Хиперсфера или n-сфера – во геометријата генерализација на сфера во Евклидов простор од која било димензија. Еден од наједноставните примери е сфера од n-та димензија или n-сфера, поточно хиперплоштина на Евклидов простор , со општа ознака .

Хиперсфера во Евклидов простор со димензија 3, е сфера во вообичаена смисла.


ДефиницијаУреди

Нека E е Евклидов простор со димензија n + 1, A точка во E, и R реален број стриктно позитивен. Множеството точки M чие растојание до A е R се нарекува хиперсфера со центар A и полупречник R.

Со дадени афини репери, можно е со транслација, со што воопшто не се менуваат геометриските својства, хиперсферата да се центрира во почетокот, чија равенка ќе биде:

 .

На пример :

  • за n = 0, хиперсферата се состои од две точки на апсцисата R и –R ;
  • за n = 1, хиперсферата е круг ;
  • за n = 2, хиперсферата е сфера во вообичаена смисла.

СвојстваУреди

ЗафатнинаУреди

За зафатнина на просторот определен со хиперсфера со димензија n – 1 и полупречник R, што е Евклидова топка од n-та димензија, важи :

 ,

каде   е гама-функција. Конкретно :

n парни n непарни
     

Во следната табела се дадени вредностите за зафатнина на првите 8 топки со димензија n и полупречник 1:

n Зафатнина
точна приближна
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    
8    

Зафатнината на една таква топка е максимална за n = 5. За n > 5, зафатнината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула:

 .

Хиперкоцка опишана околу единична хиперсфера има рабови со должина 2 и зафатнина 2n. Односот меѓу зафатнините на топка и впишана хиперкоцка е опѓачка во функција од n.

ПлоштинаУреди

Плоштината на хиперсфера со димензија n-1 и полупречник R може да се определи вадејќи извод во однос на полупречникот R од зафатнината Vn :

 .
 .
n парен n непарен
     

Значи плоштината на единичната n-сфера   е:

 

Следната табела ги дава вредностите за плоштина на првите 7 n-сфери со полупречник 1:

n Плоштина на  
точна приближна
1    
2    
3    
4    
5    
6    
7    

Плоштината на единична n-сфера е максимална за n = 6. За n > 6, плоштината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула :

 .

ПоврзаноУреди