Лице (геометрија)

Лице, страна или ѕид — рамна површина (рамнинска област) што претставува дел од границата на тело.^[1] Тродимензионално тело ограничено исклучиво со лица е полиедар.

Во потехнички разгледувања на геометријата на полиедрите и повеќедимензионалните политопи, поимот исто така се користи за да значи елемент од која било димензија на поопшт политоп (во кој било број димензии).^[2]

Повеќеаголно лице

Во елементарната геометрија, лице е многуаголник^{[б 1]} на границата на многуедар.^[2]^[3] Други имиња за повеќеаголно лице се полиедарска страна и Евклидова рамна теселација.

На пример, кој било од шесте квадрати што врзуваат коцка е лице на коцката. Понекогаш „лицето“ се користи и за да се однесува на 2-димензионалните карактеристики на 4-политоп. Со ова значење, 4-димензионалниот тесеракт има 24 квадратни лица, од кои секое дели две од 8 кубни ќелии.

Редовни примери со Шлефлиевот симбол
Полиедар	Ѕвезден полиедар	Евклидова теселација	Хиперболична теселација	4-политоп
{4,3}	{5/2,5}	{4,4}	{4,5}	{4,3,3}
Коцката има 3 квадратни лица по теме.	Малиот ѕвезден додекаедар има 5 пентаграмски лица по теме.	Квадратната теселација во Евклидовата рамнина има 4 квадратни лица по теме.	Редот-5 квадратни теселации има 5 квадратни лица по теме.	Тесерактот има 3 квадратни лица по раб.

Број на повеќаголни лица на многуедар

Секоја површина на конвексен полиедар има Ојлерова карактеристика

V-E+F=2,

каде $V$ е бројот на темиња, $E$ е бројот на рабовите и $F$ е бројот на лица. Оваа равенка е позната како Ојлеровата полиедарска формула. Така, бројот на лица е за 2 повеќе од разликата на бројот на рабовите и бројот на темиња. На пример, една коцка има 12 рабови и 8 темиња, а оттука и 6 лица.

к -лице

Во повисокодимензионалната геометрија, лицата на политопот се одлики од сите димензии.^[2]^[4] Лицето со димензија $k$ се нарекува $k$ -лице. На пример, повеќеаголните лица на обичен полиедар се со 2-лица. Во теоријата на множествата, множеството лица на политоп го вклучува самиот политоп и празното множество, каде што празното множество е за конзистентност со „димензија“ од -1. За кој било $n$ -политоп ( $n$ -димензионален политоп), $-1 \leq k \leq n$ .

На пример, со ова значење, лицата на коцката ја сочинуваат самата коцка (3-лица), нејзините (квадратни) аспекти (2-лица), нејзините (линиски сегмент) рабови (1-лица), нејзините (точка) темиња (0-лица), и празното множество.

Во некои области на математиката, како што е полиедарската комбинаторика, политопот е по дефиниција конвексен. Формално, лице на политоп $P$ е пресекот на $P$ со кој било затворен полупростор чија граница не е поврзана со внатрешноста на $P$ .^[5] Од оваа дефиниција произлегува дека множеството лица на политоп ги опфаќа самиот политоп и празното множество.^[6] ^[4]

Во други области на математиката, како што се теориите за апстрактни политопи и ѕвездести политопи, барањето за конвексност е олабавено. Апстрактната теорија сè уште бара множеството лица да го вклучува самиот политоп и празното множество.

$n$ -димензионален симплекс (линиска отсечка ( $n = 1$ ), триаголник ( $n = 2$ ), тетраедар ( $n = 3$ ) итн.), дефиниран со $n + 1$ темиња, има лице за секое подмножество темиња, од празното поставено до множеството од сите темиња. Конкретно, има вкупно $2 n + 1$ лица. Бројот на нив што се $k$ -лица, за k ∈ М {−1, 0, ..., n}, е биномниот коефициент ${\binom {n+1}{k+1}}$ .

Постојат специфични имиња за $k$ -лицата во зависност од вредноста на $k$ и, во некои случаи, од тоа колку $k$ е блиску до димензионалноста $n$ на политопот.

Теме или 0-лице

Теме е вообичаено име за 0-лице.

Раб или 1-лице

Раб е вообичаено име за 1-лице.

Лице или 2-лице

Употребата на лице во контекст каде што специфичното $k$ е наменето за $k$ -лице, но не е експлицитно специфицирано, најчесто е 2-лице.

Ќелија или 3-лице

Ќелија е полиедарски елемент (3-лице) од 4-димензионален политоп или 3-димензионален тесел или повисок. Ќелиите се аспекти за 4-политопи и 3-саќе.

Правилни примери со Шлефлиевиот симбол
4-политопи		3-саќе
{4,3,3}	{5,3,3}	{4,3,4}	{5,3,4}
Тесерактот има 3 кубни ќелии (3 лица) по раб.	120-ќелијата има 3 додекаедарни ќелии (3 лица) по раб.	Кубното саќе го пополнува Евклидовиот 3-простор со коцки, со 4 ќелии (3-лица) по раб.	Додекаедарното саќе од 4. ред го исполнува 3-димензионалниот хиперболичен простор со додекаедри, 4 ќелии (3-лица) по раб.

Хиперлице или (n − 1)-лице

Во повисокодимензионалната геометрија, хиперлицата на $n$ -политопот се ( $n - 1$ ) лицата (лице со димензија за еден помало од самиот политоп).^[7] Политопот е ограничен со неговите хиперлица.

На пример:

Хиперлицата на отсечката се нејзините 0-лица или темиња .
Хиперлицата на многуаголникот се неговите 1-лица или рабови .
Хиперлицата на полиедар или рамна поплочка се неговите 2-лица.
Хиперлицата на 4Д политоп или 3-саќе се неговите 3-лица или ќелии.
Хиперлицата на 5Д политоп или 4-саќе се неговите 4-лица.

Гребен или (n − 2)-лице

Во сродната терминологија, ( $n - 2$ )-лицата на $n$ -политопот се нарекуваат гребени (исто така подхиперлица).^[8] Гребенот се гледа како граница помеѓу точно две хиперлица на политоп или саќе.

На пример:

Гребените на 2D полигон или 1D поплочка се неговите 0-лица или темиња .
Гребените на 3D полиедар или рамни плочки се неговите 1-лици или рабови .
Гребените на 4Д политоп или 3-саќе се негови 2 лица или едноставно лица .
Гребените на 5Д политоп или 4-саќе се неговите 3 лица или ќелии .

Врв или (n − 3)-лице

( $n - 3$ )-лицата на $n$ -политоп се нарекуваат врвови. Врвот содржи ротациона оска од хиперлица и гребени во обичен политоп или саќе.

На пример:

Врвовите на 3Д полиедар или рамна поплочка се неговите 0-лица или темиња .
Врвовите на 4Д политоп или 3-саќе се неговите 1-лица или рабови.
Врвовите на 5Д политоп или 4-саќе се неговите 2-лица или едноставно лица.

Белешки

↑ Некои други многуаголници, кои не се лица, се исто така важни за полиедарите и теселациите. Тие вклучуваат Петриеви полигони, темени фигури и хиперлица(рамни многуаголници образувани од компланарни темиња кои не лежат во истото лице на полиедарот).

Наводи

↑ Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (Eleventh. изд.). Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.
↑ Cromwell, Peter R. (1999), Polyhedra, Cambridge University Press, стр. 13, ISBN 9780521664059.
↑ ^4,0 ^4,1 Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657.
↑ Matoušek (2002) and Ziegler (1995) use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting $P$ with either a hyperplane disjoint from the interior of $P$ or the whole space.
↑ Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 221 (2nd. изд.), Springer, стр. 17.
↑ Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17.
↑ Matoušek (2002), p. 87; Ziegler (1995), p. 71.

[3] Некои други многуаголници, кои не се лица, се исто така важни за полиедарите и теселациите. Тие вклучуваат Петриеви полигони, темени фигури и хиперлица(рамни многуаголници образувани од компланарни темиња кои не лежат во истото лице на полиедарот).

[1] Merriam-Webster's Collegiate Dictionary (Eleventh. изд.). Springfield, MA: Merriam-Webster. 2004.

[m-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Matoušek, Jiří (2002), Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, ISBN 9780387953748.

[4] Cromwell, Peter R. (1999), Polyhedra, Cambridge University Press, стр. 13, ISBN 9780521664059.

[z-5] 4,0 ^4,1 Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, ISBN 9780387943657.

[6] Matoušek (2002) and Ziegler (1995) use a slightly different but equivalent definition, which amounts to intersecting $P$ with either a hyperplane disjoint from the interior of $P$ or the whole space.

[g-7] Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, 221 (2nd. изд.), Springer, стр. 17.

[8] Matoušek (2002), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17.

[9] Matoušek (2002), p. 87; Ziegler (1995), p. 71.

[1]

[2]

[б 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]