Сфера

Сфера (грчки: σφαῖρα — „топка“) — совршено тркалезно геометриско тело. Како и кај кружницата (во две димензии), сферата претставува множество точки, сите подеднакво оддалечени (r) од дадена точка во просторот. Растојанието r е полупречник на кружницата, а дадената точка е нејзиниот центар. Најголемото растојание помеѓу две точки на сферата се нарекува пречник. Тој минува низ центарот, и така е еднаков на два полупречника.

Перспективна проекција на сфера во две димензии

Геометријата прави разлика помеѓу сфера (која е впрочем дводимензионална затворена површина вметната во тридимензионален простор) и топка, која е вистинско тридимензионално тело бидејќи го вклучува и внатрешниот простор на сферата.

Сферата е ротациона површина, т.е. се добива со ротација на полукружница околу дијаметарот. Растојанието од центарот на сферата до дадената рамнина Σ се вика централно растојание на рамнината и сферата. Ако тоа растојание е еднакво на радисуот на сферата, тогаш сферата и рамнината имаат една заедничка точка, па рамнината ја допира сферата и се вика тангентна рамнина. Ако растојанието, пак, е помало од радиусот на сферата, тогаш рамнината ја сече сферата, а пресекот на сферата со рамнина е кружница. Ако рамнината минува низ центарот на сферата, тогаш пресекот е најголемата кружница и тогаш сферата е поделена на две полусфери. Ако, пак, рамнината Σ ја сече сферата, но не минува низ центарот, тогаш сферата е поделена на два нееднакви дела при што секој од нив се вика калота. Вообичаено, како калота се смета помалиот дел од сферата. Делот од сферата што е зафатен меѓу два паралелни пресеци се вика појас или зона. Растојаниеот меѓу двата паралелни пресеци е висина на појасот.

Основни формули

Плоштина на сфера се пресметува со следнава формула:

$S=\ 4\pi r^{2}=\pi d^{2}.$

Плоштина на појасот на сфера се пресметува со следнава формула:

$S=\ 2\pi rH.$

Волуменот на сфераata (топка) се пресметува според формулата:

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Површината на отсечокот на сферата се пресметува според формулата:

$s=\ 2\pi rH=2\pi r^{2}(1-\cos(\alpha ))$ , каде H е висината на отсечокот, а $\alpha$ е зенитниот агол

Сферата во тридимензионален простор

Равенката

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=R^{2},$

каде $(x_{0},y_{0},z_{0})$ се координатите на центарот на сферата, а $R$ е полупречникот.

Параметарска равенка на сфера со центар во точката $(x_{0},y_{0},z_{0})$:

${\begin{cases}x=x_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \phi ,\\y=y_{0}+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \phi ,\\z=z_{0}+R\cdot \cos \theta ,\\\end{cases}}$

каде $\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$ и $\phi \in [0,2\pi ).$

Делови на сферата

Сферата се дели на две подеднакви „полусфери“ кога низ нејзиниот центар минува рамнина. Доколку низ центарот се сечат две рамнини, тогаш тие ја делат на два двоаголника (а топката на два „сферни клина“). Ако потсечеме една топка, добиваме одвоен дел наречен „калота“ (капа). Ако сферата ја сечат две рамнини, делот меѓу нив ќе биде „појас“, а во случај на топка, ќе биде „слој“.

Отсечката чии крајни точки се центарот на сферата и која било точка од сферата се вика радиус на сферата. Отсечката, пак, чии крајни точки се кои било две точки од сферата се вика тетива. Тетивата што минува низ центарот на сферата се вика дијаметар.

Воопштување на сферата

Главна статија: n-сфера

Сферата може да се воопшти на колку било димензии. За секој природен број n постои „n-сфера“, (се запишува Sⁿ), која е множество од точки во (n + 1)-димензионален простор на подеднакво растојание r од централната точка во просторот, каде r е, како и претходно, позитивен реален број. Поконкретно:

• 0-сферата е пар од крајни точки на интервал (−r, r) на реалната бројна оска
• 1-сферата е кружница со полупречник r
• 2-сферата е обична сфера
• 3-сферата е сфера во четиридимензионален Евклидов простор.

Сферата каде n > 2 се нарекува и хиперсфера.

Сферна геометрија

Голема кружница на сфера

Главна статија: Сферна геометрија

Основните елементи на планиметријата се точката и линијата. Кај сферата, точките се дефинираат исто, но линиите се поинакви. Ако мериме по лачна должина, најкраткиот пат што поврзува две точки што лежат на сферата е дел од голема кружница што ги содржи тие две точки. За сферата важат многу теореми од класичната геометрија, но има многу што не важат (погл. аксиома за паралелноста). Во сферната тригонометрија, аглите се сместени помеѓу големи кружници, па затоа по многу нешта се разликува од обичната тригонометрија. На пример, збирот од внатрешните агли на сферниот триаголник е поголем од 180 степени. Исто така, секои два слични сферни триаголника се складни.

Единаесет својства на сферата

Во делото „Геометријата и вообразбата“ Давид Хилберт и Стефан Кон-Фосен даваат единаесет својства. Неколку од нив важат и за рамнина, која може да се замисли како сфера со бесконечен полупречник. Својствата се следниве:

1. Точките не сферата се подеднакво оддалечени од дадената точка. Воедно, соодносот на оддалеченоста на точките од две дадени точки е непроменлив.
2. Контурите и рамнинските пресеци на сферата се кружници.
3. Сферата има постојана широчина и обем.
4. Сите точки на сферата се точки на заокруженост.
5. Сферата нема жаришни површини.
6. Сите геодетски линии на сферата се затворени криви.
7. Од сите тела при даден волумен, сферата има најмала плоштина; од сите тела при дадена плоштина, сферата има најголем волумен.
8. Сферата има најмала вкупна средна закривеност од сите конвексни тела при дадена плоштина.
9. Сферата има постојана средна закривеност.
10. Сферата има постојана позитивна Гаусова закривеност.
11. Сферата се трансформира сама во себе со трипараметарски несвитливи движења.

Поврзано

• Топка (геометрија)
• Сфероид
• Коцка
• Квадар
• Закривеност
• Сферни координати
• n-сфера
• Хиперсфера
• Дајсонова сфера
• Риманова сфера
• Просторен агол

Наводи

• William Dunham. стр. 28, 226, The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities, ISBN 0-471-17661-3.

Надворешни врски

• Пресметајте волумен на сфера Архивирано на 29 септември 2011 г. (англиски)
• Сфера - PlanetMath (англиски)
• „Сфера“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)