Равенка

Равенка е математички израз со една или повеќе променливи величини наречени непознати^[1] Равенката изгледа како равенство, но има многу поинаква смисла и значење: Равенството е исказ што вели дека левата и десната страна на знакот за равенство (=) се истоветни или претставуваат ист математички објект. Пример за равенство би бил 2 + 2 = 4. Равенката пак, не е исказ, туку проблем кој бара наоѓање на вредностите, т.е. решение. Кога непознатите ќе се решат (заменат со точните вредности), равенката станува равенство. На пример, 2 е решението на равенката x + 2 = 4, каде непозната е x.

Првата употреба на знакот за равенство. Запишана на современ начин, равенката би гласела:

14x+15=71

Равенка може да значи и заемен однос на некои променливи што се изразува со равенствата на вредностите на нивните изрази. На пример, равенката на единичната кружница гласи x² + y² = 1, што значи дека точката ѝ припаѓа на кружницата ако и само ако нејзините координати се во однос во оваа равенка. Со вакви равенки се претставуваат законите на физиката. Меѓу најпрепознатливите е Ајнштајновата равенка за еднаквост на масата и енергијата „E=mc²“.

Изумител на симболот „=“ е велшкиот математичар Роберт Рекорд, кој го претставил во делото „Острило за умот“ (1557).^[2] Рекорд сметал дека ништо не може да биде поеднакво од две напоредни отсечки со иста должина.

Едноставен пример за равенка:

134 + х = 567 (a + x = b)

Решаваме:

567 - 134 = х (b - a = x)

х = 433

Проверуваме:

134 + 433 = 567 (a + x = b)

567 = 567

Со решавање на равенката, таа преминува во равенство.^[1]

Параметри и непознати

Илустрација на графичкиот метод на решавање на равенката

x=f(x)

Равенката содржи и други променливи освен непознатите. Овие можат да се наречат „познати“, „постојани“ (константи), „коефициенти“ или „параметри“. Непознатите се означуваат со последните букви од латиницата како x, y, z, w, …, додека пак коефициентите се бележат со букви од почетокот како a, b, c, d итн. На пример, општата квадратна равенка обично се запишува како ax² + bx + c = 0. Наоѓањето на решението, или во случај на параметри, изразување на непознатите со параметри се нарекува решавање на равенката.

Систем на равенки е склоп од истовремени равенки (обично со неколку непознати) за кои се бара заедничко решение. Така, решение на системот е склоп на вредности (по една за секоја непозната), кој е решение за секоја равенка од системот. На пример, системот

{\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}

го има единственото решение x = -1, y = 1.

Видови на равенки

Равенките се делат според видовите на операции и величини. Поважни видови на равенки се:

алгебарска равенка или полиномна равенка — каде обете страни се полиноми . Овие понатаму се делат според степенот:
- линеарна равенка (прв степен)
- квадратна равенка (втор степен)
- кубна равенка (трет степен)
- квартна равенка (четврти степен)
- квинтна равенка (петти степен)
Диофантова равенка — каде непознатите мора да бидат цели броеви
трансцендентна равенка — со трансцендентна функција на непознатите
параметарска равенка — чии решенија се функции на некои други променливи, што се јавуваат во равенките како параметри
функционална равенка — каде непознатите се функции наместо едноставни величини
диференцијална равенка — равенка со изводи на непознатите функции
интегрална равенка — функционална равенка со примитиви на непознатите функции
интегродиференцијална равенка — функционална равенка, каде и изводите и примитивите се непознати функции
диференцна равенка — равенка каде непознаатата е функција f што се јавува во равенката во склоп на f(x), f(x-1), ..., f(x-k), за даден цел број наречен „ред“ на ревенката. Ако x мора да биде цел број, тогаш диференцната равенка ќе биде истоветна на рекурентна релација

Идентитети

Идентитет е исказ сличен на равенка што е точен (вистинит) за сите можни вредности на променливите што ги содржи. Познати се многу идентитети, особено во тригонометријата. Веројатно најпознат пример е: $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1,$ , кој е точен за сите вредности на θ.

При решавање на некоја равенка, таа може да се здружи со идентитет за да се добие равенка која е полесна за решавање. На пример, за да ја решимне равенката:

3\sin(\theta )\cos(\theta )=1,

каде се знае дека θ изнесува помеѓу 0 и 45 степени,

го применуваме идентитетот: $\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta ),$ со што равенката станува:

{\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1

Оттука:

\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right),

што дава околу 20,9 степени.

Својства

Две равенки или два система се „еквивалентни“ ако имаат ист збир решенија. Претворањето на една равенка (или систем) во еквивалента се врши со следниве операции:

собирање или одземање на истата величина на двете страни од равенката. Од ова се гледа дека секоја равенка е еквивалентна на равенка чијашто десна страна е нула.
множење или делење на двете страни на равенката со ненуларна постојана.
примена на идентитет за претворање на една страна од равенката. На пр. со разложување на производ или со факторирање на износ.
кај системите: на двете страни им се придодаваат соодвените страни од друга равенка, помножено со истата величина.

Графикон на равенка со две променливи

Решенијата на равенката со две променливи може да се прикажат и графички. Притоа, графиконот на равенката со две променливи, x и y, е множеството на сите точки во рамнината кои се решенија на равенката. На пример, графиконот на линеарната равенка со две непознати 3x + y = 7 се добива така што на правоаголен координатен систем ќе се поврзат сите подредени парови од решенијата на равенката, кои пак се координати на точките во координатниот систем. На пример, ако за горната равенка се поврзат точките кои се решенија на равенката, да речеме, точките: (0, 7), (1, 4), (2, 1), (3, -2), (4, -5 ) итн., тогаш ќе се добие права линија која го претставува множеството на сите решенија на равенката. Оттука, може да се забележи дека равенката има бесконечно многу точки, односно бесконечно многу решенија. Се разбира, графички може да се претстават и решенијата на равенки со две непознати од повисок степен (нелинеарни равенки). На пример, ако се поврзат точките кои ги претставуваат решенијата на равенката y = x² -2, како што се точките: (-2, 2), (-1, 1), (0, -2), (1, -1), (2, 2) итн., тогаш ќе се добие крива линија (парабола) која претставува бесконечно множество од сите решенија на равенката.^[3]

При графичкото претставување на решенијата на равенките со две непознати може да се најдат точките (решенијата на равенката) кај кои едната координата (на апсцисата или на ординатата на координатниот систем) е еднаква на нула. Овие решенија ги претставуваат пресечните точки на оските на координатниот систем, зашто тие ги претставуваат точките во кои графиконот (множеството на решенијата на равенката) ја сече апсцисата или ординатата. Притоа:^[4]

точката (a, 0) ја претставува точката во која графиконот на равенката ја сече хоризонталната оска (апсцисата)
точката (0, b) ја претставува точката во која графиконот на равенката ја сече вертикалната оска (ординатата)

Поврзано

Наводи

↑ ^1,0 ^1,1 „равенка“ - Дигитален речник на македонскиот јазик
↑ Robert Recorde, The Whetstone of Witte, London 1557, стр. 238
↑ Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, David E. Heyd, Finite Mathematics. D. C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts and Toronto, 1991, стр. 30.
↑ Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, David E. Heyd, Finite Mathematics. D. C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts and Toronto, 1991, стр. 32.

Надворешни врски

Македонски

Решавање на линеарни равенки со една непозната — skoool.mk
Решавање на линеарни равенки со две непознати — skoool.mk
Решавање на квадратни равенки — skoool.mk
Решавање равенки со метод на проценка — skoool.mk
Диофантови равенки Архивирано на 26 април 2012 г. — „Математика за сите“
http://pees.etf.ukim.edu.mk/predmeti/kmee/nastava/predavanja/kmee05_hand.pdf Архивирано на 6 март 2016 г. Решавање на диференцијални равенки - ПЕЕС при ФЕИТ
Диференцијални и диференцни равенки, равенки на состојба, Фуриеовa преобразба, Лапласова преобразба и друго^{[мртва врска]} - Технички факултет при Универзитет „Свети Климент Охридски“ — Битола

Странски

EqWorld — Решенија и постапки за многу разни видови на равенки (англиски) (руски) (германски) (француски) (италијански) (шпански)
„Равенка“ (уравнение) — Математичка енциклопедија, И.М. Виноградов (1977-1985) (руски)

[:0-1] 1,0 ^1,1 „равенка“ - Дигитален речник на македонскиот јазик

[2] Robert Recorde, The Whetstone of Witte, London 1557, стр. 238

[3] Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, David E. Heyd, Finite Mathematics. D. C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts and Toronto, 1991, стр. 30.

[4] Roland E. Larson, Bruce H. Edwards, David E. Heyd, Finite Mathematics. D. C. Heath and Company, Lexington, Massachusetts and Toronto, 1991, стр. 32.

[1]

[2]

[3]

[4]