Штефан-Болцманов закон

Штефан-Болцманов закон — закон според кој вкупното количество енергија j*, на идеално црно тело во единица за површина и во единица за време, е правопропорционална со неговата апсолутна температура T на степен 4:

Графикот на функцијата на вкупната количина на енергијата $j^{\star }$ е пропорционален со температурата $T\,$. За синозелена (тиркизна) боја вкупното количество енергија според Виеновата формула е $j_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,$

$j^{\star }=\sigma T^{4}.$

каде σ - константа на пропорционалност или Штефан-Болцманова константа, која се добива од другите природни константи и има вредност:

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5,670400\times 10^{-8}{\textrm {J\,s}}^{-1}{\textrm {m}}^{-2}{\textrm {K}}^{-4}$

каде k – Болцманова константа, h – Планкова константа и c – брзина на светлината во вакуум. Во реалноста не постои идеално црно тело кое емитува 100 % светлина, туку постои сиво тело, кое се бележи со ε – степен на емисија (од 0 до 1; за идеално црно тело ε = 1):

$j^{\star }=\varepsilon \sigma T^{4}.$

вкупното количество зрачење j* има величина како (J / (m² x s ) = W / m²). За температурата T единица е Келвин. Степенот на емисија (од 0 до 1; за идеално црно тело ε = 1) најчесто зависи од брановата должина на светлината ε = ε(λ).

За да се добие јачината на зрачење на некое тело, треба да се земе предвид и неговата површина A (u m²):

$P=Aj^{\star }=A\varepsilon \sigma T^{4}.$

Примери

Температура на Сонцето

Температурата на Сончевата површина изнесува 5778 K

Со овој закон, Штефан успеал да ја пресмета температурата на сончевата површина. Знаејќи дека интензитетот на количеството зрачење за Сонцето е 29 пати поголем од парче врел метален лим. Кружен метален лим е сместен под ист агол од кој го гледал Сонцето и неговата температура помеѓу 1900 – 2000 °C. Штефан претпоставил дека една третина од Сончевото зрачење впива Земјината атмосфера, така што интензитетот на Сончевото зрачење според Штефан излегол 29 × 3/2 = 43,5 пати поголем од парчето лим.

Штефан ја земал средната вредност на температурата на лимот 1950 °C и кога ја претворил добил 2220 K. Од 2.57⁴ = 43,5 следува дека температурата на Сончевата површина е 2,57 пати поголема од температурата на лимот, па следува 2,57 x 2220 K = 5705 K (денешната вредност изнесува 5778 K), со што се потврдува дека бил близу до решението.

Температура на ѕвезда

Температурата на ѕвезда , слично како и температурата на Сонцето, може приближно да се пресмета (како идеално црно тело кое зрачи 100 %), на сличен начин:

$L=4\pi R^{2}\sigma T_{e}^{4}$

каде L – сјајност или количество енергија во единица време, σ - Штефан-Болцманова константа, R – полупречник на ѕвездата и T – делотворна температура. Оваа формула може да се запише и како:

${\frac {R}{R_{\odot }}}\approx \left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L_{\odot }}}}$

каде $R_{\odot }$, е полупречник на Сонцето итн.

Со Штефан-Болцмановиот закон, астрономите лесно можат да го пресметаат радиуосот на некоја ѕвезда.

Температура на Земјата

Просечната температура на површината на Земјата изнесува 288 K (14 °C)

Слично може да се пресмета и делотворната температура на Земјата T_E :

${\begin{aligned}T_{E}&=T_{S}{\sqrt {r_{S} \over 2a_{0}}}\\&=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}\\&\approx 279\;{\rm {K}}\end{aligned}}$

Каде T_S – Сончева температура, , r_S – полупречник на Сонцето и a₀ – оддалеченоста на Земјата од Сонцето. Се добива делотворна температура од 6 °C на површината на Земјата. Оваа груба пресметка ги занемарува температурните разлики и промените на Земјата, како и Ефектот на стаклена градина. Меѓувладиниот панел за климатски промени (IPCC) и останатите наводи ја претставуваат делотворната температура од 255 K (-18 °C), која го зема предвид Земјиниот албедо (коефициент на рефлексија) – 0,3, што значи дека по претпоставка 30 % од Сончевото зрачење, кое ја озрачува Земјата се одбива во Вселената без Земјата да го впие. Меѓутоа, сепак е поголем уделот на зрачењето кое атмосферата го впива во вид на стакленички гасови, како што се водената пареа, јаглерод диоксид и метанот, па така Земјината делотворна температура во просек изнесува 288 K (14 °C).

Надворешни врски

• [2] Архивирано на 31 март 2010 г. Основи на термодинамиката на енергетските состави – Технички факултет Ријека