Линеарна равенка
Во математиката, линеарна равенка е полиномна равенка од прв степен. Истата може да има 1, 2, 3, или повеќе променливи. Меѓутоа, бидејќи е полином од прв степен, секој член од равенката е или константа или константа по променлива (без никакви експоненти).[1][2][3]
На пример: , А≠0 е линеарна равенка во една променлива х. Коефициентите А и В се константи, односно при работа се заменуваат со конкретни реални броеви, а останува само x како променлива.
Зборот линеарна се однесува на тоа дека степенот на полиномот е еден, а не на графиконот на множеството решенија на равенката. На пример, 3x=6 e линеарна равенка во една променлива со решение х=2, т.е. точка на бројната оска. Множеството решенија на линеарна равенка во две променливи е права во рамнина (2-димензионален простор), а множеството решенија на линеарна равенка во три променливи е рамнина во простор (3-димензионален простор). Множеството решенија на линеарна равенка во повеќе од три променливи е т.н. (n-1)-димензионална хиперрамнина во n-димензионален хиперпростор (што значи дека не можеме да го цртаме).[4]
Забелешка: Линеарна равенка во 2 променливи е линеарна функција (во стандарден облик), па поради тоа честопати доаѓа до заблуда помеѓу поимите.
Линеарни равенки и нивни решенија | ||
---|---|---|
Една променлива х | Две променливи х и у | Три променливи х, у и z |
А ≠0 |
А, B ≠0 |
А, B, C ≠0 |
2x=6 | -x+2y=6 | 3x-2y+3z=6 |
точка на бројна оска | права во рамнина | рамнина во 3Д простор |
Множеството решенија на една линеарна равенка го дели „просторот“ на две полупростори: Во првиот пример бројот х=3 ја дели бројната оска на два дела (лево од х=3 и десно од х=3), во вториот пример правата -x+2y=6 ја дели рамнината на два дела (над и под правата) и во третиот пример рамнината 3x-2y+3z=6 го дели тридимензионалниот простор на два дела (лево и десно од жолтата рамнина. Ова својство се користи при решавање на линеарни неравенки.
Поформално, линеарнa равенкa во n променливи x1, x2, ..., xn е имплицитна зададена функција A1x1+A2x2+...+An-1xn-1+Bxn=C, која може на единствен начин да се напише во експлицитен облик xn:Rn-1 → R каде што xn=1⁄B(C-A1x1+A2x2+...+An-1xn-1).
Векторски облик на линеарна равенка во n променливи е: односно .
Означување: Во зависност од дисциплината во која се работи, во општата равенка, константниот коефициент може да се појави од десната страна (како тука) или од левата страна, т.е. наместо се пиши . Ова е само формална разлика, но при работа треба да се внимава кој облик е користен при одредување на вредноста, односно знакот на константниот коефициент.
Забелешка: Решението на систем n линеарни равенки во n променливи (непознати) е секогаш точка во n-димензионален простор (доколку системот е доследен), т.е. систем 1 линеарна равенка во 1 непозната е точка на бројната оска, систем 2 линеарни равенки во 2 непознати е пресек на две прави, т.е. точка во рамнина (најпознатиот случај), а систем 3 линеарни равенки во 3 непознати е пресек на три рамнини, т.е. точка во простор. Види:Систем линеарни равенки.
Дефиницијата на линеарна равенка може да се обопштува до полето на комплексни броеви. На пример 3z+2i=6-i е линеарна равенка во една комплексна променлива, при што решението е комплексниот број: z=2-i.[5]
Наводи
уреди- ↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 479. Посетено на 1 септември 2013.
- ↑ Weisstein, Eric W. „Linear Equation“ (англиски). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Посетено на 1 септември 2013.
- ↑ Stapel, Elizabeth. „"Solving One-Step Linear Equations"“ (англиски). Purplemath. Посетено на 1 септември 2013.
- ↑ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics“ (PDF) (англиски). Addison-Wesley. стр. 542. Посетено на 1 септември 2013.
- ↑ „Complex Linear Equation“ (англиски). SeeTheSolutions. Архивирано од изворникот на 2013-02-09. Посетено на 1 септември 2013.
Поврзани теми
уредиНадворешни врски
уреди- Стојановска, Л. (2010). „Линеарна равенка“. Архивирано од изворникот на 2013-02-28. Посетено на 1 септември 2013. (со примери)