Природен логаритам

Природниот логаритам, порано познат како хиперболичен логаритам е логаритам со основа е, каде е е ирационален број, приближно еднаков на 2.718281828. понекогаш се нарекува и Неперов логаритам, иако вистинското значење на овој термин е малку поразлично. Со едноставни зборови, природниот логаритам од бројот x е степенот до кој мора да се дигне e за да стане еднакво на x - на пример, природен логаритам од e е еднаков на 1, бидејќи e¹ = e, додека природен логаритам од 1 е еднаков на 0, бидејќи e⁰ = 1. Природниот логаритам може да се дефинира како сите позтивни реални броеви x за површината под кривата y = 1/t од 1 до x, и може да биде дефиниран како комплексни броеви различни од нула како што е објаснето подолу.

Графикот на функцијата на природниот логаритам. Функцијата бавно расте до пизитивна бесконечност, како што x се зголемува и се движи до негативна бесконечност, како што x се приближува до 0.

Функцијата на природниот логаритам може да се дефинира и како инверзна функција на експоненцијалната функција, што води до следниве идентитети:

$e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{if }}x>0\,\!$

$\ln(e^{x})=x.\,\!$

Со други зборови, логаритамската функција е биекција од множеството на позитивни реални броеви од множеството на сите реални броеви. Попрецизно, тоа е изоморфизам од групата на позитивни реални броеви за множење со групата на реални броеви за собирање. Претставен како функција, природниот логаритам е:

$\ln :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} .$

Логаритмот има вредност за секоја вредност на основата, која е позитивен број, различен од 1 и не само e. Тој е корисен за решавање на равенки, чијашто непозната се јавува како експоненцијал.

Историја

Првото споменување на природниот логаритам било од страна на Николас Меркатор во неговото дело Логаритмотехниа (Logarithmotechnia) издадено во 1668, иако учителот по математика Џон Спајдел составил табела на природниот логаритам уште во 1619. Тој бил порано познат како хиперболичен логаритам.

Спогодба за нотација

Матемматичарите, статистичарите и некои инженери, главно користат или „log(x)“ или „ln(x)“ за да го обележат log_e(x), т.е. природниот логаритам од x и пишуваат „log₁₀(x)“ ако логаритамот има основа 10 или x е определен.

Некои инженери, биолози и други запишуваат „ln(x)“ (или во одредени случаи „log_e(x)“) кога мислат на природниот логаритам со x и „log(x)“ за log₁₀(x).

Во најупотребуваните програмски јазици, вклучувајќи ги и С, C++, MATLAB, Pascal, Fortran и BASIC, „log“ или „LOG“ се однеува на природниот логаритам.

На рачните дигитрони, природниот логаритам е означен со ln, каде log е логаритам со основа 10.

Во теориската информатика, информациската теорија и криптографијата, „log(x)“ главно значи „log₂(x)“ (иако наместо ова често се запишува lg(x)).

Зошто се нарекува природен?

Во почетокот, како што нашиот систем е десетичен, така основата 10 изгледала „поприродна“ отколку основата e. Но, математички бројот 10 не е особено значаен. Неговата примена како основа за мнопгу општествено бројчени-системи е како фактот за десетте прсти на човековите раце. Други култури ги основале своите системи на броење на изборот за 5, 12, 20 и 60.

Log_e е „природен“ логаритам, бидејќи автоматски и често се појавува во математиката. На пр. го разгледуваме проблемот на изводите од логаритамска функција:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {\log _{b}(e)}{x}}={\frac {1}{\ln(b)x}}$

Ако основата b е еднаква на e, тогаш изводот е едноставно 1/x, и за x = 1 овој извод е 1. Друго значење, во кое основата e на логаритмот е најприродна е дека може да се одредеи многу полесно со едноставен интеграл или со Тејолоровиот ред и ова не важи за другите логаритми.

Други значења н оваа природност ја отфрлаат потребата од анализа. На пример, има борјни едноставни редови, кои го вклучуваат природниот логаритам. Всушност, Пјетро Менголи и Николас Меркатор го нарекле logarithmus naturalis, неколку децении пред Њутн и Лајбниц.

Дефиниции

Ln(x) дефиниран со површината под кривата f(x) = 1/x.

Обично, ln(a) може да се дефинира со површината под графикот на 1/x од 1 до a, којшто е претставен со интегралот,

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Ова дефинира логаритам, бидејќи го задоволува основно својство на,логаритамот:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!$

Ова може да биде прикажано со замената $t={\tfrac {x}{a}}$, по што следува:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)$

Бројот e може да се дефинира како единствен реален број a, за којштоln(a) = 1.

Алтернативно, ако експоненционалната функција е дефинирана прво со примена на бесконечни редови, природниот логаритам може да биде дефиниран како неговата инверзна функција, т.е. ln(x) е функција од типот $e^{\ln(x)}=x\!$. Додека интервалот на експоненционалната функција на реални аргументи се сите позитивни броеви аи додека експоненционалната функција е растечка, ова е дефинирано за сите вредности на x.

Својства

• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\;$
• ${\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {for}}\quad h>-1\;$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$

Изводи, Тејлоров ред

Изводот од природниот логаритам е

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

Тејлоровите полиноми за $\log _{e}$(1+x) овозможуваат точни accurate приближни вредности во интервалот -1 < x ≤ 1. Се забележува дека за x > 1, Тејлоровите полиноми од повисок ред се полоши приближни вредности.

Ова води до Тејлоровиот ред за $\ln(1+x)$ околу $0$; познат и како Меркаторов ред

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad$

${\rm {unless}}\quad x=-1$

Десно е дадена слика на $\ln$$(1+x)$ и некои од меговите Тејлорови полиноми околу$0$. Овие приближни вредности конвергираат до функцијата само во интервалот -1 < x ≤ 1; надвор од овој интервал, Тејлоровите полиноми од повисок степен се полоши приближувања за функцијата.

Со замената x-1 за x, го добиваме алтернативниот облик ln(x). Имено

$\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}$

$\ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots$

${\rm {for}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\rm {unless}}\quad x=0.$

Со примената на Ојлеровата трансформација на Меркаторовиот ред, се добива следново, што важи за сите вредности на x со апсолутна вредност поголема од 1:

$\ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots$

Овој ред е сличен со Бејли-Борвејн-Плуфовата формула.

Исто така се забележува дека $x \over {x-1}$ е инверзна функција самата на себе, па за да се добие природниот логаритам од некој број y, едноставно се заменува во $y \over {y-1}$ за x.

Природниот логаритам во интегрирањето

Природниот логаритам овозможува еднсотавна интегрирање на функцијата во формата g(x) = f '(x)/f(x): неопределениот интерал од g(x) е даден со ln(|f(x)|). Ова е вака поради изводот од сложена функција и податокот дека:

$\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$

Со други збороив,

$\int {1 \over x}dx=\ln |x|+C$

и

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

Ова е пример во случајот кога g(x) = tg(x):

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

Нека f(x) = cos(x) and f'(x)= - sin(x):

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C$

каде C е константа од интегрирање.

Природниот логаритам може да биде интегриран со примена на интегрирањето по делови:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Бројчена вредност

За да се пресмета бројчената вредност на природниот логаритам од број, Тејлоровиот ред може да се запише повторно како:

$\ln(1+x)=x\,\left({\frac {1}{1}}-x\,\left({\frac {1}{2}}-x\,\left({\frac {1}{3}}-x\,\left({\frac {1}{4}}-x\,\left({\frac {1}{5}}-\ldots \right)\right)\right)\right)\right)\quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|<1.\,\!$

За да се добие подобар степен на конвергентност, може да се примени следниот идентитет.

$\ln(x)=\ln \left({\frac {1+y}{1-y}}\right)$	$=2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}y^{2}+{\frac {1}{5}}y^{4}+{\frac {1}{7}}y^{6}+{\frac {1}{9}}y^{8}+\ldots \right)$
	$=2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{3}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{5}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{7}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{9}}+\ldots \right)\right)\right)\right)\right)$

обезбедувајќи дека y = (x−1)/(x+1) и x > 0.

За ln(x) каде x > 1, поблиската вредност на x е до 1, најбрзиот степен на конвергентност. Идентитетите поврзани со логаритам може да влијаат во искористувањето на ова:

$\ln(123.456)\!$	$=\ln(1.23456\times 10^{2})\,\!$
	$=\ln(1.23456)+\ln(10^{2})\,\!$
	$=\ln(1.23456)+2\times \ln(10)\,\!$
	$\approx \ln(1.23456)+2\times 2.3025851\,\!$

Ваквите техники биле употребувани пред појавата на калкулаторите, со примена на бројчени таблици и вршејќи множења како овие горе.

Најголема точност

За да се пресмета вредноста на природниот логаритам со точност од голем број на децимали, примената на Тејлоровиот ред не е ефикасна, бидејќи конвергентноста е бавна. Алтернатива е примената на Њутновиот метод за пресметување на експоненцијалната функција, чијшто ред ковергира многу побрзо.

Алтернатива за екстремно точна пресметка е формулата ^{[се бара извор]}

$\ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2$

каде M е аритметичко-геометриска средина и

$s=x\,2^{m}>2^{p/2},$

со m избрано така шшто p точноста е постигната. (За најмногу резултати, вредноста на 256 m е доволна.) Всушност, ако се применува овој метод, Њутновата инверзија на природниот логаритам може да се користи за делотворно да се експоненцијалната функција. (Константите ln 2 и π може да се пресметаат до точност по желба со примена на некој од познатите конвергирачки редови.)

Пресметковна сложеност

Погледајте ја главната статија: Комплексност на математичките операции

Комплексноста од пресметувањето на природниот логаритам (со примена аритметичко-геометриската средина) iе O(M(n) ln n). Овде n е број на цифри со точност на која природниот логаритам се проценува и M(n) е комплексноста од множењето на два n-0цифрени броеви.

Комплексни логаритми

Главна статија: Комплексен логаритам

Експоненционалната функција може да се пшротега до функција даена со комплексен број како e^x за секој комплексен број x; едноставна примена на бесконечните редови со комплексниот број x. Експоненцијалната функција може да биде сведена во облик на комплексен логаритам кој прикажува најмнопгу од својствата на редниот логаритам. Во ова има две тешкотии: ниту едно x нема e^x = 0; и дека e^2πi = 1 = e⁰. Додека својствата на множење сѐ уште работат за комплексна експоненцијална функција, e^z = e^z+2nπi, за сите комплексни z и цели броеви n.

Така, логаритамот не може да се дефинира за цела комплексна рамнина и дури тогаш кога е со повеќе вредности, секој логаритам може да биде променет во „еквивалентен“ логаритам со додавање на цел број омножен со 2πi. Комплексниот логаритам може да биде со една вредност на комплексната рамнина. На пример, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, итн.; и иако i⁴ = 1, 4 log i може да се дефинира како 2πi или 10πi или −6 πi итн.

Поврзано

• Џон Непер - изумител на логаритмите
• Интегрален логаритам
• Николас Меркатор - прв го употребил терминот природен логаритам
• Полилогаритам
• Фон Манголтова функција
• Бројот e

Надворешни врски

• Demystifying the Natural Logarithm (ln) | BetterExplained