Брамагуптина формула

Брамагуптина формула — формула која се користи за да се најде плоштината на кој било тетивен четириаголник (оној чии темиња лежат на една кружница) преку на должините на неговите страни. Воопштената верзија на оваа формула (Бретшнајдеровата формула) може да се користи со нететивни четириаголници.

Хероновата формула може да се смета како потслучај на Брамагуптината формула.

Формула

Оваа формула ја дава плоштината $K$ на тетивен четириаголник чии страни имаат должина $a$ , $b$ , $c$ , $d$ како

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

каде што $s$ , полупериметарот, е дефиниран со

s={\frac {a+b+c+d}{2}}.

Оваа формула ја обопштува Хероновата формула за плоштина на триаголник. Триаголникот може да се смета како четириаголник кај кој една страна има должина нула. Од оваа перспектива, кога $d$ се приближува кон нула, тетивниот четириаголник конвергира кон тетивен триаголник (сите триаголници се тетивени), а Брамагуптината формула се поедноставува со Хероновата формула.

Ако полупериметарот не се користи, Брамагуптината формула е

K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.

Друга еквивалентна верзија е

K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot

Доказ

Дијаграм за референца

Тригонометриски доказ

Овде се користат ознаките на сликата десно. Плоштината $K$ на тетивниот четириаголник е еднаква на збирот на плоштините од $△ ADB$ и $△ BDC$ :

K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.

Но, бидејќи $□ABCD$ е тетивен четириаголник, $∠ DAB = 180° - ∠ DCB$ . Оттука $sin A = sin C$ . Затоа,

K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A

K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A

4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)

(користејќи го тригонометрискиот идентитет )

Решавајќи ја равенката по заедничката страна $DB$ , во $△ ADB$ и $△ BDC$ , косинусната теорема дава

p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.

Заменувајќи $cos C = -cos A$ (бидејќи аглите $A$ и $C$ се суплементарни ) и преуредувајќи ја равенката, имаме

2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.

Заменувајќи го ова во равенката за плоштината, се добива

4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}

16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.

Десната страна има облик $a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)$ и затоа равенката може да се запише како

[2(pq+rs))-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]

која после преуредување на членовите во квадратните загради станува

16K^{2}=[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]

Последниот израз може да се разложи на множители

16K^{2}=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).

Со воведување на полупериметарот $S = p + q + r + s 2$ , имаме

16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).

Земајќи го квадратниот корен, добиваме

K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.

Нетригонометриски доказ

Постои алтернативен, нетригонометриски доказ во кој се користат две примени на формулата за плоштина на триаголник на Херон на слични триаголници.^[1]

Проширување на нециклични четириаголници

Во случај на нететивни четириаголници, Брамагуптината формула може да се прошири со разгледување на мерките на два спротивни агла на четириаголникот:

каде $θ$ е половина од збирот на кои било два спротивни агла. (Изборот на парот од противположни агли е нерелевантен: ако се земат другите два агли, половина од нивниот збир е $180° - θ$ . Бидејќи $cos(180° - θ) = -cos θ$ , имаме $cos 2 (180° - θ) = cos 2 θ$ .) Оваа поопшта формула е позната како Бретшнајдерова формула .

Тоа е својство на тетивните четириаголници (и на крајот, на впишаните агли ) дека збирот на два спротивни агла на четириаголник е 180°. Следствено, во случај на впишан четириаголник, $θ$ е 90°, од каде членот

abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,

и се добива основната форма на Брамагуптината формула. Од последната равенка произлегува дека плоштината на тетивниот четириаголник е максималната можна плоштина за кој било четириаголник со дадени должини на страните.

Поврзана формула, која била докажана од Кулиџ, исто така ја дава плоштината на општ конвексен четириаголник. Таа гласи ^[2]

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}

каде што $p$ и $q$ се должините на дијагоналите на четириаголникот. Во тетивен четириаголник, $pq = ac + bd$ според Птоломејовата теорема, а Кулиџоцата формула се сведува на Брамагуптината формула.

Поврзани теореми

Хероновата формула за плоштина на триаголник е посебен случај добиен со земањедека $d = 0$ .
Односот помеѓу општата и проширената форма на Брамагуптината формула е сличен на начинот на косинусната теорема ја проширува Питагоровата теорема .
Постојат сè повеќе комплицирани формули со затворена форма за областа на општите многуаголници на круговите, како што е опишано од Mејли и соработниците.^[3]

Наводи

↑ Hess, Albrecht, "A highway from Heron to Brahmagupta", Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.
↑ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.
↑ Maley, F. Miller; Robbins, David P.; Roskies, Julie (2005). „On the areas of cyclic and semicyclic polygons“. Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 669–689. arXiv:math/0407300. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008.

Надворешни врски

[1] Hess, Albrecht, "A highway from Heron to Brahmagupta", Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.

[2] J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.

[3] Maley, F. Miller; Robbins, David P.; Roskies, Julie (2005). „On the areas of cyclic and semicyclic polygons“. Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 669–689. arXiv:math/0407300. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008.

[1]

[2]

[3]