Хиперсфера

Хиперсфера или n-сфера – во геометријата генерализација на сфера во Евклидов простор од која било димензија. Еден од наједноставните примери е сфера од n-та димензија или n-сфера, поточно хиперплоштина на Евклидов простор $\mathbb {R} ^{n+1}$ , со општа ознака $\mathbb {S} ^{n}$ .

Дефиниција

Нека E е Евклидов простор со димензија n + 1, A точка во E, и R реален број строго позитивен. Множеството точки M чие растојание до A е R се нарекува хиперсфера со центар A и полупречник R.

Со дадени афини репери, можно е со транслација, со што воопшто не се менуваат геометриските својства, хиперсферата да се центрира во почетокот, чија равенка ќе биде:

\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}^{2}=R^{2}

.

На пример :

за n = 0, хиперсферата се состои од две точки на апсцисата R и –R ;
за n = 1, хиперсферата е круг ;
за n = 2, хиперсферата е сфера во вообичаена смисла.

Својства

Зафатнина

За зафатнина на просторот определен со хиперсфера со димензија n – 1 и полупречник R, што е Евклидова топка од n-та димензија, важи :

V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}

,

каде $\Gamma$ е гама-функција. Конкретно :

	n парни	n непарни
$V_{n}$	${\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}$	$2^{(n+1)/2}{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}}$

Во следната табела се дадени вредностите за зафатнина на првите 8 топки со димензија n и полупречник 1:

n	Зафатнина
n	точна	приближна
1	$2$	$2$
2	$\pi$	$3{,}14159$
3	${\frac {4}{3}}\pi$	$4{,}18879$
4	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	$4{,}93480$
5	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	$5{,}26379$
6	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	$5{,}16771$
7	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	$4{,}72478$
8	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$	$4{,}05871$

Зафатнината на една таква топка е максимална за n = 5. За n > 5, зафатнината опаѓа кога n расте и нејзината гранична вредност во бесконечност е нула:

\lim _{n\to \infty }V_{n}=0

.

Хиперкоцка опишана околу единична хиперсфера има рабови со должина 2 и зафатнина 2ⁿ. Односот меѓу зафатнините на топка и впишана хиперкоцка е опѓачка во функција од n.

Плоштина

Плоштината на хиперсфера со димензија n-1 и полупречник R може да се определи вадејќи извод во однос на полупречникот R од зафатнината V_n :

S_{n-1}={\frac {dV_{n}}{dR}}={\frac {nV_{n}}{R}}={2\pi ^{n/2}R^{n-1} \over \Gamma (n/2)}

.

S_{n}={2\pi ^{(n+1)/2}R^{n} \over \Gamma ((n+1)/2)}

.

	n парен	n непарен
$S_{n}$	$2^{(n/2)+1}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}}$	${\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}R^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}$

Значи плоштината на единичната n-сфера $\mathbb {S} ^{n}$ е:

{2\pi ^{(n+1)/2} \over \Gamma ({n+1 \over 2})}~.

Следната табела ги дава вредностите за плоштина на првите 7 n-сфери со полупречник 1:

n	Плоштина на $\mathbb {S} ^{n}$
n	точна	приближна
1	$2\pi$	$6{,}28318$
2	$4\pi$	$12{,}56637$
3	$2\pi ^{2}$	$19{,}73920$
4	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$26{,}31894$
5	$\pi ^{3}$	$31{,}00627$
6	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	$33{,}07336$
7	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	$32{,}46969$