Теорема за прости броеви

Во математиката, теоремата за прости броеви (ТПБ) ја опишува распределбата на простите броеви меѓу позитивните цели броеви. Ја формализира интуитивната идеја дека простите броеви стануваат поретки како што стануваат поголеми, така што ја пресметува брзината со која тоа се случува. Теоремата била докажана независно од Жак Хадамар и Шарл Жан де ла Вале Пусин во 1896 година користејќи идеи воведени од Бернхард Риман (особено, Римановата зета функција).

Првата таква пронајдена распределба е π(N) ~ Nlog(N), каде што π(N) е функција за броење прости броеви (бројот на прости броеви помали или еднакви на N) и log(N) е природниот логаритам на N. Ова значи дека за доволно голем N, веројатноста дека произволен број не поголем од N да е прост е многу блиску до 1 / log(N). Следствено, произволен број со најмногу 2n цифри (за доволно голем n) има приближно половина поголема веројатност да биде прост од произволен цел број со најмногу n цифри. На пример, меѓу позитивните цели броеви од најмногу 1000 цифри, околу еден од 2300 е прост (log(10¹⁰⁰⁰) ≈ 2302.6), додека кај позитивните цели броеви од најмногу 2000 цифри, околу еден од 4600 е прост (log(10²⁰⁰⁰) ≈ 4605.2). Со други зборови, просечниот размак помеѓу последователни прости броеви меѓу првите N цели броеви е приближно log(N).

Изјава

График кој го прикажува односот на функцијата за броење прости броеви π(x) до две нејзини апроксимации, x / log x и Li(x) . Како што се зголемува x (оската x е логаритамска), и двата соодноси се стремат кон 1. Односот за x / log x конвергира одозгора многу бавно, додека односот за Li(x) се конвергира побрзо одоздола.

Приказ на log-log кој покажува апсолутна грешка на x / log x и Li(x), две апроксимации на функцијата за броење прости π(x). За разлика од соодносот, разликата помеѓу π(x) и x / log x се зголемува без ограничување додека x се зголемува. Од друга страна, Li(x) − π(x) го менуваат знакот бесконечно многу пати.

Нека π(x) е функцијата за броење на прости броеви и ја дефинираме како број на прости броеви помал или еднакви на x, за кој било реален број x . На пример, π(10) = 4 бидејќи има четири прости броеви (2, 3, 5 и 7) помали или еднакви на 10. Теоремата за прости броеви тогаш наведува дека x / log x е добра апроксимација на π(x) (каде што log овде значи природниот логаритам), во смисла дека границата на количникот на двете функции π(x) и x / log x како што x се зголемува без граница е 1:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1,$

познат како асимптотички закон за распределба на прости броеви. Користејќи асимптотичка нотација, овој резултат може да се запише како

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}.$

Оваа ознака и теоремата не кажуваат ништо за лимесот на разликата на двете функции кога x се зголемува без ограничување. Наместо тоа, теоремата наведува дека x / log x се приближува на π(x), односно релативната грешка на оваа апроксимација се приближува до 0 додека x се зголемува без ограничување.

ТПБ е еквивалентна со: n -тиот прост број p_n задоволува

$p_{n}>n\log n.$

асимптотичката нотација значи, повторно, дека релативната грешка на оваа апроксимација се приближува до 0 кога n се зголемува без ограничување. На пример, 2⋅10¹⁷-тиот прост број е 8.512.677.386.048.191.000, и (2⋅10¹⁷)log(2⋅10¹⁷) се заокружува на 7.957.418.752.291.744.388 релативна грешка е околу 6,4%.

Од друга страна, следните асимптотички односи се еквивалентни на:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {M(x)}{x}}=0,$

Како што е наведено подолу, ТПБ е исто така еквивалентна на

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\log(x)}}\right]\;}}=1,$

каде првата и втората функција на Чебишев се означени со ϑ и ψ, соодветно, и

${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}&=1,{\text{ and}}\\\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\log \pi (x)}{x}}\,&=1.\end{aligned}}$

каде $M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)$ е функцијата Мертенс.

Историја на доказот на асимптотичниот закон на простите броеви

Според претпоставките од Антон Фелкел и Јуриј Вега, Адриен-Мари Лежандр поставени во 1797 (или 1798) година дека π(a) се приближува со функцијата a / (A log a + B), каде што A и B се неодредени константи. Во второто издание на неговата книга за теоријата на броеви (1808) тој потоа направил попрецизна претпоставка фиксирајќи ги A и B, со A = 1 и B = −1.08366. Карл Гаус го разгледувал истото прашање на 15 години „во 1792 или 1793 година“, според неговото сеќавање во 1849 година. Во 1838 година, Дирихле смислил своја сопствена апроксимативна функција, логаритамскиот интеграл li(x) (под малку поинаква форма, која му ја соопштил на Гаус). Формулите на Лежандр и Дирихле, двете ја подразбираат истата претпоставена асимптотичка еквиваленција на π(x) и x / log(x) наведена погоре, иако се покажало дека апроксимацијата на Дирихле е значително подобро ако се земат во предвид разликите наместо количниците.

Во два труда издадени во 1848 и 1850 година, рускиот математичар Чебишев се обидел да го докаже законот за распределба на простите броеви. Забележлива е употребата на зета функцијата ζ(s) во неговото дело, за реалните вредности на аргументот „ s “, како во делата на Ојлер, уште во 1737 година. Трудовите на Чебишев биле напишани пред мемоарите на Риман од 1859 година, и тој успеал да докаже послаба форма на законот, имено, ако лимесот кога x оди до бесконечност на π(x) / (x / log(x)) важи за сите, тогаш тој мора да е еднаков на еден. Тој успеал да докаже дека овој однос е ограничен од горе и долу со 0,92129 и 1,10555, за сите доволно големи x. Иако трудот на Чебишев не ја докажал теоремата за прости броеви, неговите проценки за π(x) биле доволни за тој да го докаже постулатот на Бертранд. Тој докажал дека постои прост број помеѓу n и 2n , за секој цел број n ≥ 2 .

Еден од најзначајните трудови околу дистрибуцијата на простите броеви биле мемоарите на Риман од 1859 година „Бројот на прости броеви помали од дадена големина “. Ова било единствениот труд што тој некогаш го напишал поврзан со оваа тема. Тој ја поврзал распределбата на простите броеви со нулите на аналитички проширената Риманова зета-функција на комплексна променлива. Конкретно, токму од тука потекнува идејата да се применат методи на комплексна анализа за проучување на π(x). Проширувајќи ги идеите на Риман, два докази за асимптотичниот закон за распределба на простите броеви биле пронајдени независно од Жак Хадамар и Шарл Жан де ла Вале Пусен и се појавиле во истата година (1896). И двата докази користат методи од комплексна анализа, утврдувајќи како главен чекор на доказот дека Римановата зета функција ζ(s) нема нула за сите комплексни вредности на променливата s кои имаат форма s = 1 + it со t > 0 .

Во 20-ти век, теоремата на Хадамар и Де Ла Вале Пусин станала позната и како Теорема на прости броеви. Постојат неколку различни докази за таа теорема, вклучувајќи ги и „елементарните“ докази на Atle Selberg и Paul Erdős (1949). Оригиналните докази на Хадамар и де ла Вале Пусин се долги и детални; понатамошните докази вовеле поедноставувања преку употребата на Таубериските теореми, но останале тешко разбирливи. Краток доказ бил откриен во 1980 година од американскиот математичар Доналд Џеј Њуман. Њумановиот доказ е наједноставниот познат доказ за теоремата, иако тој ја користи интегралната теорема на Коши од комплексната анализа.

Скица на доказот

Теренс Тао во едно предавање ја претсавил скицата на доказот. Како и повеќето докази за ТПБ, тој започнува со преформулирање на проблемот во помалку интуитивен, но подобро воведена, функција за броење на прости броеви. Идејата е да се избројат простите броеви (или поврзаното множество како што е множеството на прости степени) со тежини за да се дојде до функција со помазно асимптотичко однесување. Најчеста таква генерализирана функција за броење е функцијата Чебишев ψ(x), дефинирана со

$\psi (x)=\sum _{k\geq 1}\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\;.$

Ова понекогаш се пишува како

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\;,$

каде Λ(n) е функцијата на фон Манголт

$p_{n}\sim n\log(n),$

Сега е прилично лесно да се провери дали ТПБ е еквивалентна на тврдењето дека

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1\;.$

Навистина, ова произлегува од лесните проценки

$\psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log x=\pi (x)\log x$

и користејќи ја големата O ознака за ε > 0 ,

$\psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{\stackrel {x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x\;.$

Понатаму треба да се најде добра репрезентација за ψ(x). Може да се покаже дека ζ(s) е поврзана со фон Манголтовата функција Λ(n), па оттука и со ψ(x), преку релацијата

$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,n^{-s}\;.$

Од поврзаните својства на зета функцијата, користејќи ја Мелиновата трансформација и Пероновата формула, покажува дека за не цел број x равенката

$\psi (x)=x\;-\;\log(2\pi )\;-\!\!\!\!\sum \limits _{\rho :\,\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}$

важи, каде што сумата е над сите тривијални и нетривијални нули на функцијата зета. Оваа формула е една од таканаречените експлицитни формули на теоријата на броеви и веќе го сугерира на резултатот што сакаме да го добиеме. Бидејќи x (се тврди дека е точниот асимптотички редослед на ψ(x) ) се појавува десно, проследена со асимптотични термини од понизок ред.

Следниот чекор вклучува проучување на нулите на зета функцијата. Тривијалните нули −2, −4, −6, −8, ... може да се разгледуваат посебно:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right),$

кој исчезнува за доволно голем x. Кога се разгледуваат нетривијалните нули на зета функцијата, односно оние што се наоѓаат во областа 0≤Re(s)≤1, важно е да се забележи дека овие нули можат да предизвикаат нарушување на асимптотската распределба на простите броеви. Нетривијалните нули, имено оние на делот 0 ≤ Re(s) ≤ 1, можат да бидат од асимптотички ред споредлив со главниот член x ако Re(ρ) = 1, така што треба да покажеме дека сите нули имаат реален дел строго помал од 1.

Кога Re(s) = 1

Земаме дека ζ(s) е мероморфен во полурамнината Re(s) > 0, и е аналитички таму, освен за едноставен пол на s = 1, и дека постои формула за производ

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

за Re(s) > 1. Оваа формула за производ е заснована на единственоста на простата факторизација на целите броеви. Таа покажува дека ζ(s) не може да биде нула во овој регион, со што логаритамот на ζ(s) е добро дефиниран во тој дел од комплексната рамнина и може да се користи за натамошни анализи.

$\Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{ ако }}n=p^{k}{\text{ за некој прост }}p{\text{ и цел број }}k\geq 1,\\0&{\text{ во друг случај.}}\end{cases}}$

Запишете s = x + iy ; тогаш

${\begin{aligned}\log n+\log \log n-1\;&<\;{\frac {p_{n}}{n}}&&{\text{ for }}n\geq 2\;,{\text{ and }}\\{\frac {p_{n}}{n}}\;&<\;\log n+\log \log n-0.9484&&{\text{ for }}n\geq 39017\;.\end{aligned}}$

Сега го набљудуваме идентитетот

$3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0\;,$

така што

$\log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}\;.$

за сите x > 1. Да претпоставиме дека ζ(1 + iy) = 0. Секако y не е еднаков на нула, бидејќи ζ(s) има едноставен пол кога s = 1. Сега, да претпоставиме дека x > 1 и нека x се доближува одозгора кон 1. Меѓутоа, ова води до контрадикција, бидејќи тоа би значело дека функцијата $\zeta (s)$ не е аналитичка во таа точка, што го нарушува условот за аналитичност во регионот каде што s = 1 и ζ(x + 2iy). Затоа, претпоставката дека ζ(1+iy)=0 мора да биде погрешна.

Конечно, можеме да заклучиме дека теоријата за простите броеви (ТПБ) е хевристички точна. Меѓутоа, за да се комплетира доказот, преостануваат значајни технички предизвици. Главниот проблем произлегува од тоа што собирањето на зета-нули во експлицитната формула за ψ(x) не е апсолутно конвергентно, туку само условно и во смисла на „главна вредност“. Постојат неколку начини околу овој проблем, но многу од нив бараат прилично деликатни комплексно-аналитички проценки. Книгата на Едвардс ги дава деталите. Друг метод е да се користи Тауберовата теорема на Икехара, иако оваа теорема сама по себе е доста тешко да се докаже. Њуман забележал дека целосната сила на теоремата на Икехара не е потребна за теоремата за прости броеви и може да се извлече со посебен случај што е многу полесно да се докаже.

Њумановиот доказ за теоремата за прости броеви

Д. Џ. Њуман дава краток доказ за теоремата за прости броеви. Доказот е „неелементарен“ поради тоа што се потпира на комплексна анализа, но користи само елементарни техники од првиот курс по предметот: интегралната формула на Коши, интегралната теорема на Коши и проценките на сложените интеграли. Видете за целосни детали.

Доказот ги користи истите основни претпоставки како во претходниот дел, но со замената на функцијата ${\textstyle \psi }$, со${\textstyle \quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}$. Оваа функција се добива со исфрлање на некои термини од ${\textstyle \psi }$ . Слично од претходно, може да се покаже дека ϑ  (x) ≤ π(x)log x и ϑ  (x) ≥ (1 - ɛ)(π(x) + O(x^1-ɛ))log x за секој 0 < ɛ < 1.Од овие проценки следува дека$\lim _{x\to \infty }\vartheta (x)/x=1$ и теоремата се еквивалентни. Важно е да се забележи дека $\Phi (s)$ и $-\zeta '(s)/\zeta (s)$ се разликуваат само по една холоморфна функција на правата $\Re s=1$. Бидејќи $\zeta (s)$ нема нули, а $\Phi (s)-{\frac {1}{s-1}}$ нема сингуларитети кога $\Re s=1$. Ова својство е важно за користење на функцијата $\Phi (s)$ во анализата на распределбата на простите броеви.

Клучна информација за доказот на Њумен, која е основа за проценките во неговиот едноставен метод, е дека изразот $\vartheta (x)/x$ е ограничен. Неговиот пристап користи елементарни техники, но е извонредно моќен, бидејќи обезбедува основна контрола врз растот на функцијата ϑ(x) во однос на x. Ова се докажува со помош на генијален и лесен метод поради Чебишев.

Интегрирање по делови ја покажува поврзаноста на $\vartheta (x)$ и $\Phi (s)$. За $\Re s>1$ ,

$\Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt.$

Њумановиот метод ја докажува ТПБ со прикажување на интегралот

$I=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)\,dt.$

конвергира, што имплицира дека интеграндот мора да оди кон нула кога $t\to \infty$, што е бараната теорема. Генерално, конвергенцијата на еден неправилен интеграл не гарантира дека интеграндот оди на нула во бесконечност, бидејќи интеграндот може да осцилира, ова не е проблем тука. Бидејќи $\vartheta$ се зголемува, лесно е да се прикаже во овој случај.

За да се прикаже конвергентноста на $I$, за $\Re z>0$ нека

$g_{T}(z)=\int _{0}^{T}f(t)e^{-zt}\,dt$ и $g(z)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\,dt$ каде $f(t)={\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1$

За прецизно да се каже, нека F = GF(q) е конечното поле со q елементи, за некои фиксен q, и нека N_n е бројот на монични нередуцирани полиноми над F чиј степен е еднаков на n . Односно, гледаме полиноми со коефициенти избрани од F, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Во оваа поставка, овие полиноми ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се изградени од производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

$\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{where}}\quad z=s-1$

што е еднакво на функција холоморфна на правата $\Re z=0$ .

Ова важи за секој $R$ така $\lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)$, а следи ТПБ.

За прецизно да се каже, нека F = GF(q) е конечното поле со q елементи, за некои фиксен q, и нека N_n е бројот на монични нередуцирани полиноми над F чиј степен е еднаков на n . Односно, гледаме полиноми со коефициенти избрани од F, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Во оваа поставка, овие полиноми ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се изградени од производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

$g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}$

каде $F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)$ е фактор кој доаѓа од Њуман. Овој фактор не го менува интегралот.

$\limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}.$

и ова важи за секој $R$, па $\lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)$ и следи теоремата.

Функција за броење на прости броеви во однос на логаритамскиот интеграл

Во белешка на трудот на Дирихле од 1838 година „ Sur l'usage des séries infinies dans la théorie des nombres</link> ", која му ја испратил по пошта на Гаус, претпоставува дека уште подобра апроксимација на π(x) е дадена со офсет логаритамската интегрална функција Li(x), дефинирана со

$\vartheta (x)\log(x)+\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}\ \vartheta \left({\frac {x}{p}}\right)=2x\log(x)+O(x)$

Навистина, овој интеграл посочува на важната идеја дека „густината“ на простите броеви околу некое t треба да биде приближно 1 / log t . Оваа функција е поврзана со логаритам со асимптотичко проширување

${\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}=\Omega \left({\sqrt {x}}{\frac {\log \log \log x}{\log x}}\right)$

Значи, ТПБ може да се запише и како π(x) ~ Li(x). Во друг труд во 1899 година, de la Vallée Poussin докажал дека

$\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\log t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).$

за некоја константа a поголема од нула, каде што O(...) е големата ознака O. Ова е подобрено на

$\operatorname {Li} (x)\sim {\frac {x}{\log x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\log x)^{k}}}={\frac {x}{\log x}}+{\frac {x}{(\log x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\log x)^{3}}}+\cdots$

Труџијан покажал експлицитна горна граница за разликата меѓу $\pi (x)$ и $\operatorname {li} (x)$ :

$\pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty$

за $x\geq 229$ .

Врската помеѓу Римановата зета-функција и π(x) е клучна за теоријата на простите броеви, а една од главните причини зошто Римановата хипотеза има толку големо значење е тоа што ако се докаже, ќе обезбеди многу подобра проценка на грешката во врската помеѓу π(x) и x/logx отколку што е достапно денес. Поконкретно, Хелге фон Кох покажал во 1901 година дека ако Римановата хипотеза е вистинита, терминот за грешка во горната релација може да се подобри на

$\pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left({\sqrt {x}}\log x\right)$

(последново е всушност еквивалентно на Римановата хипотеза). Константата вклучена во O била проценета во 1976 година од Ловел Шенфелд, претпоставувајќи ја Римановата хипотеза:

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {A(\log x)^{\frac {3}{5}}}{(\log \log x)^{\frac {1}{5}}}}\right)\right)$ каде $A=0.2098$ .

за секој x ≥ 2657 . Исто така, тој извел граница за функцијата за броење прости броење на Чебишев ψ :

${\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2795{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.455}}}\right)$

за секој x ≥ 73.2 . Се покажало дека оваа граница изразува варијанта на законот за степен и1 f  бучава и исто така одговара на Твиди Поасон дистрибуција . (Дистрибуциите на Твиди претставуваат фамилија на непроменливи распределби на скалата кои служат како фокуси на конвергенција за генерализација на теоремата на централната граница. ) Долна граница е изведена и од Ј.Е. Литлвуд, претпоставувајќи ја Римановата хипотеза:

${\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}<{\frac {{\sqrt {x}}\log x}{8\pi }}$

Логаритамскиот интеграл li(x) li(x) е поголем од π(x) за „мали“ вредности на x . Тоа е затоа што не брои прости броеви, туку степени на прости броеви, каде што степенот pⁿ на простиот p се брои како1 n  број. Ова сугерира дека li(x) обично треба да биде приближно поголем од π(x) $\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x}})\ ,$ а секогаш треба да биде поголем од π(x). Во 1914 година, Џон Литлвуд докажал резултатот на разликата$\ \pi (x)-\operatorname {li} (x)\$ бескрајно променува знак. Првата вредност на x каде π(x) е поголема од li(x) е околу x ~ 10³¹⁶. (Од друга страна, офсет логаритамски интеграл Li(x) е помал од π(x) веќе за x = 2 ; навистина, Li(2) = 0, додека π(2) = 1 )

Елементарни докази

Во 20-ти век, некои математичари верувале дека постои хиерархија на методи за докажување во математиката во зависност од тоа какви видови броеви (цели броеви, реални, комплексни) бара доказот. Теоремата за прости броеви е „длабока“ теорема бидејќи бара комплексна анализа. Ова верување беше донекаде променето од доказот за ТПБ заснован на тавберовата теорема на Винер, иако доказот на Винер на крајот се потпира на својствата на функцијата Риманова зета на линијата. ${\text{re}}(s)=1$, каде што мора да се користи комплексна анализа.

Во март 1948 година, Атл Селберг ја воспоставил асимптотичната формула

$\vartheta (x)=\sum \limits _{p\leq x}{\log(p)}$

каде

${\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}\right)\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2.51}{(\log x)^{2}}}\right)\;.$

за прости броеви p. Селберг и Пол Ердос ја користеле формулата на Селберг како почетна точја и од таму добиле елементарни докази за ТПБ. Овие докази ефикасно ја поставиле идејата дека ТПБ е „длабок“ во таа смисла и покажале дека технички „елементарните“ методи се помоќни отколку што се верувало дека е случај. За историјата на елементарните докази на ТПБ, вклучувајќи го и спорот за приоритетот Ердос-Селберг, видете ја статијата на Доријан Голдфелд .

Постои одредена дебата за значењето на резултатот на Ердос и Селберг. Иако не користи комплексна анализа, таа е всушност многу по техничка од стандардниот доказ на ТПБ. Една можна дефиниција за „елементарен“ доказ е „онаа што може да се изведе во аритметика од прв ред Пеано “. Постојат теоретски искази на броеви кои се докажуваат со помош на методи од втор ред, но не со методи од прв ред, но таквите теореми се ретки до денес. Доказот на Ердос и Селберг секако може да се формализира во аритметиката Пеано, а во 1994 година, Хараламбос Корнарос и Костас Димитракопулос докажале дека нивниот доказ може да се формализира во многу слаб дел од PA, имено IΔ₀ + exp. Сепак, ова не го решава прашањето дали стандардниот доказ за ТПБ може да се формализира или не во PA.

Нека $X$ да биде компактен метрички простор, $T$ континуирана само-мапа на $X$, и $\mu$ а $T$ -инваријантна Борелова мерка на веројатност за која $T$ е уникатно ергодичен . Потоа, за секој $f\in C(X)$ ,

$${\tfrac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(T^{\omega (n)}x)\to \int _{X}f\,d\mu ,\quad \forall x\in X.$$ За докажување на теоремата Пилаи-Селберг и теоремата Ердс-Деланж може да се користат докази за резултати повразни со ТПБ

Компјутерски проверки

Avigad et al. го употребил докажувачот на теоремата на Изабел во 2005 година за да осмисли компјутерски проверена варијанта на Ердос-Селберг доказ за ТПБ. Ова бил првиот машински потврден доказ за ТПБ. Avigad избра да го формализира доказот Ердос-Селберг наместо аналитички бидејќи иако библиотеката на Изабел во тоа време можела да ги имплементира поимите на лимесот, дериват и трансцендентална функција, таа немала речиси никаква теорија на интеграција за која може да зборува.

Во 2009 година, Џон Харисон употребил HOL Light за да го формализира доказот кој користи комплексна анализа. Со развивање на потребната аналитичка машинерија, вклучувајќи ја и интегралната формула на Коши, Харисон можел да формализира „директен, модерен и елегантен доказ наместо по инволвираниот „елементарен“ аргумент на Ердос-Селберг“.

Теорема на прости броеви за аритметички прогресии

Нека π_d,a(x) е бројот на прости броеви во аритметичката прогресија a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... помали од x . Дирихле и Лежандр претпоставувале, а де ла Вале Пусин докажал дека ако a и d се заемно прости броеви, тогаш

$\pi _{d,a}(x)\sim {\frac {\operatorname {Li} (x)}{\varphi (d)}}\ ,$

каде φ е Ојлеровата функција. Односно, простите броеви се рамномерно распределени меѓу класите на остатоци [a] modulo d кога a и d се заемно прости броеви. Ова е посилно од теоремата на Дирихле за аритметички прогресии (која само вели дека има бесконечно прости броеви во секоја класа) и може да се докаже со користење на методи слични на оние што ги користел Њуман за докажување на ТПБ.

Добра проценка за тоа како се распределни простите броеви во класите на остатоци дава Теоремата Зигел-Валфис.

Bennett et al ја докажале следнава проценка која содржи константи A и B (теорема 1.3): Нека d $\geq 3$ биде цел број заемно прост со цел број a. Тогаш има позитивни константи A и B такви што

$\left|\pi _{d,a}(x)-{\frac {\ \operatorname {Li} (x)\ }{\ \varphi (d)\ }}\right|<{\frac {A\ x}{\ (\log x)^{2}\ }}\quad {\text{ for all }}\quad x\geq B\ ,$

каде μ(k) е функцијата Möbius. (Оваа формула му била позната на Гаус.) Главниот дел се јавува за d = n, и не е тешко да се врзат останатите членови. Исказот „Риманова хипотеза“ зависи од фактот дека најголемиот вистински делител на n не може да биде поголем од n2.

$A={\frac {1}{\ 840\ }}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{4}\quad {\text{ and }}\quad A={\frac {1}{\ 160\ }}\quad {\text{ if }}\quad d>10^{4}~,$

Табелата ги споредува точните вредности на π(x) со двете приближувања x / log x и li(x) . Колоните за разлика во приближувањето се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на незаокружените приближувања. Последната колона, x / π(x), е просечниот прост размак под x .

$B=8\cdot 10^{9}\quad {\text{ if }}\quad 3\leq d\leq 10^{5}\quad {\text{ and }}\quad B=\exp(\ 0.03\ {\sqrt {d\ }}\ (\log {d})^{3}\ )\quad {\text{ if }}\quad d>10^{5}\ .$

Трка на прости броеви

Дел на функцијата $\ \pi (x;4,3)-\pi (x;4,1)\$ за n ≤ 30000

Иако имаме

$\pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,$

Табелата ги споредува точните вредности на π(x) со двете приближувања x / log x и li(x) . Колоните за разлика во приближувањето се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на незаокружените приближувања. Последната колона, x / π(x), е просечниот прост размак под x .

$\pi _{4,1}(x)-\pi _{4,3}(x)~,$

така што водството во трката се менува напред-назад бесконечно многу пати. Феноменот дека π_4,3(x) е во најголем дел од времето се нарекува пристрасност на Чебишев. Пал Туран се прашувал дали секогаш се случува π(x;a,c) и π(x;b,c) да ги менуваат местата кога a и b се заемно прости на c. Гранвил и Мартин даваат темелно истражување на ова прашање.

График на бројот на прости броеви што завршуваат на 1, 3, 7 и 9 до n за n < 10.000

Интересен феномен е распределбата на последната цифра од прости броеви. Освен 2 и 5, сите прости броеви завршуваат на 1, 3, 7 или 9. Според теоремата на Дирихле за прогресиите во аритметиката, 25% од сите прости броеви завршуваат на секоја од четирите цифри 1, 3, 7, или 9. Сепак, докази покажуваат дека бројот на прости броеви што завршуваат на 3 или 7 помали од n има тенденција да биде малку поголем од бројот на прости броеви што завршуваат на 1 или 9 помали од n. Од тука се добива дека 1 и 9 се квадратни остатоци модуло 10, а 3 и 7 не се квадратни модуло 10.

Неасимптотични граници на функцијата за броење прости броеви

Теоремата за прости броеви е асимптотички резултат. Неефективна граница на π(x) е добиена како директна последица на дефиницијата на границата: за ε > 0, постои S таков што за секој x > S ,

$(1-\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;<\;\pi (x)\;<\;(1+\varepsilon ){\frac {x}{\log x}}\;.$

Но, постојат и подобри граници на π(x), на пример онаа на Пјер Дусарт

${\frac {x}{\log x-(1-\varepsilon )}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-(1+\varepsilon )}}\;.$

Левата неравенка важи за броеви x ≥ 599, а десната за броеви x ≥ 355991 .

Доказот на Poussin ја подразбира следнава граница: За ε > 0, постои S такво што за сите x > S ,

${\frac {x}{\log x+2}}\;<\;\pi (x)\;<\;{\frac {x}{\log x-4}}\;.$

${\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {x}{\log x-1}}\;&<\;\pi (x)&&{\text{ for }}x\geq 5393\;,{\text{ and }}\\\pi (x)&<\;{\frac {x}{\log x-1.1}}&&{\text{ for }}x\geq 60184\;.\end{aligned}}$

Може да се забележи дека првиот од овие го застарува условот ε > 0 на долната граница.

Апроксимации за n -тиот прост број

Последица на ТПБ е изразот за n -тиот прост број, означен со p_n :

$p_{n}>n\log n.$

Подобра апроксимација е

$p_{n}\sim n\log n.$

За 2⋅10¹⁷ -тиот прост број 8.512.677.386.048.191.000 дава проценка од 8.512.681.315.554.716.000; првите 5 цифри се совпаѓаат и релативната грешка е околу 0,00005%.

Росеровата теорема го вели тоа

$p_{n}>n\log n.$

Ова може да се подобри со следниве граници:

${\frac {p_{n}}{n}}=\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}-{\frac {(\log \log n)^{2}-6\log \log n+11}{2(\log n)^{2}}}+o\left({\frac {1}{(\log n)^{2}}}\right).$

Табела со π(x), x / log x и li(x)

Табелата ги споредува точните вредности на π(x) со двете апроксимации. Колоните за разлика во апроксимациите се заокружуваат до најблискиот цел број, но колоните „% грешка“ се пресметуваат врз основа на точните апроксимации. Во последната колона, x / π(x), е претставен просечниот прост размак подолу x .

x	π(x)	π(x) − xlog(x)	li(x) − π(x)	% error		xπ(x)
				xlog(x)	li(x)
10	4	0	2	8.22%	42.606%	2.500
102	25	3	5	14.06%	18.597%	4.000
103	168	23	10	14.85%	5.561%	5.952
104	1,229	143	17	12.37%	1.384%	8.137
105	9,592	906	38	9.91%	0.393%	10.425
106	78,498	6,116	130	8.11%	0.164%	12.739
107	664,579	44,158	339	6.87%	0.051%	15.047
108	5,761,455	332,774	754	5.94%	0.013%	17.357
109	50,847,534	2,592,592	1,701	5.23%	3.34×10−3 %	19.667
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	4.66%	6.82×10−4 %	21.975
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	4.21%	2.81×10−4 %	24.283
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	3.83%	1.02×10−4 %	26.590
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	3.52%	3.14×10−5 %	28.896
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	3.26%	9.82×10−6 %	31.202
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	3.03%	3.52×10−6 %	33.507
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	2.83%	1.15×10−6 %	35.812
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	2.66%	3.03×10−7 %	38.116
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	2.51%	8.87×10−8 %	40.420
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	2.36%	4.26×10−8 %	42.725
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	2.24%	1.01×10−8 %	45.028
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	2.13%	2.82×10−9 %	47.332
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	2.03%	9.59×10−10 %	49.636
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	1.94%	3.76×10−10 %	51.939
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	1.86%	9.31×10−11 %	54.243
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	1.78%	3.21×10−11 %	56.546
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	1.71%	9.17×10−12 %	58.850
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	1.64%	3.11×10−12 %	61.153
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	1.58%	9.05×10−13 %	63.456
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	1.53%	2.99×10−13 %	65.759

Вредноста за π(10²⁴) првично била пресметана со претпоставување дека Римановата хипотеза важи; оттогаш е потврдена безусловно.

Аналогија за нередуцирани полиноми над конечно поле

Постои аналог на ТПБ што ја опишува „распределбата“ на несводливите полиноми над конечно поле; формата што ја има е неверојатно слична на случајот со класичната теорема за прости броеви.

Нека F = GF(q) е конечно поле со q елементи, за некој фиксни q. Нека N_n е бројот на монични нередуцирани полиноми над F, со степен n . Односно, гледаме полиноми со коефициенти од F, кои не можат да се напишат како производи на полиноми со помал степен. Вака, полиномите ја играат улогата на простите броеви, бидејќи сите други монични полиноми се добиваат како производи од нив. Тогаш може да се докаже тоа

$N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}.$

Да замениме со x = qⁿ, тогаш десната страна е правилна

${\frac {x}{\log _{q}x}},$

што ја прави аналогијата појасна. Бидејќи има точно qⁿ монични полиноми со n-ти степен, ги вклучуваме и редуцираните, ова може да се реформулира во: ако моничен полином од степен n е избран проивзолно, тогаш веројатноста тој да биде нередуциран е околу 1n 

Може дури и аналогот на Римановата хипотеза да се докаже, имено тоа

$N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right).$

Доказите за овие изјави се многу поедноставни отколку во класичниот случај. Секој елемент од степенот n продолжување на F е корен од некој нередуциран полином чиј степен d го дели n; со броење на овие корени на два различни начини се утврдува дека

$q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d},$

каде сумата е за сите d делители на n, Инверзијата на Möbius тогаш повлекува

$N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},$

каде μ(k) е функцијата Möbius, веќе позната на Гаус. Главниот термин се јавува кога d = n, и не е тешко да се врзат останатите членови. Исказот „Риманова хипотеза“ зависи од фактот дека најголемиот правилен делител на n не може да биде поголем од n2.

Видете исто така

• Апстрактна аналитичка теорија на броеви за информации за генерализации на теоремата.
• Ландау прости идеална теорема за генерализација на прости идеали во полињата со алгебарски броеви.
• Риманова хипотеза

Референци

• Granville, Andrew (1995). „Harald Cramér and the distribution of prime numbers“ (PDF). Scandinavian Actuarial Journal. 1: 12–28. CiteSeerX 10.1.1.129.6847. doi:10.1080/03461238.1995.10413946.
• Hardy, G.H.; Littlewood, J.E. (1916). „Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes“. Acta Mathematica. 41: 119–196. doi:10.1007/BF02422942.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1st ed. 1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, with a foreword by Andrew Wiles (6th. изд.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921985-8
• Narkiewicz, Władysław (2000), The Development of Prime Number Theory: From Euclid to Hardy and Littlewood, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-13157-2, ISBN 978-3-540-66289-1, ISSN 1439-7382

Надворешни линкови

• Hazewinkel, Michiel, уред. (2001) [1994], „Distribution of prime numbers“, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Table of Primes by Anton Felkel.
• Short video visualizing the Prime Number Theorem.
• Prime formulas and Prime number theorem at MathWorld.
• How Many Primes Are There? Archived 2012-10-15 at the Wayback Machine and The Gaps between Primes by Chris Caldwell, University of Tennessee at Martin.
• Tables of prime-counting functions by Tomás Oliveira e Silva
• Eberl, Manuel and Paulson, L. C. The Prime Number Theorem (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)
• The Prime Number Theorem: the "elementary" proof − An exposition of the elementary proof of the Prime Number Theorem of Atle Selberg and Paul Erdős at www.dimostriamogoldbach.it/en/