Симетрија

Симетрија (старогрчки: συμμετρία = „рамномерност, сразмерност“)^[1] е поим со две сродни, но сепак различни значења. Првото значење има поопшта смисла на складност, сразмерност и рамнотежа.^[2]^[3] Второто значење подразбира точна математичка самосличност што може да се докаже со правилата на еден формален систем, како што тоа се прави го геометријата и физиката.

Математичката симетрија може да се забележи:

во однос на изминувањето на времето;
како просторна релација;
преку геометриски преобразби како одразување (рефлексија) вртење (ротација) и размероизмена (скалирање);
преку други видови на функциски преобразби;^[4] и
како аспект на апстрактни објекти, теоретски модели, јазик, музика, па дури и самото знаење.^[5]^[6]

Спротивен поим на симетријата е асиметрија (несиметричност).

Во геометријата

Геометриската симетрија е убедливо најпознатиот вид на симетрија. Формално, ова значи симтерија во подгрупата на Евклидовата група на изометрии во две- или тридимензионален Евклидов простор. Овие изометрии се состојат од одрази, вртање, транслации и нивни комбинации.^[7]

Осна симетрија

Фигури со осна симетрија и една несиметрична фигура за споредба

Осна симетрија е геометриско пресликување на точки $\sigma _{l}:A\to A'$ , при што отсечката $AA'$ , која ги спојува ликот и сликата, е нормална на дадената права l (оската на симетрија), така што $AS=SA$ , каде S е точката на пресекот на отсечката $AA'$ и правата l.

Посебно ^[8], за симетрија во однос на правата l која лежи на некоја рамнина π може да се рече ова е таква преобразба на точката од оваа рамнина во истата рамнина при која секоја точка А преоѓа во точка A' симетрична на првата точка во однос на правата. Правата l се нарекува „оска на симетрија“, а симетријата во однос на правата е „осна симетрија“, „рефлексија“ (огледање).

Осната симетрија е бијекција, а воедно и инволуциона преобразба. Кај осната симетрија, должината на интервалот останува непроменета (инваријантна), ориентацијата на фигурата се менува на спротивната страна, па затоа осната симетрија е движење од втор вид. Осната симетрија на правата преобразба во права, при што правите нормални на оската на симетрија се преобразуваат сами во себе, а оската останува неподвижна, и тоа „пунктуално неподвижна“ (пунктуално инваријантна): секоја нејзина точка е двојна точка.

Осната симетрија се користи при решавање на задачи кај геометриските конструкции, во цртањето на графици на парна функција, во архитектурата, во кристалографијата, во дезенирање на ткаенини, и разни други места. Производот (композицијата на пресликувањето) на две осни симетрии со паралелни оски е паралелен пренос (транслација), а производот на две осни симетрии чии оски се сечан не е симетрија ни во однос на првата, ниту во однос на втората осна симетрија, што значи дека највеќето симетрии на рамнината во однос на дадената оска не се затворени, односно, множеството на сите осни симетрија на рамнината не сочинува група.

Правата што дели една отсечка, агол или слика на два еднакви села се нарекува симетрала.^[9]

Двострано симетричните животни (Bilateria), каде спаѓа и човек, се повеќе или помалку симетрични во однос на сагиталната рамнина.

Вртежна симетрија

Вртежна симетрија на триаголник

Вртежната симетрија е симетрија во однос на некои или сите вртења во $m$ -димензионален Евклидов простор. Вртежите се непосредни изометрии; т.е. изометрии што ја зачувуваат ориентацијата. Така, групата на симетрија на вртежна симетрија е подргупа на E⁺( $m$ ).

Во математиката

Во формална смисла, еден математички објект е „симетричен“ во однос на дадена математичка операција ако, кога таа ќе се примени на објектот, зачувава некое негово својство. Множеството на опрации што зачувуваат даден својство на објектот се нарекува група. Два објекта се симетрични еден на друг во однос на дадена група операции ако едниот се добива од другиот по пат на некои од овие операции (и обратно).

Математички модел на симетријата

Земајќи го множеството на сите симетриски операции со сите членови на множеството X, може да се моделира како групно дејство g : G × X → X, каде сликата на g во G и x во X се бележи како g•x. Ако, за некое g, g•x = y, тогаш x и y се симетрични едно на друго. За секој објект x, операциите g за кои g•x = x образува група, група на симетрија на објектот, која е подгрупа на G. Ако групата на симетрија на x е тривијална група, тогаш x ќе биде асиметрично, а во спротивно ќе е симетрично.

Во науката и природата

Во физиката

Во физиката, симетријата воопштено значи инваријантност—отсуство на измени при каква било преобразби, како на пример произволни координатни преобразби. Овој концепт претставува една од најмоќните алатки на теоретската физика имајќи на ум дека сите природни законитости настануваат од симетрии.

Квантни објекти

Во физиката сите симетрии се приближни вредности бидејќи не постојат два симетрични објекта што се апсолутно истоветни. Меѓутоа, во квантната физика честичките (електрони, протони, светлина и атом) се толку едноставни, што нивните симетрии не се приближни, туку точни и апсолутни. Оттука разни научници заклучиле дека симетријата не влијае врз квантните објекти бидејќи тие остануваат идентични. Меѓутоа, со откритијата на Ричард Фајнман и неговите колеги, дојдено е до заклучок дека симетричноста и нејзиниот настанок кај честичките мора да се зема предвид бидејќи интерференција (пречки), бидејќи тие не се однесуваат како физички предмети, туку како бранови што влијаат со зрачење врз другите случувања околу нив. Доколку симетријата се превиди, доаѓа до нејаснотии и испитувањето не може да продолжи.

Биологија

Симетрија кај животните: коприварка (Nymphalis urticae)

Хемија

Симетријата игра важна улога во хемијата бидејќи таа ги објаснува појавите што се набљудуваат во спектроскопијата, квантната хемија и кристалографијата. Тука голема улога игра теоријата на групите.

Симетријата во човечката психа и творештво

Симетрија на фасадата на Министерството за надворешни работи во Скопје.

Симетријата има значајно влијание врз човечката психа и предизвикува реакција кога ќе се сретнеме со правилно обликувани објекти во природата. Луѓето инстиктивно помислуваат дека објектот мора да е направен со извесна намера, што се должи на човечката склоност симетриите да се доживуваат како убави и пријатни, но и како објекти обдарени со суштина и смисла. Ваквиот однос кон симетријата се познава и по најразличните човекови творби, од ситни предмети до огромни зданија. Во архитектурата, симетријата на еден објект остава извесен впечаток на воодушевување, па дури и стравопочит.

Поврзано

Осна симетрија
Суперсиметрија
Коефициент на асиметрија во статистичките распореди
Симетрична повеќекратна обработка кај сметачите
Спонтано нарушување на симетријата
Симетрична релација
Симетрија (биологија)

Наводи

↑ „симетрија“ — Лексикон на македонскиот јазик
↑ Penrose, Roger (2007). Fearful Symmetry. City: Princeton. ISBN 978-0-691-13482-6.
↑ На пример Аристотел сметал дека небесните тела се сферични и, со тоа, совршено симетрични, поради совршеноството на природата и космосот.
↑ На пример, операции како движење по правилно дезениран поплочен под или вртење на осумстрана вазна, или пак сложени трансофмрации на равенки или пак според начинот на свирење на музиката.
↑ Mainzer, Klaus (2005). Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science. World Scientific. ISBN 981-256-192-7.
↑ Симетричните објекти можат да бидат материјални, како лица, кристали, везови и ќилими, подни плочки или молекули, но и апстрактни состави како математички равенки или низа тонови во музиката.
↑ Higher dimensional group theory Архивирано на 23 јули 2012 г.. Bangor.ac.uk. Посетено на 2013-04-16.
↑ В.А. Диткин, Толковый словарь математических терминов, Просвещение Москва, 1965
↑ „симетрала“ — Лексикон на македонскиот јазик

Надворешни врски

Есететиката и симетријата (англиски)
Меѓународно здружение за симетрија (ISA) Архивирано на 21 јули 2006 г. (англиски)
Институт „Симетрион“ Архивирано на 21 јули 2011 г. (англиски)

[1] „симетрија“ — Лексикон на македонскиот јазик

[2] Penrose, Roger (2007). Fearful Symmetry. City: Princeton. ISBN 978-0-691-13482-6.

[classical001-3] На пример Аристотел сметал дека небесните тела се сферични и, со тоа, совршено симетрични, поради совршеноството на природата и космосот.

[4] На пример, операции како движење по правилно дезениран поплочен под или вртење на осумстрана вазна, или пак сложени трансофмрации на равенки или пак според начинот на свирење на музиката.

[Mainzer000-5] Mainzer, Klaus (2005). Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science. World Scientific. ISBN 981-256-192-7.

[6] Симетричните објекти можат да бидат материјални, како лица, кристали, везови и ќилими, подни плочки или молекули, но и апстрактни состави како математички равенки или низа тонови во музиката.

[Higher_dimensional_group_theory'-7] Higher dimensional group theory Архивирано на 23 јули 2012 г.. Bangor.ac.uk. Посетено на 2013-04-16.

[8] В.А. Диткин, Толковый словарь математических терминов, Просвещение Москва, 1965

[9] „симетрала“ — Лексикон на македонскиот јазик

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]