Топлинско зрачење

Топлинско зрачење — електромагнетно зрачење, создадено од страна на топлинското зрачење на наелектризираните честички во материјалот. Сите материјали со температура поголема од апсолутната нула оддаваат топлинско зрачење. Кога температурата на телото е поголема од апсолутна нула, настануваат внатрешени судири на атомите, со што се менува кинетичката енергија на атомите или молекулите. Ова доведува до забрзување на честичката, или пак до диполна осцилација од која произлегуваат ектромагнетни зрачења, како и широк спектар на зрачење кој се одразува на широкиот спектар на енергии и забрзувања кои се јавуваат дури и при единечна температура.

Брановата должина на врвот и вкупниот зрачен износ се менува во зависност од температурата и е во согласност со Виновиот закон за поместувањето. Иако тука се прикажано релативно високи температури, истото важи и за било која температура до апсолутна нула. Видливата светлина е со бранова должина помеѓу 380 и 750 nm.

Топлинското зрачење може да се забележи како видлива светлина кај оваа загреана метална шипка. Нејзиното зрачење во инфрацрвена светлина е невидливо за човековото око и за фотоапаратото со кој е сликана фотографијата, но истото може да се забележи со топлинска камера. (Погледајте Термографија).

Примери за топлинско зрачење се: видливата светлина и инфрацрвената светлина одадена од жарулка, инфрацрвеното зрачење од животните кое може да се забележи со топлинска камера и космичкото позадинско микробраново зрачење. Топлинско зрачење е поразлично од топлинските струења и топлинската спроводливост, лице во близина на бесен оган го чувствува греењето и зрачењето од огнот, дури и ако околниот воздух е многу студен.

Сончевата светлина е дел од топлинското зрачење создадено од страна на жешката плазма на Сонцето. Земјата исто така, оддава топлинско зрачење, но со многу помала јачина и различна спектрална распределба (инфрацрвена, наместо видлива) бидејќи таа е поладна. Впивањето на сончевото зрачење и неговото оддавање од Земјата, се двата најважни процеси кои ја одредуваат температурата и климата на Земјата.

Ако зрачењата кои потекнуваат од телото ги исполнуваат физичките одлики на црно тело во термодинамичка рамнотежа, зрачењето се нарекува црнотелесно зрачење. Планковиот закон го опишува црнотелесното зрачење, зрачење кое зависи само од температурата на телото. Виновиот закон за поместувањето ја одредува најверојатната честота на оддаденото зрачење, како и Штефан-Болцмановиот закон кој ја определува јачината на зрачењето.

Топлинско зрачење е еден од основните механизми за топлински пренос

Преглед

Топлинското зрачење е оддавање на електромагнетни бранови од сите материи кој имаат температура поголема од апсолутна нула. Со други зборови претставува премин на топлинската енергија во електромагнетна енергија. Топлинската енергија се состои од кинетичката енергија на случајни движења на атомите и молекулите. Сите материјали со температура по дефиниција се составени од честички кои имаат кинетичка енергија, и кои заемодејствуваат едни со други. Овие атоми и молекули се составени од наелектризирани честички, како на пример, протони, електрони и кинетичките заемодејства меѓу материјалните честички доведуваат до забрзување и диполни осцилациии. Ова доведува до електродинамичко создавање на мешавина на електрични и магнетни полиња, што доведува до оддавање на фотони, кои зрачат енергија од телото преку површинаската граница. Електромагнетно зрачење, вклучувајќи ја и светлината, нема потреба од материјална средина за да се придвижи може бесконечно долго да се движи во вакуумот сè додека не наиде на некоја препрека.

Одликите на топлинското зрачење зависат од различните својства на површината од која произлегув, вклучувањето на температурата, нејзината спектрала впивачка и оддавачка моќност, изразени преку Кирхофовиот закон. Зрачењето не е еднобојно, односно тоа не се состои од само една честота, туку од непрекинатото расејување на фотонска енергија, односно карактеристичниот спектар. Ако зраченото телото и неговата површина се во термодинамичка рамнотежа и површината совршено ги впива сите бранови должини, однсосно станува збор за црно тело. Црното тело е исто така добар оддавач. Зрачењето на таково совршено емитери се нарекува црнотелесно зрачење.

Впивањето,рефлексивноста и оддавањето на сите тела зависи од брановата должина на зрачењето. Температурата ја одредува распределбата на брановата должина на електромагнетно зрачење. На пример, свеж снег, кој поседува висока рефлексивност на видливата светлина (рефлексивност од околу 0,90), има бел сјај поради одбивањето на сончевата светлина чија бранова должина изнесувау 0,5 микрометри. Емисивноста при температура од околу -5 °C при максимална брановата должина од околу 12 микрометри, е 0,99.

Распределбата на енергијата, кое црното тело ја оддава при различна честота е опишана со Планковиот закон. При било која случајна температура, постои честота f_мах при која максимално се срачи енергија. Виновиот закон за поместувањето, и фактот дека честотата на светлината е обратно пропорционална од брановата должина во вакуум, значи дека максималната честота f_мах е пропорционална со апсолутната температура на црното тело. Фотосферата на Сонцето, има температура од околу 6.000 K, и оддава зрачење главно во видливиот дел од електромагнетниот спектар. Земјината атмосфера е делумно провидна на видливата светлина, а светлината за да стигне до површината се впива или рефлектира. Површината на Земјата го оддава впиеното зрачење, што приближно наликува на црно тело на 300 К со спектрален максимум на f_мах. На овие пониски честоти, атмосферата во голема мера е непровидна и зрачењето од површината на Земјата се впива или расејува од атмосферата. Иако дел од зрачењето заминува во вселената, поголемиот дел од зрачењето се впива и потоа повторно враќа назад одбивајќи се од атмосферските гасови. Токму оваа спектрална селективност на атмосферата е одговорна за планетарните ефекти на стаклена градина, придонесувајќи за глобалното затоплување и климатските промени во целина (но, исто така, критички придонесува за стабилноста на климата кога составот и својствата на атмосферата не се менуваат).

Жарулката има спектар кој се преклопува со спектарот на црно тело на Сонцето и Земјата. Некои од фотоните одадени од светилката со вжарена волфрамова жица на 3000 К се во видливиот дел на спектарот. Поголемиот дел од енергијата е пренесена од фотони со подолги бранови должини, овие се невидливи за човековото око, но сепак се носители на топлина во животната средина, како што може да се заклучи емпириски со набљудување на жарулката. Секогаш кога електромагнетното зрачење се оддава, а потоа се впива, се пренесува топлина. Овој принцип се користи кај микробрановите печки, ласерското сечење и електрологијата.

За разлика од спроводните и струевитите облици на пренос на топлина, топлинското зрачење може да е сконцентрирано во мал простор со користење на релектирачки огледала. Концентрирањето на сончевата енергија е последица од овој факт. Во многу такви системи, се користат огледалата за да се концентрира сончевата светлина во помал простор. Наместо огледала, може да се користат и Френелови леќи за да се концентрира топлинскиот тек. (Во принцип, може да се користи секој вид на леќи, но само Френеловите леќи се практични кај поголемите леќи.) И двата метода можат да се користат за брзо испарување на водата во пареа со користење на сончевата светлина. На пример, сончевата светлина одбиена од огледдала ја загрева сончевата централа PS10, а во текот на денот може да ja загрее водата до 285 °C (558,15 К).

Површински ефекти

Посветло обоените супстанци и светлите метални супстанции впиваат помало количество на светлина, а со тоа и површината помалку се загрева, но бојата на предметот прави мала разлика во однос на процесот на пренос на топлината кај предметите изложени на постојани секојдневни температури во непосредната околина, со оглед на тоа дека доминантните бранови должини не се оддаваат во близина на видливиот дел од спектарот, туку во далечниото инфрацрвено зрачење. Оддавањето при тие бранови должини има мала поврзаност со зрачењето во видливиот дел во спектарот (видливи бои), во далечниото инфрацрвено зрачење, повеќето тела имаат висока зрачна моќ. Така, освен за сончевата светлина, бојата на облеката прави мала разлика во погледот на затоплувањето, па така, бојата на куќите прави мали разликата во однос на загревањето освен кога станува збор за ѕид кој е изложен на сончевиот сјај.

Исклучок се сјајните метални површини, кои имаат ниска оддавачка моќност во видливите бранови должини и во далечното инфрацрвено зрачење. Таквите површини може да се користат за да се намали преносот на топлина во двата правци, пример за ова е повеќеслојната изолација која се користи кај вселенските летала.

Ниската оддавачка моќ на прозорците во домовит се должи на посложена технологија, бидејќи тие треба да имаат ниска оддавачка моќност при топлинските бранови должини, додека пак се провидни за видливата светлина.

Наноструктурите со својства на спектрално селективна топлинска оддавачка моќност нудат бројни технолошки примени за производство на енергија и ефикасност, на пример, за ладење на фотоволтаични ќелија и згради. Овие примени имаат потреба од висока оддавачка моќ во честотен опсег што одговара на атмосферската провидност на прозорецот од 8 до 13 микрони. На тој начин, одбран оддавач кој зрачи силно во овој опсег под ведро небо, овозможува употреба во вселената како привелекувач на топлина при многу ниски температури.

Личната рразладувачка технологија е друг пример за примена каде оптичката спектралан пребирливост може да биде од корист. Вообичаено личното разладување се постигнува преку топлинска спроводливост и ковекција. Сепак, чоековото тело е многу ефикасен оддавач на топлинското зрачење, што пак е дополнителен разладувачки механизам. повеќето платна се непровидни при инфрацрвено зрачење и го блокираат топлиснкото зрачење од телото кон околината. Постои предлог за изработка на платна за лично разладување кои овозможуваат инфрацрвеното зрачење да мине директно низ облеката, додека пак е непровидно при бранови должини од видливиот дел на спектарот. Платната кои се провидни на инфрацрвено зрачење многу поделотворно ќе ја оддават топлината со што ќе се намали потрожувачката на струја кај климатските уреди.

Својства

Постојат четири главни својства кои се карактеристични за топлинското зрачење (во граница на далечно поле):

• Топлинското зрачење оддадено од страна на тело при било која температура се состои од широк опсег на честоти. Честотата е определена со Планковиот закон за црно тело за идеализиран оддавач како што е прикажано во дијаграмот погоре.
• Доминантната честота (или во боја) спектар на оддаденото зрачење се менува при повисоки честоти кога температурата на оддавачот се зголемува. На пример, едно црвено жежко тело зрачи воглавно во видливите долги бранови должини (црвена и портокалова). Ако тоа се загрева понатаму, започнува да оддава забележливи количини на зелена и сина светлина, и честотите започнуваат да го опфаќаат целиот видлив спектар што предизвикува телото да биде бело за човековото око. Дури и при температура од 2000 К, 99% од енергијата на зрачење сè уште е во инфрацрвеното подрачје. Ова е утврдено со Виновиот закон за поместувањето на дијаграмот максималните вредности за секоја крива се движат кон лево како резултат на зголемвањето на температурата.
• Вкупниот износ на зрачењето при сите честоти нагло се зголемува како што се зголемува температурата, односно како T⁴, каде што T е апсолутна температура на телото. Тело со температура еднаква на температурата на рерната, односно со температура за двапати повисока од собната температура на апсолутната температурна скала (600 К наспроти 300 К) зрачи 16 пати повеќе енергија по единица површина. Телото со температурата на влакното во жарулката односно околу 3000 К, или 10 пати поголема од собната температура, зрачи 10.000 пати повеќе енергија по единица површина. Вкупниот интензитет на црното тело се зголемува како четврт степен од апсолутната температура, како што е дадено со Штефан-Болцмановиот закон. На графикот површината под секоја крива расте со зголемувањето на температурата.
• Стапката на електромагнетно зрачење во оддадено при определена честота е пропорционално со количеството на енергија впиено од изворот. Така, една површина која впива поголемо количество на црвена светлина топлински зрачи повеќе во црвена светлина. Ова важи за сите својства на бранот, вклучувајќи ја и брановата должина (во боја), насоката, поларизацијата, па дури и кохерентноста, така што со сигурност има топлинско зрачење кое е поларизирано, кохерентно и насочено, иако поларизиранате и кохерентните облици на зрачење се прилично ретки во природата на поголеми растојанија од изворите (во однос на брановата должина). Погледајте во подолниот дел на статијата за повеќе информации.

Блиско и далечно поле

Општите својства на топлинското зрачење како што се опишани со Планковиот закон се применуваат ако линиските димензии на сите делови, како и полупречникот на закривеност на сите површини се големи во споредба со бранова должина (обично од 8-25 микрометри за оддавач при 300 К). Всушност, топлинското зрачење како што беше напоменето погоре ги зема о предвид само зрачните бранови (далечно поле или електромагнетното зрачење). Посложена рамка која ја вклучува и електромагнетната теорија мора да се користи за помали растојанија од топлинските извори или површини (блиско поле топлинско зрачење). На пример, иако топлинското зрачење на далечното поле на растојание помало од една бранова должина од површина, генерално не е доследна во некој размер на топлинското зрачење на блиското поле можат да имаат одреден степен на временска и просторна кохерентност.

Планковиот закон за топлинско зраење во последните децении беше предизвикан од предвидувањата и успешните изведби на пренос на топлина помеѓу предметите одделени со празнини со нано големини со што значително се отстапува од предвидувањата на законот. Ова отстапување е особено силно (до неколку редови на големина) кога оддавачите и впивачите поседуваат поларизациони модови кои можат да се поврзат низ процепот кој ги одделува ладните и топлите предмети. Меѓутоа, за да се искористи предноста на површинската поларизација со посредство во бликсо поле преку зрачен пренос на топлината, двете тела треба да бидат на ултрамали растојанија со големини од неколку микрони или нанометри. Ова ограничување значително ги отежнува практичните осмислени уреди.

Друг начин за да се измени топлинскиот оддавачки спектар на телото е со намалување на димензиите на самиот оддавач. Овој пристап се заснова на концептот на задржувањето на електроните во квантни бунари, жици и точки и создавање на ограничени фотони во две и тридимензионални потенцијални стапици, вклучувајќи ги тука и бунарите, жиците, а и точките. Таквите просторни ограничени фотони го подобруваат топлиснкото оддавање при избраните честоти. За да се постигне потребното ниво на фотонското ограничување, димензиите на телото треба да бидат од големина од или под брановата должиба на топлинските бранови предвидени со Планковиот закон. Најважно е дека спектралната оддавање на термалните извори, жици и точки отстапува од Планковиот закон, не само во близина на полето, туку и во далечното поле, со што значително се проширува опсегот на нивните примени.

Обоеност на топлинското зрачење на црното тело

°C	Обоеност
480 °C	слабо црвен сјај
580 °C	темноцрвена
730 °C	светлоцрвена, малку портокалова
930 °C	светлопортокалова
1100 °C	бледо жолтеникаво портокалова
1300 °C	жолтеникаво бела
> 1400 °C	бела (жолта ако се гледа од далечина преку атмосферата)

Избрани радијални топлински текови

Времето потребно за да настане оштетување поради изложеност на топлина и е функција од стапката на испорака на топлинска енергија. Топлиснки радијален тек и ефекти: (1 W/cm² = 10 kW/m²)

kW/m2	Ефект
170	Максимален проток измери во одделот пост-искрење
80	Термо заштитен тест за лична заштитна опрема
52	Запалив лесонит на 5 секунди
29	Запаливо дрво, на дадено време
20	ипични почетокот на искри на ниво на станбена стан
16	Човечка кожа: ненадејна болка и второ степени изгореници плускавци по 5 секунди
12.5	Дрво произведува запаливи испарувањеа со пиролиза
10.4	Човечка кожа: Болка по 3 секунди, второ степени изгореници, плускавци по 9 секунди
6.4	Човечка кожа: второ степени изгореници плускавци по 18 секунди
4.5	Човечка кожа:второ степени изгореници плускавци по 30 секунди
2.5	Човечка кожа: изгореници по продолжена изложеност излиженост на светлосен флукс типична појава кај пожарникари
1.4	Сончева светлина, изгореници потенцијално во рок од 30 минути

Размена на енергија

Плоча на сончева топлина за прецизно тестирање на квантифицирани енергетски експозиции при Националниот истражувачки совет, во близина на Отава, Онтарио, Канада.

Топлинско зрачење е еден од главните механизми на пренос на топлина. Во овој процес е вклучен спектарот на електромагнетното зрачење поради температурата која ја поседува телото. Други механизми за пренос на топлина се струење и топлоспроведливост. Заемодејството на енергетската размена со топлинското зрачење се одликува со следната равенка:

$\alpha +\rho +\tau =1.\,$

Каде, $\alpha \,$ претставува спектрална компонента на впивањето, $\rho \,$ спектрална компонента на одбивањето и $\tau \,$ спектрална преносна компонента. Овие елементи се функција од брановата должина($\lambda \,$) на електромагнетното зрачење. Спектралното впивање е еднакво на емисивноста $\epsilon \,$; Овој однос е познат како Кирхофов закон на топлинско зрачење. Едно тело е црно тело, при сите честоти, се однесува според следнава равенка:

$\alpha =\epsilon =1.\,$

Во одредена ситуација на собна температура, луѓето губат значителено многу енергија поради топлинското зрачење. Енергетските загуби од емитувањето на инфрацрвеното зрачење е делумно се враќа преку впивање на топлината преку спроводливоста од околните тела, а остатокот се создава како резултат метаболизмот. Човечка кожа има емисивност многу блиску до 1. Користејќи ги равенките покажано е дека кожата на човекот има површина од околу 2m², и температура од околу 307 К, која постојано зрачи околу 1 kW. Ако сме во затворена просторија, опкружени со површина на температура од околу 296 К, од загубената енергија добиваме назад околу 900 W од ѕидот, плафонот, како и други непосредни тела, така да загубите изнесуваат само 100 W. Овие проценки за пренос на топлина се многу зависни од надворешните промени, како што се облеката која што ја носиме, односно намалувањето на вкупното топлоспроводливо тело, со што се намалува вкупниот излезен топлински тек. Само навистина сиви системи (релативна еквивалентнa оддавност/впивливост и без пропустлива насока го контролира волуменот во сите тела) може да се постигне разумно стабилна состојба на топлински тек со Штефан-Болцмановиот закон. Оптимистички, овие „сиви“ приближности ќе се доближат до вистинските решенија, како и повеќето отстапувања од Штефан-Болцмановите решенија која е многу мала.

Доколку телата се наизглед бели (во видливиот спектар), тие не секогаш подеднакво ја одбиваат инфрацрвеното топлинско значење. Повеќето апарати за домаќинство како радијаторите се обоени бело, но тоа е разумно со оглед на тоа што тие не се доволно топли за да зрачат каков било износ на топлина, а и не се топлински радијатори, односно тие ја претвораат топлината во топлинско зрачење, и нивното боење во мат црна ќе направи мала разликата во нивната ефикасност. Акриликот и уретанот врз бела боја имаат 93% ефикасност од онаа на зрачењето на црното тело. Што всушност претставува „црно тело“ (не секогаш одговара на набљудуваната боја на предметот). Овие материјали кои не се придржуваат на „високата оддавност/впивливост на црната боја“ ќе следи дека тие ќе имаат функциска зависност од спектралното оддавање/впивање.

Пресметка на зрачниот пренос на топлината помеѓу групите на тела, вклучувајќи ја тука и „шуплината“ или „околината“ бара решение на сет од симултани равенки со примена на радиометриски методи. Во овие пресметки, геометриската конфигурација на проблемот се сведува на збир на броеви кои се наречени видливи фактори кои го давааат процентот на зрачење кое ја напушта одредена површина и се упатува кон друа специфична површина. Овие пресметки се важни во областа на сончевата топлинска енергија, бојлерите и печките.

Одбрана површина може да се користи кога се исползува енергијата од Сонцето. На пример, кога ќе се направи стакленик, поголемиот дел од покривот и ѕидовите се направени од стакло. Стаклото е пропустливо во видливиот (околу 0,4 микрони <λ <0,8 микрони) и инфрацрвениот дел од спектарот, но непропустливо на средно и далечно инфрацрвено зрачење (околу λ> 3 микрони). Според тоа, стаклото овозможува видливата светлина да мине низ стакленикот, со што ние гледаме низ него, но не го пропушта зрачењето кпе се оддава од телата на или во близина на собна температура. На овој начин се заробува топлината. Овој ефект е познат како ефект на стаклена градина и може да се забележи кога ќе влеземе во кола која стоела подолг временски период на Сонце. Одбрани површини исто така, можат да се искористат како сончеви збирачи на енергија. Може да се пресмета колкава испомош ќе има премазниот слој врз површината на одбраниот слој набљудуван при рамнотежна температура на плочката која се загрева преку Сончевото зрачење. Ако плочата добива сончево зрачење од 1350 W/m² (минимумот е 1325 W/m² на 4 јули, а максималната е 1418 W/m², на 3 јануари) од Сонцето, температурата на плочата каде оддаденото значење е еднакво на зрачењето добиено од плочата е 393 К (248 °F). Ако плочата има одбрана површина со емисивност од 0,9 и отсечна бранова должина од 2 µm, рамнотежната температура е околу 1250 К (1790 °F). Пресметките се направени без да се земе предвид струењето на топлината и се занемарува сончевото зрачење впиено од облаците/атмосферата.

За да се намали преносот на топлина од површината, како што се стаклените прозори, се псотавува проѕирна фолија со ниска оддавност. „Ниската оддавните (нискоО) облоги се микроскопски, речиси невидливи, слоеви од метал или метални оксиди нанесени на просзорските стакла или стаклените површини за потиснување на зрачниот топлински проток преку намалување на влијанието на У-факторот„. Со додавање на овој слој се ограничува количината на зрачење кое излегува преку прозорското стакло, со што ќе се зголеми количината на топлина што е задржан во внатрешноста на прозорецот.

Зрачен пренос на топлина

Зрачната топлоспроводливост ${\dot {Q}}$ од една површина на друга е еднаква на зрачењето кое упаѓа на првата површина од другата, минус зрачењето кое ја напушта првата површина.

• За црно тело

${\dot {Q}}_{1\rightarrow 2}=A_{1}E_{b1}F_{12}-A_{2}E_{b2}F_{2\rightarrow 1}$

каде $A$ е површина, $E_{b}$ е енергетски тек (вкупната енергија оддадена по единица поршина и единица време според Штефан-Болцмановиот закон како $E_{b}=\sigma T^{4}$), и $F_{1\rightarrow 2}$ е набљудувачкиот фактор од првата површината до втората површина.

Користејќи го правилото за реципроцитет, $A_{1}F_{1\rightarrow 2}=A_{2}F_{2\rightarrow 1}$, се добива:

${\dot {Q}}_{1\rightarrow 2}=\sigma A_{1}F_{1\rightarrow 2}(T_{1}^{4}-T_{2}^{4})\!$

каде $\sigma$ е Штефан-Болцмановата константа.

• За сиви тела само со две површини топлоспроводливоста е еднаква на:

${\dot {Q}}={\dfrac {\sigma (T_{1}^{4}-T_{2}^{4})}{{\dfrac {1-\epsilon _{1}}{A_{1}\epsilon _{1}}}+{\dfrac {1}{A_{1}F_{1\rightarrow 2}}}+{\dfrac {1-\epsilon _{2}}{A_{2}\epsilon _{2}}}}}$

каде што $\epsilon$ се соодветните емисивности на тие површини. Оваа вредност може лесно да се промени за различни околности и различни равенки треба да се користат во зависност од случајот.

Зрачна моќност

Моќта на топлинското црнотелесно зрачење на единица површина од зрачна површина на единица од просторен агол и на единица фреквренција $\nu$ според Планковиот закон:

$u(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}}$

или во однос на брановата должина

$u(\lambda ,T)={\frac {\beta }{\lambda ^{5}}}\cdot {\frac {1}{e^{hc/k_{B}T\lambda }-1}}$

каде $\beta$ е константа.

Оваа формула математички се добива од пресметката на спектралната распределба на енергијата при квантизацијата на електромагнетно поле, кое е во целосна термодинамичка ранотежа со зрачниот објект. Равенката е изведена како бесконечна сума од сите можни честоти. Енергијата, $E=h\nu$, од секој фотон се множи со бројот на состојби слободни на таа фрекфренција и веројатноста дека секоја од тие состојби ќе бидат пополнети.

Интегрирањето на горната равенка $\nu$ по текот на излезната моќност е дадено со Штефан-Болцмановиот закон како:

$P=\sigma \cdot A\cdot T^{4}$

каде константата на пропорционалнот $\sigma$ е Штефан-Болцмановата константа и $A$ претставува зрачна површина.

Брановата должина $\lambda \,$, за која интензитетот на емисија е најголем, е дадена со Виновиот закон за поместувањето како:

$\lambda _{max}={\frac {b}{T}}$

За површини кои не се црни тела, треба да се земе предвид, факторот на емисивност $\epsilon (\nu )$. Овој фактор мора да се помножи со спектралната формула за зрачење пред да интегрирањето. Ако се разгледува како константа, резултатот од формулата за излезна моќност може да се запише на начин кој го содржи факторот $\epsilon$:

$P=\epsilon \cdot \sigma \cdot A\cdot T^{4}$

Овој вид на теоретскиот модел, со честотно независна емисивност пониска од онаа на совршено црно тело, честопати е познато како сиво тело. За честотно зависна емисивност, решението за интегрираната моќност зависи од функцискиот облик на зависност, иако воопшто не постои едноставен израз за тоа. Практично гледано, ако емисивноста на телото е приближно константна околу бранова должина на врвот на емисиите, сивиот модел на телото има способност да биде употреблив со оглед на тежиштето на кривата околу оддавањето доминира во интегралот.

Сликата подолу ја покажува моќта оддадена од црното тело исцртана во зависност од температурата во согласност со Штефан-Болцмановиот закон.

Константи

Определени константи користени во равенките споменати погоре во текстот:

$h\,$	Планкова константа	6.626 0693(11)×10−34 J·s = 4.135 667 43(35)×10−15 eV·s
$b\,$	Виновиот закон за поместувањето	2.897 7685(51)×10−3 m·K
$k_{B}\,$	Болцманова константа	1.380 6505(24)×10−23 J·K−1 = 8.617 343(15)×10−5 eV·K−1
$\sigma \,$	Штефан-Болцманова константа	5.670 373(21)×10−8 W·m−2·K−4
$c\,$	Брзина на светлината	299,792,458 m·s−1

Променливост

Дефиниција за варијабилност, со примери:

$T\,$	Апсолутна температура	За единици се користи погоре, мора да биде во келвини (на пример просечна температура на поврршината на Земјата = 288 K)
$A\,$	Површина	Acuboid = 2ab + 2bc + 2ac; Acylinder = 2π·r(h + r); Asphere = 4π·r2