Тејлорова формула

Во математиката, Тејлоровата формула позната уште и како развој на Тејлор (Taylor, Brook, 1685-1731 - англиски математичар), израз со помош на кој може да се изврши апроксимација (проценка) на некоја функција на даден интервал. Апроксимацијата се задава како конечна сума од полиноми составена од изрази при што секој собирок од сумата зависи од некој извод на почетната функција. Доколку сумирањето продолжи до бесконечност - тогаш добиениот развој (т.е. веќе - ред) ја дава точната проценка на функцијата (наместо приближната при конечните суми!). За ова во математиката се користи терминот: разложување во тејлоров ред.

Статии поврзани со математичката анализа

Основна теорема на анализата Лимес на функција Непрекинатост Векторска анализа Теорија на редови Теорија на низи Тензорско сметање

Диференцијално сметање

Извод од производ Извод од количник Извод на сложена функција Извод на имплицитна функција Формула на Тејлор Теореми за средна вредност

Интегрално сметање

Таблица на основни интеграли Несвојствен интеграл

Методи на интегрирање

Интегрирање по делови Интегрирање со смена Ојлерови смени Тригонометриски смени Портал: Математика

Формална дефиниција

Прво ќе го дадеме тејлоровиот рзавој за функции од една реална променлива. Нека $\ [p,q]$ е интервал и нека функцијата $\ f$ е дефинирана на тој интервал и нека е барем $\ n+1$ пати диференцијабилна на тој интервал. Тогаш во точката $\ x\in [p,q]$ таа функција може да се апроксимира, т.е. процени како:

$f(x)=$
$f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n+1}(x)$

каде $\ f^{\prime }(a),...,f^{(n)}(a)$ се соодветните изводите на функцијата во произволна точка $\ a\in [p,q]$, додека членот $R_{n+1}$ се нарекува остаток и може да се зададе во една од следниве три (еквивалентни) форми:

$R_{n+1}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1},\,\,\ \xi \in [p,q]$

$R_{n+1}={\frac {f^{(n+1)}(a+(x-a)\theta )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1},\,\,\ \theta \in [0,1]$

$R_{n+1}=-{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}f^{(n+1)}(t)\cdot t^{n}\,dt$

Значењето на тејлоровиот развој на функцијата е следново: нека $\ f(x)$ е функција која има тејлоров развој како погорниот и нека избереме конечен број собироци (полиноми) од редот - на пример првите $\ n$ полиноми - и нека дефинираме полиномна функција $\ g(x)$ која е претставена со тие полиноми. Имајќи го предвид горниот равој, таа функција би изгледала:

$g(x)=f(a)+{\frac {f^{\prime }(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Тогаш во непосредна околина на точката $\ a$ функциите би имале исти својства, т.е. би можело да се рече дека функцијата $\ g(x)$ ќе ја „имитира“ (апроксимира) $\ f(x)$ во поглед на својствата, па дури и графикот. Колку повеќе собироци земеме од развојот - толку ќе биде поширока околината на која $\ g$ ќе ја апроксимира $\ f$, но и апроксимацијата ќе биде подобра (поточна). Идеално, ако функцијата е бесконечен број пати диференцијабилна на интервалот и ако ги земеме сите членови на развојот, т.е. ако допуштиме $\ n\to \infty$, тогаш добиваме дека функцијата може да се разложи во степенски ред:

$\ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Ако во формулата на Тејлор ставиме $\ a=0$, тогаш го добиваме редот на Меклорин (Maclaurin, Colin, 1698-1746 - шкотски математичар) за функцијата $\ f$ кој гласи:

$f(x)=f(0)+{\frac {f^{\prime }(0)}{1!}}x+{\frac {f^{\prime \prime }(0)}{2!}}x^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}+R_{n+1}(x)$

и според функција и својствата е ист како и тејлоровиот.

Тејлоров развој на некои функции

Ќе го дадеме тејлоровиот развој на неколку основни функции.

Со растење на степенот во тејлоровата формула, апроксимацијата се приближува до точната функција. Сликата ја покажува функцијата $\sin x$ и тејлоровите апроксимации со полиноми до 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13 степен (т.е. член од развојот).

• Експоненцијална функција:

${\mbox{e}}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...$

${\displaystyle }$

• Тригонометриски функции:

${\mbox{sin}}x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots$

${\mbox{cos}}x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots$

${\mbox{arcsin}}x=x+\sum _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot ...\cdot (2n)}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\right]$

• Степенска функција:

$(1+x)^{p}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {p}{n}}x^{n}=1+{\binom {p}{1}}x+{\binom {p}{2}}+...$

каде: ${\binom {p}{k}}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!}}$ и каде $|x|<1$

• Логатирамска функција:

${\mbox{ln}}(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$ каде $|x|<1$

${\displaystyle }$

Тејлорова формула за функции од повеќе променливи

Нека $\ f$ реална функција од повеќе променливи која е дефинирана на отвореното множество $\ A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ и нека $\ [a,a+h]\subseteq A$ е произволен n-сегмент и нека функцијата е (n+1)-пати диференцијабилна на сегментот. Тогаш важи:

$f(a+h)=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k!}}\left(h_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+h_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}+\cdots +h_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{k}f(a)+R_{n+1}(a,h)$

каде:

$R_{n+1}(a,h)={\frac {1}{(n+1)!}}\left(h_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+h_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}+\cdots +h_{n}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)^{n+1}f(a+\theta h)$

$h=\left(h_{1},h_{2},...,h_{n}\right),\theta \in (0,1)$