 for the conclusion that the Kepler triangle theory can be eliminated by the principle that "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." See note 3, p. 229, for the history of Kepler's work with this triangle. See Rossi (2004), pp. 67–68, quoting that "there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ... convergence to $\varphi$ , and $\varphi$ itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources"; see also extensive discussion of multiple alternative theories for the shape of the pyramid and other Egyptian architecture, pp. 7–56. See also Rossi & Tout (2002) and Markowsky (1992).
↑ Feder (2010), стр. 34; Takacs & Cline (2015), стр. 16.
↑ Jarvis & Naested (2012), стр. 172; Simonson (2011), стр. 122.
↑ Petrucci, Harwood & Herring (2002).
↑ Emeléus (1969).
↑ Demey & Smessaert (2017).
↑ Slobodan, Obradović & Ðukanović (2015).
↑ Rajwade (2001), pp. 84–89. See Table 12.3, where $P_{n}$ denotes the $n$ -sided prism and $A_{n}$ denotes the $n$ -sided antiprism.

Литература

Alexander, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014). Elementary Geometry for College Students (6th. изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-19569-8.
Berman, Martin (1971). „Regular-faced convex polyhedra“. Journal of the Franklin Institute. 291 (5): 329–352. doi:10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR 0290245.
Clissold, Caroline (2020). Maths 5–11: A Guide for Teachers. Taylor & Francis. ISBN 978-0-429-26907-3.
Cromwell, Peter R. (1997). Polyhedra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55432-9.
Demey, Lorenz; Smessaert, Hans (2017). „Logical and Geometrical Distance in Polyhedral Aristotelian Diagrams in Knowledge Representation“. Symmetry. 9 (10): 204. Bibcode:2017Symm....9..204D. doi:10.3390/sym9100204.
Emeléus, H. J. (1969). The Chemistry of Fluorine and Its Compounds. Academic Press. ISBN 978-1-4832-7304-4.
Eves, Howard (1997). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (3rd. изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-69609-6.
Feder, Kenneth L. (2010). Encyclopedia of Dubious Archaeology: From Atlantis to the Walam Olum: From Atlantis to the Walam Olum. ABC-CLIO. ISBN 978-0-313-37919-2.
Freitag, Mark A. (2014). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach. Brooks/Cole. ISBN 978-0-618-61008-2.
Herz-Fischler, Roger (2000). The Shape of the Great Pyramid. Wilfrid Laurier University Press. ISBN 0-88920-324-5.
Hocevar, Franx (1903). Solid Geometry. A. & C. Black.
Jarvis, Daniel; Naested, Irene (2012). Exploring the Math and Art Connection: Teaching and Learning Between the Lines. Brush Education. ISBN 978-1-55059-398-3.
Johnson, Norman W. (1966). „Convex polyhedra with regular faces“. Canadian Journal of Mathematics. 18: 169–200. doi:10.4153/cjm-1966-021-8. MR 0185507. S2CID 122006114. Zbl 0132.14603.
Kinsey, L. Christine; Moore, Teresa E.; Prassidis, Efstratios (2011). Geometry and Symmetry. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-49949-8.
Larcombe, H. J. (1929). Cambridge Intermediate Mathematics: Geometry Part II. Cambridge University Press.
Markowsky, George (1992). „Misconceptions about the Golden Ratio“ (PDF). The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 23 (1): 2–19. doi:10.2307/2686193. JSTOR 2686193. Посетено на 29 June 2012.
O'Keeffe, Michael; Hyde, Bruce G. (2020). Crystal Structures: Patterns and Symmetry. Dover Publications. ISBN 978-0-486-83654-6.
Perry, O. W.; Perry, J. (1981). Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-1-349-05230-1. ISBN 978-1-349-05230-1.
Petrucci, Ralph H.; Harwood, William S.; Herring, F. Geoffrey (2002). General Chemistry: Principles and Modern Applications. 1. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-014329-7.
Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013). Configuration from a Graphical Viewpoint. Springer. doi:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
Rajwade, A. R. (2001). Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. doi:10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
Rossi, Corinna (2004). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. стр. 67–68.
Rossi, Corinna; Tout, Christopher A. (2002). „Were the Fibonacci series and the Golden Section known in ancient Egypt?“. Historia Mathematica. 29 (2): 101–113. doi:10.1006/hmat.2001.2334. hdl:11311/997099.
Simonson, Shai (2011). Rediscovering Mathematics: You Do the Math. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-912-4.
Slobodan, Mišić; Obradović, Marija; Ðukanović, Gordana (2015). „Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms“ (PDF). Journal for Geometry and Graphics. 19 (1): 79–91.
Smith, James T. (2000). Methods of Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25183-6.
Takacs, Sarolta Anna; Cline, Eric H. (2015). The Ancient World. Routledge. стр. 16. ISBN 978-1-317-45839-5.
Uehara, Ryuhei (2020). Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry. Springer. doi:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID 220150682.
Wagner, Donald Blackmore (1979). „An early Chinese derivation of the volume of a pyramid: Liu Hui, third century A.D.“. Historia Mathematics. 6 (2): 164–188. doi:10.1016/0315-0860(79)90076-4.
Wohlleben, Eva (2019). „Duality in Non-Polyhedral Bodies Part I: Polyliner“. Во Cocchiarella, Luigi (уред.). ICGG 2018 – Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics: 40th Anniversary – Milan, Italy, August 3–7, 2018. International Conference on Geometry and Graphics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95588-9.

Надворешни врски

Weisstein, Eric W., "Square pyramid" ("Johnson solid") at MathWorld.
„Wheel graph“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)

Square Pyramid – Interactive Polyhedron Model
Virtual Reality Polyhedra georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra (VRML model)

[FOOTNOTEJohnson1966-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Johnson (1966).

[FOOTNOTEWohlleben2019[httpsbooksgooglecombooksidrEpjDwAAQBAJpgPA485_485–486]-2] Wohlleben (2019), стр. 485–486.

[FOOTNOTEClissold2020-3] Clissold (2020).

[FOOTNOTEFreitag2014-4] 4,0 ^4,1 Freitag (2014).

[FOOTNOTELarcombe1929-5] 5,0 ^5,1 Larcombe (1929).

[FOOTNOTEAlexanderKoeberlin2014-6] Alexander & Koeberlin (2014).

[FOOTNOTECromwell1997-7] Cromwell (1997).

[FOOTNOTEEves1997-8] Eves (1997).

[FOOTNOTEWagner1979-9] Wagner (1979).

[FOOTNOTEHocevar1903-10] Hocevar (1903).

[FOOTNOTEUehara2020-11] Uehara (2020).

[FOOTNOTEPisanskiServatius2013-12] Pisanski & Servatius (2013).

[FOOTNOTESimonson2011[httpsbooksgooglecombooksidWs6-DwAAQBAJpgPA123_123]Berman1971see_table_IV,_line_21-13] Simonson (2011), стр. 123; Berman (1971), see table IV, line 21.

[FOOTNOTEKinseyMoorePrassidis2011-14] Kinsey, Moore & Prassidis (2011).

[15] Herz-Fischler (2000) surveys many alternative theories for this pyramid's shape. See Chapter 11, "Kepler triangle theory", pp. 80–91, for material specific to the Kepler triangle, and p. 166 for the conclusion that the Kepler triangle theory can be eliminated by the principle that "A theory must correspond to a level of mathematics consistent with what was known to the ancient Egyptians." See note 3, p. 229, for the history of Kepler's work with this triangle. See Rossi (2004), pp. 67–68, quoting that "there is no direct evidence in any ancient Egyptian written mathematical source of any arithmetic calculation or geometrical construction which could be classified as the Golden Section ... convergence to $\varphi$ , and $\varphi$ itself as a number, do not fit with the extant Middle Kingdom mathematical sources"; see also extensive discussion of multiple alternative theories for the shape of the pyramid and other Egyptian architecture, pp. 7–56. See also Rossi & Tout (2002) and Markowsky (1992).

[FOOTNOTEFeder2010[httpsbooksgooglecombooksidRlRz2symkAsCpgPA34_34]TakacsCline2015[httpsbooksgooglecombooksidSPcvCgAAQBAJpgPA16_16]-16] Feder (2010), стр. 34; Takacs & Cline (2015), стр. 16.

[FOOTNOTEJarvisNaested2012[httpsbooksgooglecombooksidNWzsz8vioZwCpgPA172_172]Simonson2011[httpsbooksgooglecombooksidWs6-DwAAQBAJpgPA122_122]-17] Jarvis & Naested (2012), стр. 172; Simonson (2011), стр. 122.

[FOOTNOTEPetrucciHarwoodHerring2002-18] Petrucci, Harwood & Herring (2002).

[FOOTNOTEEmeléus1969-19] Emeléus (1969).

[FOOTNOTEDemeySmessaert2017-20] Demey & Smessaert (2017).

[FOOTNOTESlobodanObradovićÐukanović2015-21] Slobodan, Obradović & Ðukanović (2015).

[22] Rajwade (2001), pp. 84–89. See Table 12.3, where $P_{n}$ denotes the $n$ -sided prism and $A_{n}$ denotes the $n$ -sided antiprism.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

Квадратна пирамида

Тип	Пирамида, Џонсоново тело $J 92 - J 1 - J 2$
Страни	4 триаголници 1 квадрат
Рабови	8
Темиња	5
Темен распоред	$4\times (3^{2}\times 4)+1\times (3^{4})$ ^[1]
Симетриска група	$C_{4\mathrm {v} }$
Волумен	${\frac {1}{3}}l^{2}h$
Дуал	самодуален^[2]
Својства	конвексен
Мрежа