Гранична вредност на функција (лимес ) — еден од основните и најважни поими кај математичките функции . Иако неговите концептуални основи лежат во доменот на математичката анализа , поимот гранична вредност е мошне битен и во останатите математички дисциплини.
Почесто наместо изразот гранична вредност на функција се користи изразот лимес на функција , од лат. limes - граница. Двата поима се еквивалентни и подеднакво прифатени во македонската математичка терминологија . Поретко се среќава изразот граница .
При проучувањето на граничните вредности на функциите во некоја рака се работи приближно . Ова не значи дека резултатите кои се добиваат се приближни, туку дека точниот резултат се добива како своевидна математичка последица на мноштво приближни вредности. Ова никако не треба да се меша со теоријата на веројатност !
На пример, да ја разгледаме функцијата
f
(
x
)
=
1
x
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}}
x ) расте. Така:
x
f(x)
1
1
2
0,25
5
0,04
10
0,01
300
0,00001
1.000.000
0,00000000001
Од табелата јасно може да се забележи дека со растење на аргументот, вредноста на функцијата сѐ повеќе се приближува до нула. Имајќи ги на ум сите можни вакви проценки, може да заклучиме дека ако аргументот неограничено расте , т.е. математички кажано - тежи (се стреми) кон бесконечност , тогаш вредноста на функцијата се стреми кон нула, но никогаш за никоја вредност на аргументот нема да биде точно нула. Во тој случај пак се вели дека нулата е гранична вредност на функцијата кога аргументот тежи кон бесконечност.
уреди
Кошиевата , ε-δ дефиниција на граничната вредност на функција е следнава: нека
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
x
0
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x_{0}\in [a,b]}
f
:
[
a
,
b
]
∖
{
x
0
}
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} }
A
{\displaystyle A}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta }
следи дека важи:
|
f
(
x
)
−
A
|
<
ϵ
{\displaystyle \left|f(x)-A\right|<\epsilon }
под услов
x
∈
[
a
,
b
]
∖
{
x
0
}
{\displaystyle x\in [a,b]\setminus \{x_{0}\}}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
A
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=A}
Ако функцијата е непрекината во точката
x
0
{\displaystyle x_{0}}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}
Ова не мора да важи ако функцијата не е непрекината.
Постојат две секундарни дефиниции на лимесот на функција (од кои второнаведената е всушност критериум за постоење на лимесот):
со околини: нека
P
{\displaystyle P}
x
0
∈
P
{\displaystyle x_{0}\in P}
f
:
[
a
,
b
]
∖
{
x
0
}
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} }
L
{\displaystyle L}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
U
{\displaystyle U}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
f
(
U
∩
(
P
∖
{
x
0
}
)
)
⊆
V
{\displaystyle f\left(U\cap \left(P\setminus \{x_{0}\}\right)\right)\subseteq V}
со низи : нека
P
{\displaystyle P}
x
0
∈
P
{\displaystyle x_{0}\in P}
f
:
[
a
,
b
]
∖
{
x
0
}
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} }
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
P
∖
{
x
0
}
{\displaystyle P\setminus \{x_{0}\}}
lim
x
→
∞
x
n
=
x
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x_{n}=x_{0}}
следи:
lim
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x_{0})}
Граничната вредност, доколку постои е еднозначно определена (единствена) и, во поглед на операциите, е прилично „флексибилна“. Точни се равенствата:
lim
x
→
x
0
(
k
⋅
f
(
x
)
)
=
k
⋅
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
,
k
∈
R
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(k\cdot f(x))=k\cdot \lim _{x\to x_{0}}f(x),\,\,\ k\in \mathbb {R} }
lim
x
→
x
0
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
±
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\pm \lim _{x\to x_{0}}g(x)}
lim
x
→
x
0
(
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
)
=
[
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
]
⋅
[
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
]
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=\left[\lim _{x\to x_{0}}f(x)\right]\cdot \left[\lim _{x\to x_{0}}g(x)\right]}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
,
g
(
x
)
≠
0
,
(
∀
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim _{x\to x_{0}}f(x)}{\lim _{x\to x_{0}}g(x)}},\,\,\ g(x)\neq 0,\,\,\ (\forall x)}
под услов да постои десната страна од секое од овие три равенства.
При одредени услови, заради полесно пресметување на лимесот, може да се воведе нова променлива, т.е. да се изврши смена на променливите. Формално:
Нека
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
[
c
,
d
]
{\displaystyle [c,d]}
x
0
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x_{0}\in [a,b]}
t
0
∈
[
c
,
d
]
{\displaystyle t_{0}\in [c,d]}
f
:
[
a
,
b
]
∖
{
x
0
}
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} }
h
:
[
c
,
d
]
∖
{
t
0
}
→
[
a
,
b
]
∖
{
x
0
}
{\displaystyle h:[c,d]\setminus \{t_{0}\}\to [a,b]\setminus \{x_{0}\}}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}
lim
t
→
t
0
h
(
t
)
=
x
0
{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}h(t)=x_{0}}
тогаш важи:
lim
t
→
t
0
f
(
h
(
t
)
)
=
L
{\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}f(h(t))=L}
уреди
Не постои строг критериум според кој се пресметува лимесот, но постапката треба да е таква што на крајот, почетниот лимес треба да се доведе до лимес чија вредност е позната или очигледна. Сите меѓучекори се сведуваат на математичка манипулација на изразот, наведените својства, некои правила и, многу често, употреба на трикови. Кон пресметување на лимесот според дефиниција се пристапува многу ретко. Најчесто од интерес е да се испитува граничната вредност во точките во кои функцијата не е непрекината , бидејќи лимесот на функција во точка во која таа е непрекината е еднаков на вредноста на функцијата во таа точка.
Следниве неколку лимеси се сметаат за „познати “ при пресметувањето. Нивната вредност е дадена без доказ.
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}=1}
lim
x
→
0
x
sin
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin {x}}}=1}
lim
x
→
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\mbox{e}}}
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
1
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}={\mbox{e}}}
lim
x
→
0
ln
(
1
+
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\mbox{ln}}(1+x)}{x}}=1}
lim
x
→
0
a
x
−
1
x
=
ln
a
,
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\mbox{ln}}a,\,\,\ a>0,a\neq 1}
специјално, ако
a
=
e
{\displaystyle a={\mbox{e}}}
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\mbox{e}}^{x}-1}{x}}=1}
lim
x
→
0
(
1
+
x
)
k
−
1
x
=
k
,
k
∈
R
,
k
≠
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {(1+x)^{k}-1}{x}}=k,\,\,\ k\in \mathbb {R} ,k\neq 0}
Уште една важна и мошне корисна алатка при пресметувањето лимеси е правилото на Лопитал (Guillaume François Antoine de l'Hôpital). Неформално, правилото е следново: ако при пресметување на лимес од количник на функции ( f и g ) се добива неопределен израз:
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}}
±
∞
±
∞
{\displaystyle {\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}}
изводите на функциите и важи:
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
lim
x
→
x
0
f
″
(
x
)
g
″
(
x
)
=
.
.
.
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f''(x)}{g''(x)}}=...}
Пример 1: да се пресмета:
lim
x
→
a
x
2
−
a
2
x
−
1
−
a
−
1
,
a
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{{\sqrt {x-1}}-{\sqrt {a-1}}}},\,\,\ a>1}
Ако „замениме“ x=a се добива неопределен израз од видот
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}}
lim
x
→
a
x
2
−
a
2
x
−
1
−
a
−
1
⋅
x
−
1
+
a
−
1
x
−
1
+
a
−
1
=
lim
x
→
a
(
x
2
−
a
2
)
(
x
−
1
+
a
−
1
)
x
−
1
−
a
+
1
=
{\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {x^{2}-a^{2}}{{\sqrt {x-1}}-{\sqrt {a-1}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}}{{\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}}}=\lim _{x\to a}{\frac {(x^{2}-a^{2})\left({\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}\right)}{x-1-a+1}}=}
=
lim
x
→
a
(
x
−
a
)
(
x
+
a
)
(
x
−
1
+
a
−
1
)
x
−
a
=
lim
x
→
a
[
(
x
+
a
)
(
x
−
1
+
a
−
1
)
]
=
4
a
a
−
1
{\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {(x-a)(x+a)\left({\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}\right)}{x-a}}=\lim _{x\to a}\left[(x+a)\left({\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}\right)\right]=4a{\sqrt {a-1}}}
Пример 2: да се пресмета:
lim
x
→
∞
x
e
−
x
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x{\mbox{e}}^{-x}}
Изразот е неопределен, од типот:
0
⋅
∞
{\displaystyle 0\cdot \infty }
lim
x
→
∞
x
e
−
x
=
lim
x
→
∞
x
e
x
=
lim
x
→
∞
(
x
)
′
(
e
x
)
′
=
lim
x
→
∞
1
e
x
=
1
lim
x
→
∞
e
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x{\mbox{e}}^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{{\mbox{e}}^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {(x)'}{\left({\mbox{e}}^{x}\right)'}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{{\mbox{e}}^{x}}}={\frac {1}{\lim _{x\to \infty }{\mbox{e}}^{x}}}=0}
Пример 3: да се пресмета:
lim
x
→
0
cos
x
x
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}}
Овде ќе дадеме еден класичен трик при пресметувањето на лимесите; имено ќе го употребиме равенството:
x
=
e
ln
x
{\displaystyle x={\mbox{e}}^{\ln {x}}}
запишано поинаку:
x
=
exp
ln
x
{\displaystyle x=\exp {\ln {x}}}
Тогаш:
cos
x
x
2
=
(
cos
x
)
1
x
2
=
exp
[
ln
(
cos
x
)
1
x
2
]
=
exp
[
1
x
2
ln
cos
x
]
=
exp
ln
cos
x
x
2
{\displaystyle {\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}=\left(\cos {x}\right)^{\frac {1}{x^{2}}}=\exp {\left[\ln {\left(\cos {x}\right)^{\frac {1}{x^{2}}}}\right]}=\exp {\left[{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\cos {x}}\right]}=\exp {\frac {\ln {\cos {x}}}{x^{2}}}}
Имајќи предвид дека функцијата
exp
x
=
e
x
{\displaystyle \exp {x}={\mbox{e}}^{x}}
L
=
lim
x
→
0
cos
x
x
2
=
lim
x
→
0
exp
ln
cos
x
x
2
=
lim
x
→
0
exp
ln
(
1
+
cos
x
−
1
)
x
2
=
{\displaystyle L=\lim _{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}=\lim _{x\to 0}\exp {\frac {\ln {\cos {x}}}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}\exp {\frac {\ln {(1+\cos {x}-1)}}{x^{2}}}=}
=
lim
x
→
0
exp
[
ln
[
1
+
(
cos
x
−
1
)
]
x
2
⋅
cos
x
−
1
cos
x
−
1
]
=
lim
x
→
0
exp
[
ln
[
1
+
(
cos
x
−
1
)
]
cos
x
−
1
⋅
cos
x
−
1
x
2
]
=
{\displaystyle =\lim _{x\to 0}\exp {\left[{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{x^{2}}}\cdot {\frac {\cos {x}-1}{\cos {x}-1}}\right]}=\lim _{x\to 0}\exp {\left[{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{\cos {x}-1}}\cdot {\frac {\cos {x}-1}{x^{2}}}\right]}=}
=
exp
[
lim
x
→
0
ln
[
1
+
(
cos
x
−
1
)
]
cos
x
−
1
⋅
lim
x
→
0
cos
x
−
1
x
2
]
{\displaystyle =\exp {\left[\lim _{x\to 0}{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{\cos {x}-1}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {\cos {x}-1}{x^{2}}}\right]}}
Во првиот лимес ставаме смена:
t
=
cos
x
−
1
{\displaystyle t=\cos {x}-1}
t
→
0
{\displaystyle t\to 0}
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
тригонометрискиот идентитет :
2
sin
2
x
2
=
1
−
cos
x
{\displaystyle 2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}=1-\cos {x}}
cos
x
−
1
=
−
2
sin
2
x
2
{\displaystyle \cos {x}-1=-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}
Така следи:
L
=
exp
[
lim
t
→
0
ln
(
1
+
t
)
t
⋅
lim
x
→
0
−
2
sin
2
x
2
x
2
]
{\displaystyle L=\exp {\left[\lim _{t\to 0}{\frac {\ln {(1+t)}}{t}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{x^{2}}}\right]}}
Првиот лимес е единица , имајќи го предвид петтиот лимес наведен кај позначајните лимеси . Значи се добива:
L
=
exp
[
1
⋅
lim
x
→
0
−
2
sin
2
x
2
x
2
]
=
exp
[
(
−
2
)
⋅
lim
x
→
0
sin
2
x
2
4
x
2
4
]
=
exp
[
−
1
2
⋅
lim
x
→
0
(
sin
x
2
x
2
)
2
]
=
{\displaystyle L=\exp {\left[1\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{x^{2}}}\right]}=\exp {\left[(-2)\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\frac {4x^{2}}{4}}}\right]}=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}\right]}=}
=
exp
[
−
1
2
⋅
(
lim
x
→
0
sin
x
2
x
2
)
2
]
{\displaystyle =\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \left(\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}\right]}}
Ставаме смена:
u
=
x
2
{\displaystyle u={\frac {x}{2}}}
u
→
0
{\displaystyle u\to 0}
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
L
=
exp
[
−
1
2
⋅
(
lim
u
→
0
sin
u
u
)
2
]
=
exp
[
−
1
2
⋅
1
2
]
=
exp
(
−
1
2
)
=
e
−
1
/
2
{\displaystyle L=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \left(\lim _{u\to 0}{\frac {\sin {u}}{u}}\right)^{2}\right]}=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot 1^{2}\right]}=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\mbox{e}}^{-1/2}}
Значи:
lim
x
→
0
cos
x
x
2
=
e
−
1
/
2
=
1
e
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}={\mbox{e}}^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {\mbox{e}}}}}
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle x_{0}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06636653315ee7c3b5dc9bdb6ac3fb8cccadc145)
![{\displaystyle f:[a,b]\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc347792f97be494d794d2507b0b5e5a6f4a6ad)
![{\displaystyle x\in [a,b]\setminus \{x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8556431ecffd5844bd02893a3fb137ee8536d0c1)
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=\left[\lim _{x\to x_{0}}f(x)\right]\cdot \left[\lim _{x\to x_{0}}g(x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4198ca5306db17360087b931af11a81545a23b78)
![{\displaystyle [c,d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85b3b21d6d891d97f85e263d394e3c90287586f)
![{\displaystyle t_{0}\in [c,d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce76b41c2b096fed7e33c12d0cd09dc7b4431a7)
![{\displaystyle h:[c,d]\setminus \{t_{0}\}\to [a,b]\setminus \{x_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9738fb34a17aebe5c2ebf74f75148b63ef15f69)
![{\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {(x-a)(x+a)\left({\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}\right)}{x-a}}=\lim _{x\to a}\left[(x+a)\left({\sqrt {x-1}}+{\sqrt {a-1}}\right)\right]=4a{\sqrt {a-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be5f1e489fdd47ba650a7ece42ee62f67572e4d)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb957aeaa805684142ad88ae341a6b81f3d2858)
![{\displaystyle {\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}=\left(\cos {x}\right)^{\frac {1}{x^{2}}}=\exp {\left[\ln {\left(\cos {x}\right)^{\frac {1}{x^{2}}}}\right]}=\exp {\left[{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\cos {x}}\right]}=\exp {\frac {\ln {\cos {x}}}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58943d8c85f0392c548b38b8ecd0f33f19e2d932)
![{\displaystyle L=\lim _{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}=\lim _{x\to 0}\exp {\frac {\ln {\cos {x}}}{x^{2}}}=\lim _{x\to 0}\exp {\frac {\ln {(1+\cos {x}-1)}}{x^{2}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453b2edb65dbbf290950a4a2dfd984514331e514)
![{\displaystyle =\lim _{x\to 0}\exp {\left[{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{x^{2}}}\cdot {\frac {\cos {x}-1}{\cos {x}-1}}\right]}=\lim _{x\to 0}\exp {\left[{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{\cos {x}-1}}\cdot {\frac {\cos {x}-1}{x^{2}}}\right]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67d27b017f5ef1b5c13a29845e899efa0b910362)
![{\displaystyle =\exp {\left[\lim _{x\to 0}{\frac {\ln {[1+(\cos {x}-1)]}}{\cos {x}-1}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {\cos {x}-1}{x^{2}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff9ccf52aa76989d085bca6fdcbbe0b2cccdce74)
![{\displaystyle L=\exp {\left[\lim _{t\to 0}{\frac {\ln {(1+t)}}{t}}\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{x^{2}}}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63192b05e273923645d69121af158ca6ddf5a3aa)
![{\displaystyle L=\exp {\left[1\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{x^{2}}}\right]}=\exp {\left[(-2)\cdot \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\frac {4x^{2}}{4}}}\right]}=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \lim _{x\to 0}\left({\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}\right]}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9f165fed84379dc3f0812991d3c7239d90a28d)
![{\displaystyle =\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \left(\lim _{x\to 0}{\frac {\sin {\frac {x}{2}}}{\frac {x}{2}}}\right)^{2}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74d2b6c04192a9b662b70f635340afb5110e489)
![{\displaystyle L=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot \left(\lim _{u\to 0}{\frac {\sin {u}}{u}}\right)^{2}\right]}=\exp {\left[-{\frac {1}{2}}\cdot 1^{2}\right]}=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\right)}={\mbox{e}}^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a502be8f91546e1b987e4bf0219241d2a97d60)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\sqrt[{x^{2}}]{\cos {x}}}={\mbox{e}}^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {\mbox{e}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf08adf2a5258fa0dc94e5136508bca4f30d3a2c)