Петнаесетаголник

Петнаесетаголник — многуаголник со петнаесет темиња и петнаесет страни.

Правилен петнаесетаголник
Правилен петнаесетаголник
Вид	правилен многуаголник
Рабови и темиња	15
Шлефлиев симбол	{15}
Коксетер–Динкинови дијаграми
Група на симетрија	диедарска (D15), ред 2×15
Внатрешен агол	156°
Својства	испакнат, впишан, рамностран, изогонален, изотоксален

Правилен петнаесетаголник

Правилниот петнаесетаголник е петнаесетаголник кај кого сите страни се со еднакви должини и сите внатрешни агли се еднакви.

Внатрешните агли на правилен петнаесетаголник имаат по 156° (степени), а збирот на сите внатрешни агли на кој било петнаесетаголник изнесува 2340°.

Ако основната страна на правилниот петнаесетаголник е со должина $a\,\!$, неговата површина ќе биде дадена со формулата:

$P={\frac {15}{4}}a^{2}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{15}}={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\approx 17{,}6424a^{2}$.

Ако $R$ - е полупречник на опишаната кружница, а
$r$ - полупречник на впишаната кружница, тогаш важи:

$R={\frac {a}{4}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$, и
$r={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$.

Периметарот на петнаесетаголник чија страна е со должина $a\,\!$ е еднаков на $15a\,\!$.

Конструкција

Правилен петнаесетаголник може да се конструира со помош на линијар и шестар. Следнава анимација ја илустрира чекор по чекор конструкцијата на правилен петнаесетаголник, конструкција која Евклид ја навел во својата четврта книга ‘’Елементи’’.

Анимиран приказ на конструкција на петнаесетаголник со помош на шестар и линијар

Поврзано

• Многуаголник
• Правилен многуаголник

Надворешни врски

• Петнаесетаголник на Mathworld
• Конструкција на петнаесетаголник