Златен пресек

Во математиката две величини се во златниот однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините a и b и a > b > 0,

Златен пресек (φ)

Отсечки во златен пресек
Записи
Десетично	1,618033988749894...
Алгебарски облик	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$
Верижна дропка	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}$
Двоично	1,10011110001101110111...
Шеснаесетеречно	1,9E3779B97F4A7C15...

Златниот правоаголник (во розова боја) со подолгата страна a и пократката страна b, кога е поставена во прилог на квадратот на должината а, произведува геометриска сличност на златниот правоаголник со подолгата страна a + b и пократката страна a. Ова го илустрира односот на ${\displaystyle }$.

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi ,$

грчката буква фи ($\varphi$ ili $\phi$) е константна. Неговата вредност е:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,6180339887\ldots .$

Златниот однос се нарекува и  златен пресек (латински: sectio aurea).. Други имиња вклучуваат екстремен однос, среден пресек, златен сразмер, златен број. божествен пресек. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек“.

Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи phyllotaxis (спирално сортирање листови) и други делови на растенија.

Математичарите уште во времето на Евклид ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.

Пресметка

Две величини a и b се во златниот однос φ ако

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .$

Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,

${\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.$

Затоа,

$1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .$

Множење со φ дава

$\varphi +1=\varphi ^{2}$

што може да се изрази како

${\varphi }^{2}-\varphi -1=0.$

Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,61803\,39887\dots$

и

$\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0,6180\,339887\dots$

Бидејќи φ е однос меѓу двете позитивни вредности  φ е секогаш позитивна вредност:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1,61803\,39887\dots$ .

Алгебра

Ирационалнот

Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:

Контрадикција на израз во најниска вредност

Ако φ е рационален број, тогаш би бил размер на страните на правоаголници со цели страни (правоаголник што опфаќа цел дијаграм). Но, исто така, би бил и односна целобројните страни на помалиот правоаголник, (на десната страна на дијаграмот) добиени со бришење на квадратот. Редоследот на намалувањето на целобројните вредности на должината на страната е формирана со бришење на квадратот и не може да трае вечно, бидејќи имаат долна граница, затоа, φ не може да биде рационален.

Да се потсетиме дека:

целината е подолг дел плус пократок дел;

целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.

Ако некој број се нарекува n а подолгиот дел m, тогаш втората изјава станува:

n спроти m , исто како што и m спроти n − m,

или, во алгебрата:

${\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)$

Да се каже дека φ е рационално значи дека φ односите n/m каде n и m се integers. Ние може да се каже дека n/m имаат најниски вредности, и дека n и m се позитивни броеви. Но, ако дел n/m ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (*) до врвот равенката m/(n − m), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека φ е рационално.

Извод од ирационалноста на бројот √5

Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако ${\displaystyle }$ е рационално, и ${\displaystyle }$ е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.

Најмал полином

Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:

$x^{2}-x-1.$

Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.

Роднина на златниот пресек

Други корени од најмалите полиноми x -² - x - 1

$-{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .$

Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0.618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b/a), е понекогаш познат под името роднина на златниот пресек. Се означува со голема буква Фи ($\Phi$):

$\Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .$

Поврзано

• Златен правоаголник
• Сребрен пресек