Момент на инерција

Моментот на инерција, инаку познат како аголна маса или вртежна инерција, на цврсто тело е тензор кој го одредува моментот на силата потребен за саканото аголно забрзување околу вртежната оска; слично како масата ја одредува силата потребна за посакуваното забрзување. Тоа зависи од распределбата на масата на телото и одбраната оска, со поголеми моменти кои бараат поголем вртежен момент за промена на стапката на ротација на телото. Тоа е екстензивно (адитивно) својство: за точка маса маса на инерција е само маса на квадрат на нормално растојание до оската на вртење. Моментот на инерција на композитниот систем на кругот е збирот на моментите на инерција на нејзините составни потсистеми (сите земени за истата оска). Неговата наједноставна дефиниција е вториот момент на маса во однос на растојанието од оската. За ограничените тела да се ротираат во рамнина, важно е само нивниот момент на инерција околу оската нормална на рамнината, скаларната вредност. За телата кои слободно можат да ротираат во три димензии, нивните моменти може да се опишат со симетрична 3 × 3 матрица, со множество на меѓусебно нормални главни оски за кои оваа матрица е дијагонална, а вртежите околу оските делуваат независно еден од друг.

Момент на инерција
Замајците имаат големи моменти на инерција за да го ублажат механичкото движење. Овој пример е во рускиот музеј.
Симболи	I
SI-единица	kg m2
Други единици	lbf·ft·s2
Димензија	M L2
Екстензивна?	да
Изведенки од други величини	$I={\frac {L}{\omega }}$

Пешаци на јаже го користат моментот на инерција на долги прачки за рамнотежа додека одат по јажето. Семјуел Диксон ја преминува реката Нијагара во 1890 година.

Вовед

Кога телото може слободно да ротира околу оска, мора да се примени вртежен момент за да се смени аголниот момент. Количината на вртежен момент што е потребна за да предизвика било кое аголно забрзување (стапката на промена на аголната брзина) е пропорционална на моментот на инерција на телото. Момент на инерција може да се изрази во единици од килограм метар квадрат (kg·m²) во единици на SI и квадратни (квадратни-секунди) квадратни (lbf · ft · s2) во империјални или американски единици.

Моментот на инерција ја игра улогата во вртежната кинетика што масата (инерција) игра во линеарна кинетика - и го карактеризираат отпорноста на телото на промени во движењето. Моментот на инерција зависи од тоа колку масата се дистрибуира околу оската на вртење и ќе варира во зависност од избраната оска. За маса-како маса, моментот на инерција околу некоја оска е даден со $mr^{2}$, каде што r е растојанието од точката од оската, и m е масата. За проширено цврсто тело, моментот на инерција е само збир на сите мали парчиња маса помножени со квадратот на нивните растојанија од оската за која станува збор. За проширено тело со редовна форма и еднаква густина, оваа збирка понекогаш произведува едноставен израз кој зависи од димензиите, обликот и вкупната маса на објектот.

Во 1673 година, Кристијан Хајгенс го претстави овој параметар во неговата студија за осцилацијата на едно тело висечко од столб, познато како соединето нишало. Терминот момент на инерција бил воведен од Леонард Ојлер во неговата книга Theoria motus corporum solidumum seu rigidorum во 1765, и е вграден во вториот закон на Ојлер.

Природната честота на осцилација на сложеното нишало се добива од односот на вртежниот момент наметнат од гравитацијата врз масата на нишалото до отпорноста на забрзувањето дефинирана со моментот на инерција. Споредба на оваа природна честота со онаа на едноставното нишало кое се состои од една единствена точка на маса обезбедува математичка формулација за момент на инерција на проширено тело.

Моментот на инерција, исто така, се појавува во моментот на импулсот, кинетичката енергија и во Њутновите закони на движење за круто тело како физички параметар кој ги комбинира својата форма и маса. Постои интересна разлика во начинот на кој моментот на инерција се појавува во рамни и просторно движење. Плодното движење има еден скалар кој го дефинира моментот на инерција, додека за просторно движење истите пресметки даваат матрица од 3 × 3 моменти на инерција, наречена инерцијална матрица или инертен тензор.

Моментот на инерција на вртечкиот замаец се користи во машина за да се спротивстави на промените во применетиот вртежен момент за да се изедначи вртежното производство. Моментот на инерција на авионот околу неговата надолжна, хоризонтална и вертикална оска определува како управувачките сили на контролните површини на нејзините крила, лифтови и опашка влијаат на рамнината во тркалање, висина и виткање.

Дефиниција

Уметничките лизгачи може да го намалат моментот на инерција со повлекување на нивните раце, што им овозможува да се вртат побрзо поради зачувувањето на импулсот.

Податотека:25. Вртежен стол.ogv

Видео со вртежен стол, на кое е прикажано зачувувањето на моментот на импулсот. Кога професорот кој се врти ги вовлекува рацете , неговиот момент на импулсот се намалува, а за да се запази аголниот момент на импулсот, неговата аголна брзина се зголемува.

Моментот на инерција ${\displaystyle I}$ е дефиниран како однос на моментот на импулсот $L$ на системот на неговата аголна брзина $\omega$ околу главната оска, што е:

${\displaystyle I={\frac {L}{\omega }}.}$

Ако аголниот моментум на системот е константен, тогаш кога моментот на инерција станува помал, аголната брзина мора да се зголеми. Ова се случува кога вртењето на лизгачите се повлекува во нивните раширени раце или нуркачите ги закопуваат нивните тела во позиција за навивање за време на нуркање, за да се вртат побрзо.

Ако обликот на телото не се промени, тогаш неговиот момент на инерција се појавува во Њутновиот закон на движење како однос на применетиот вртежен момент $\tau$ на телото до аголното забрзување $\alpha$ околу главната оска, што е

$\tau =I\alpha$.

За едноставно нишало, оваа дефиниција дава формула за моментот на инерција $I$ во однос на масата $m$ на матичниот агол и нејзиното растојание $r$ од клучната точка како,

$I=mr^{2}$.

Така, моментот на инерција зависи од масата $m$ на телото и неговата геометрија или форма, како што е дефинирано со растојанието $r$ на оската на вртење.

Оваа едноставна формула е генерализирана за да го дефинира моментот на инерција на произволно обликуваното тело како збир на сите елементарни точки маси $dm$ секој помножен со квадратот на нејзиното нормално растојание $r$ на оската $k$.

Општо земено, со оглед на објект на маса $m$, делотворен полупречник $k$ може да се дефинира за оската преку нејзиниот центар на маса, со таква вредност дека нејзиниот момент на инерција е

$I=mk^{2}$,

каде $k$ е познат како жироскопски полупречник.

Примери

Едноставно нишало

Моментот на инерција може да се мери со едноставно нишало, бидејќи тоа е отпорност на ротација предизвикана од гравитацијата. Математички, моментот на инерција на нишалото е односот на вртежниот момент кој се должи на гравитацијата околу вртењето на нишалото до неговото аголно забрзување околу таа точка на вртење. За едноставно нишало, ова е резултат на производ на масата на честичката $m$ со квадратот на растојанието $r$ на клучот, што е

$I=mr^{2}$.

Ова може да се прикаже на следниов начин: Силата на гравитацијата на масата на едноставното нишало генерира вртежен момент $\tau =r\times F$ околу оската нормална на рамнината на движењето на нишалото. Тука $r$ е векторот на растојанието, нормалниот кон и од силата на оската на вртежниот момент, и $F$ сила на масата. Поврзан со овој вртежен момент е аголно забрзување, $\alpha$, на низата и масата околу оваа оска. Бидејќи масата е ограничена на круг, тангентното забрзување на масата е $a=\alpha \times r$. Бидејќи $F=ma$:

$\tau =r\times F=r\times (m\alpha \times r)=m((r\cdot r)\alpha -(r\cdot \alpha )r)=mr^{2}\alpha =I\alpha k,$

каде $k$ е единичен вектор нормален на рамнината на нишалото. (Вториот до последен чекор ја користи векторското тројно проширување на производот со нормалност на $\alpha$ и $r$) Количината $I=mr^{2}$ е момент на инерција на оваа единствена маса околу точка на вртење.

Количината $I=mr^{2}$ се појавува и во аголниот момент на едноставно нишало, кое се пресметува од брзината $v=\omega \times r$ на масата на нишалото околу оската, каде што $\omega$ е аголната брзина на масата околу точка на вртење. Овој аголен импулс е даден од

$\tau =r\times p=r\times (m\omega \times r)=m((r\cdot r)\omega -(r\cdot \omega )r)=mr^{2}\omega =I\omega k,$

користејќи слични деривации на претходната равенка.

Слично на тоа, кинетичката енергија на масовната низа е дефинирана со брзината на нишалото околу вртењето за да се добие

$Ek=1/2(mv)\cdot v=1/2(mr^{2})\omega =1/2(I\omega ^{2})$.

Ова покажува дека количината $I=mr^{2}$ е како масата се комбинира со обликот на телото за да се дефинира вртежната инерција. Моментот на инерција на произволно обликуваното тело е збирот на вредностите $mr^{2}$ за сите елементи на масата во телото.

Физичко нишало

Нишала употребени во Менденхаловиот апарат за гравиметрија, објавен во научно списание од 1897 година. Преносливиот гравиметер развиен во 1890 година од страна на Томас К. Менденхал обезбеди најточни релативни мерења на локалното гравитациско поле на Земјата.

Физичко нишало е тело формирано од збир на честички со континуирана форма кои ротираат круто околу стожерот. Нејзиниот момент на инерција е збирот на моментите на инерција на секоја од честичките од кои е составен. Природната честота $\omega n$

од сложено нишало зависи од неговиот момент на инерција, $Ip$,

$\omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},$

каде $m$ е масата на објектот,$g$  е локално забрзување на гравитацијата, и $r$ е растојанието од точка на вртење до центарот на масата на објектот. Мерењето на оваа честота на осцилации преку мали аголни поместувања обезбедува ефикасен начин за мерење на моментот на инерција на телото.

Така, за да се одреди моментот на инерција на телото, едноставно го суспендира од удобна точка на вртење $P$ така што слободно се ниша во рамнина нормална на правецот на посакуваниот момент на инерција, потоа ја мери неговата природна честота или период на осцилација ($t$), за да се добие

$I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},$

каде што $t$ е периодот (времетраењето) на осцилацијата (обично во просек во текот на повеќе периоди). Моментот на инерција на телото околу неговиот центар на маса,$I_{C}$, потоа се пресметува со употреба на теорема за паралелна оска за да биде

$I_{C}=I_{P}-mr^{2},$

каде $m$ е масата на телото и р е растојанието од вртежната точка $P$ до центарот на масата $C$. Моментот на инерција на телото често се дефинира во однос на неговиот жироскопски полупречник, кој е полупречник на прстен со еднаква маса околу центарот на масата на телото што го има истиот момент на инерција. Полупречник на гурација к се пресметува од моментот на инерција на телото $I_{C}$ и маса $m$ како должина,

$k={\sqrt {\frac {I_{C}}{m}}}.$

Центар на осцилација

Едноставно нишало кое ја има истата природна честота како сложено нишало ја дефинира должината $L$ од вртење до точка наречена центар на осцилација на сложеното нишало. Оваа точка, исто така, одговара на центарот на перкусии. Должина $L$ се определува од формулата,

$\omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},$

или

$L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.$

На нишалото за секунда, кое овозможува "крлеж" и "тока" на дедо часовник, трае една секунда за да се сврти од рамо до рамо. Ова е период од две секунди, или природна честота на $\pi \ \mathrm {rad/s}$  за нишалото. Во овој случај, растојанието до центарот на осцилацијата,$L$, може да се пресмета да биде

$L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .$

Забележете дека растојанието до центарот на осцилацијата на секундарното нишало мора да се прилагоди за да се приспособат на различни вредности за локалното забрзување на гравитацијата. Катеролово нишало е сложено нишало кое го користи овој својство за мерење на локалното забрзување на гравитацијата и се нарекува гравиметар.

Мерење на моментот на инерција

Моментот на инерција на комплексен систем, како што е возило или авион околу неговата вертикална оска, може да се мери со суспендирање на системот од три точки за да се формира трифиларно нишало. Трифиларното нишало е платформа поддржана од три жици дизајнирани да осцилираат во торзија околу вертикалната централна оска. Периодот на осцилација на трифиларното нишало го дава моментот на инерција на системот.

Движење во фиксна рамнина

Точкеста маса

Четири објекти со идентични маси и полупречници, се тркалаат по рамнина додека се тркалаат без лизгање.

•     шуплива сфера,
•      цврста сфера,
•      цилиндричен прстен, и
•      цврст цилиндар.

Времето за секој предмет да стигне до завршната линија зависи од нивниот момент на инерција.

Моментот на инерција околу оската на телото се пресметува со собирање $mr^{2}$за секоја честичка во телото, каде $r$ е нормално растојание до одредената оска. За да видиме како се јавува моментот на инерција во проучувањето на движењето на проширено тело, удобно е да се разгледа круто собрание на точка маси. (Оваа равенка може да се користи за оските кои не се главни оски под услов да се сфати дека ова не го опишува целосно моментот на инерција.)

Размислете за кинетичката енергија на едно собрание на $N$ маси $m_{i}$кои лежат на растојанија $r_{i}$од точка на вртење $P$ , што е најблиската точка на оската на вртење. Тоа е збир на кинетичката енергија на поединечните маси,

$E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$

Ова покажува дека моментот на инерција на телото е збирот на секоја од нив $mr^{2}$ термини, што е

$I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$

Друг израз ја заменува сумацијата со интеграл,

$I_{P}=\iiint \limits _{Q}\rho \left(x,y,z\right)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\mathrm {d} V$

Тука функцијата ρ ја дава густината на маса во секоја точка $(x,y,z)$, $\mathbf {r}$ е вектор нормален на оската на вртење и се протега од точка на оската на вртење до точка $(x,y,z)$ во цврстата состојба, а интеграцијата се оценува преку волуменот $V$ на телото $Q$. Моментот на инерција на рамна површина е сличен, при што густината на масата се заменува со густината на масата на површината со интегрален евалуиран над својата област.

Забелешка за вториот момент на површината: Моментот на инерција на телото што се движи во рамнина и вториот момент на површината на зракот често се збунети. Моментот на инерција на тело со облик на пресек е вториот момент на оваа област околу z-оската нормална на пресекот, пондерирана според нејзината густина. Ова се нарекува и поларен момент на површината, и е збир на вторите моменти за x- и y-оски. Напорите во зракот се пресметуваат со користење на вториот момент на пресекот околу или околу x-оската или y-оската во зависност од товарот.

Примери

Главна статија: Список на моменти на инерција

Моментот на инерција на сложено нишало изградено од тенок диск монтиран на крајот од тенка прачка што осцилира околу стожерот на другиот крај на шипката започнува со пресметување на моментот на инерција на тенката прачка и тенокиот диск за нивните соодветни центри на маса.

• Моментот на инерција на тенка прачка со константен пресек $s$ и густината $\rho$ и со должина $\ell$ околу нормална оска преку нејзиниот центар на маса се определува со интеграција. Порамнувајќи ја x-оската со шипката и сместувајќи го центарот на масата во центарот на шипката, следи:

$I_{C,{\text{rod}}}=\iiint \limits _{Q}\rho \,x^{2}\,\mathrm {d} V=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,\mathrm {d} x=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},$

каде што math>m = \rho s \ell</math> е масата на прачката.

• Моментот на инерција на тенок диск со константна дебелина $s$, полупречник $R$ и густината $\rho$околу оската преку неговиот центар и нормално на неговото лице (паралелно со неговата оска на вртежна симетрија) се определува со интеграција. Порамнувајќи ја z-оската со оската на дискот и дефинирајќи го елементот за волумен како $\mathrm {d} V=sr\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta$, следи:

$I_{C,{\text{disc}}}=\iiint \limits _{Q}\rho \,r^{2}\,\mathrm {d} V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},$

каде што $m=\pi R^{2}\rho s$ е неговата маса.

• Моментот на инерција на сложеното нишало сега се добива со додавање на моментот на инерција на шипката и дискот околу точката на вртење $P$ како,

$I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},$

каде што $L$ е должината на нишалото. Забележете дека теорема за паралелна оска се користи за поместување на моментот на инерција од центарот на масата до точка на вртење на нишалото.

Список на моменти на инерција се равенки за стандардни обици на тела и обезбедува начин да се добие моментот на инерција на сложено тело како збир на поедноставно обликувани тела. Теоремата на паралелната оска се користи за поместување на референтната точка на поединечните тела на референтната точка на склопот.

Како уште еден пример, разгледајте го моментот на инерција на цврста сфера со константна густина околу оската преку нејзиниот центар на маса. Ова се определува со сумирање на моментите на инерција на тенки дискови кои ја формираат сферата. Ако површината на топката е дефинирана со равенката

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$

тогаш полупречникот $r$ на дискот на пресекот $z$ по должината на $z$-оската е

$r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.$

Затоа, моментот на инерција на топката е збирот на моментите на инерција на дисковите долж z-оската,

${\begin{aligned}I_{C,{\text{ball}}}&=\int _{-R}^{R}{\frac {\pi \rho }{2}}r(z)^{4}\,\mathrm {d} z=\int _{-R}^{R}{\frac {\pi \rho }{2}}\left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,\mathrm {d} z\\&=\left.{\frac {\pi \rho }{2}}\left(R^{4}z-{\frac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\frac {1}{5}}z^{5}\right)\right|_{-R}^{R}\\&=\pi \rho \left(1-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)R^{5}\\&={\frac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}$

каде што $m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho$ е масата на сферата.

Цврсто тело

Ако механички систем е ограничен да се движи паралелно со фиксна рамнина, тогаш ротацијата на телото во системот се случува околу оската $\mathbf {\hat {k}}$ нормално на оваа рамнина. Во овој случај, моментот на инерција на масата во овој систем е скалар кој е познат како поларниот момент на инерција. Дефиницијата на поларниот момент на инерција може да се добие со разгледување на моментумот, кинетичката енергија и законите на Њутн за плазно движење на крут систем на честички.

Ако системот од n честички,$P_{i},i=1,...,n$ се собрани во круто тело, тогаш моментумот на системот може да се напише во однос на позициите во однос на референтната точка $\mathbf {R}$ и апсолутните брзини $\mathbf {v} _{i}$:

${\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}$

каде ω е аголната брзина на системот, а V е брзината на R.

За рамно движење векторот на аголна брзина е насочен долж единечниот вектор k кој е нормален на рамнината на движење. Воведување на единечни вектори $\mathbf {e} _{i}$од референтната точка R до точка $\mathbf {r} _{i}$, и единечниот вектор $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$, па така

${\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}$

Ова го дефинира векторот на релативната позиција и векторот на брзината за крутиот систем на честичките што се движат во рамнина.

Забелешка за вкрстениот производ: Кога едно тело се движи паралелно со рамнина на земјата, траекториите на сите точки во телото лежат во рамнини паралелни на оваа заземјена рамнина. Ова значи дека секоја ротација што се случува на телото мора да биде околу една оска нормална на оваа рамнина. Плодното движење често се презентира како што е проектирано на оваа основна рамнина, така што оската на вртење се појавува како точка. Во овој случај, аголната брзина и аголното забрзување на телото се скалари и фактот дека тие се вектори долж оската на вртење е игнориран. Ова обично се користи за воведување на темата. Но, во случај на момент на инерција, комбинацијата на маса и геометрија придобивки од геометриските својства на вкрстениот производ. Поради оваа причина, во овој дел за рамномерно движење аголната брзина и забрзување на телото се вектори нормални на заземјената рамнина, а операциите на вкрстените производи се исти како што се користат за проучување на движењето на просторно цврсто тело.

Аголен импулс

Аголниот импулс на векторот за рамно движење на крут систем на честички е даден со

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}$

Користете го центарот на масата $\mathbf {C}$ како референтна точка така да

${\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}$

и да го дефинира моментот на инерција во однос на центарот на масата $I_{\mathbf {C} }$како

$I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},$

тогаш се поедноставува равенката за аголниот момент

$\mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .$

Моментот на инерција $I_{\mathbf {C} }$ околу оската нормална на движењето на цврстиот систем и низ центарот на масата е познат како поларниот момент на инерција. Поточно, тоа е втор момент на маса во однос на ортогоналното растојание од оската (или пол).

За одредена количина на аголен импулс, намалувањето на моментот на инерција резултира со зголемување на аголната брзина. Сликарите можат да го променат моментот на инерција со повлекување на рацете. Така, аголната брзина постигната со лизгач со испружени раце резултира со поголема аголна брзина кога рацете се влечат, поради намалениот момент на инерција. А фигурист не е, сепак, круто тело.

Кинетичка енергија

Оваа вртежна стрижалка во 1906 го користи моментот на инерција на две замаец за складирање на кинетичката енергија, која кога се ослободува се користи за намалување на металниот фонд (Меѓународна библиотека за технологија, 1906).

Кинетичката енергија на крут систем на честички што се движат во рамнината е дадена со

${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}$

Нека референтната точка е центар на масата $\mathbf {C}$ на системот, па вториот мандат станува нула, и ќе го воведеме моментот на инертност $I_{\mathbf {C} }$, така што кинетичката енергија ќе биде дадена со

$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .$

Моментот на инерција $I_{\mathbf {C} }$ е поларниот момент на инерција на телото.

Њутнови закони

Тракторот од Џон Џејмс од 1920 година со спојуваниот замаец на моторот. Големиот момент на инерција на замаецот ја олеснува работата на тракторот.

Њутнови закони за крут систем на n честички, $P_{i},i=1,...,n$, може да се напише во однос на резултантната сила и вртежен момент во референтната точка $\mathbf {R}$, за да се добие

${\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}$

каде ri означува траекторија на секоја честичка. Кинематиката на круто тело ја дава формулата за забрзување на честичката $P_{i}$ во однос на положбата R и забрзувањето A на референтната честичка, како и аголниот вектор на брзина ${\boldsymbol {\omega }}$ и векторот на аголно забрзување α од крутиот систем на честички како,

$\mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .$

За системи кои се ограничени на рамно движење, аголната брзина и векторите на аголното забрзување се насочуваат долж $\mathbf {\hat {k}}$ нормално на рамнината на движење, што ја поедноставува оваа равенка за забрзување. Во овој случај, забрзувачките вектори може да се поедностават со внесување на единечните вектори $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ од референтната точка R во точка $\mathbf {r} _{i}$ и единечните вектори$\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$, па така

${\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}$

Ова дава резултат на вртежен момент на системот како

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}$

каде $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0}$, и $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}}$ е единечен вектор нормален на рамнината за сите честички $P_{i}$. Користете го центарот на маса $\mathbf {C}$ како референтна точка и дефинирајте го моментот на инерција во однос на центарот на масата $I_{\mathbf {C} }$, тогаш равенката за добиениот вртежен момент се поедноставува

${\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .$

Движење во просторот на цврсто тело и инерцијална матрица

Скаларните моменти на инерција се појавуваат како елементи во матрица кога системот на честички е составен во цврсто тело кое се движи во тридимензионален простор. Оваа инерцијална матрица се појавува при пресметувањето на аголниот момент, кинетичката енергија и резултирачкиот вртежен момент на крутиот систем на честички.

За анализа на вртливо тело, видете Прецесија#Класична (Њутнова) и Ојлерови равенки (динамика на цврсто тело).

Нека системот на честички $n$ честички, $P_{i},i=1,...,n$ се наоѓаат во координатите $\mathbf {r} _{i}$ со брзина $\mathbf {v} _{i}$ во однос на фиксната референтна рамка. За (по можност движечка) референтна точка $\mathbf {R}$, релативните позиции се

$\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$

и (апсолутните) брзини се

$\mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }$

каде што ${\boldsymbol {\omega }}$ е аголната брзина на системот, а $\mathbf {V_{R}}$ е брзината на $\mathbf {R}$.

Момент на импулсот

Забележете дека вкрстениот производ може да биде еквивалентно напишан како матрично множење со комбинирање на првиот операнд и операторот во коска-симетрична, матрица, $\left[\mathbf {b} \right]$, конструирана од компонентите на $\mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})$:

${\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Инертната матрица е конструирана со разгледување на аголниот момент, со референтната точка $\mathbf {R}$ на телото избрано да биде центар на маса $\mathbf {C}$:

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}$

каде што условите кои содржат $\mathbf {V_{R}}$ ($=\mathbf {C}$) се изразува на нула со дефиницијата за центар на масата. Потоа, косисиметричната матрица $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ добиена од векторот на релативната позиција $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$, може да се користи за дефинирање,

$\mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},$

каде $\mathbf {I_{C}}$ се дефинира како

$\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},$

е симетрична матрица на инерција на цврстиот систем на честички измерен во однос на центарот на масата $\mathbf {C}$.

Кинетичка енергија

Кинетичката енергија на крут систем на честички може да се формулира во однос на центарот на масата и матрицата на масовните моменти на инерција на системот. Нека систем на честички $P_{i},i=1,...,n$ се наоѓа во координатите $\mathbf {r} _{i}$ со брзина $\mathbf {v} _{i}$, тогаш кинетичката енергија е

$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),$

каде $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$ е положбениот вектор на честичка во однос на центарот на масата. Оваа равенка се проширува за да добие три термини

$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).$Вториот израз во оваа равенка е нула, бидејќи $\mathbf {C}$е центар на масата. Воведување на коска-симетрична матрица $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$, така што кинетичката енергија станува

${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}$

Така, кинетичката енергија на крутиот систем на честички е дадена со

$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.$

каде $\mathbf {I_{C}}$ е инерцијалната матрица во однос на центарот на масата и $M$ е вкупната маса.

Резултантен вртежен момент

Инертната матрица се појавува при примената на вториот закон на Њутн на круто собрание на честички. Реалниот вртежен момент на овој систем е

${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},$

каде што $\mathbf {a} _{i}$ е забрзување на честичката $P_{i}$. Кинематиката на круто тело ја дава формулата за забрзување на честичката $P_{i}$ во однос на положбата $\mathbf {R}$ и забрзувањето $\mathbf {A} _{\mathbf {R} }$ на референтната точка, како и аголниот вектор на брзина ${\boldsymbol {\omega }}$ и векторот на аголно забрзување ${\boldsymbol {\alpha }}$на крутиот систем како,

$\mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.$

Користете го центарот на маса $\mathbf {C}$ како референтна точка и внесете ја коси-симетричната матрица $\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]$ за да го претставува крстот производ $(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times$, за да се добие

${\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}$

Пресметката го користи идентитетот

$\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,$

добиени од идентитетот на Јакоби за троен вкрстен производ како што е прикажано во доказ подолу:

Доказ

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ векторско скаларно множење }}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{тангенцијално}},i}+\mathbf {a} _{{\text{центрипетално}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{тангенцијално}},i}+\mathbf {a} _{{\text{центрипетално}},i}+0)]\\&\;\;\;\;\;\ldots \;\mathbf {R} {\text{ или е во мирување или се движи со постојана брзина не е забрзано, или }}\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{ почетокот на неподвижниот координатен систем е сместен во центарот на масата }}\mathbf {C} \\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{тангенцијално}},i}+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{центрипетално}},i}]\;\ldots {\text{распределба на векторски производ наспроти собирање}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{тангенцијално}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\\end{aligned}}$ Тогаш,нсе користи во последниот израз следниов Јакобиев идентитет: ${\begin{aligned}0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ векторска антикомутативност }}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ скаларано множњење на векторски производ}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ векторски производ }}\\0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\end{aligned}}$ Резултатот на применетиот Јакобиев идентитет може да се запише: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ троен векторски производ }}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ троен скаларен производ }}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ векторски производ}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ векторско скаларно множење }}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ векторско скаларно множење }}\\{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ комутативен скаларен производ }}\\\end{aligned}}$ Конечниот резултат може да се замени во главниот доказ како што следи: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ асоцијативност на собирање }}\\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\quad \quad &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ распределба на векторски производ наспроти собирање}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ векторско скаларно множење}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ векторски производ}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ троен векторски производ}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ векторска антикомутитативност }}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ векторско скаларно множење }}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ збирна распределба}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ не е карактеристичен за }}P_{i}\end{aligned}}$ Забележете дека за секој вектор $\mathbf {u} \,$, ќе важи следново: ${\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ векторски производ од множење на матрици}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ не е карактеристичен за }}P_{i}\end{aligned}}$ Конечно, резултатот се користи за комплетирање на главниот доказ во продолжение: ${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}$

Така, резултирачкиот вртежен момент на цврстиот систем на честички е даден од

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},$

каде $\mathbf {I_{C}}$ е инерцијалната матрица во однос на центарот на масата.

Теорема на паралелна оска

Главна статија: Теорема на паралелна оска

Инертната матрица на телото зависи од изборот на референтната точка. Постои корисна врска помеѓу матрицата на инерција во однос на центарот на масата $\mathbf {C}$ и матрицата на инерција во однос на друга точка $\mathbf {R}$. Оваа врска се нарекува теорема за паралелна оска. Размислете за инерцијалната матрица $\mathbf {I_{R}}$ добиена за крут систем на честички измерен во однос на референтната точка $\mathbf {R}$, дадена од

$\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.$

Потоа,$\mathbf {C}$ нека биде центар на масата на крутиот систем

$\mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,$

каде што $\mathbf {d}$ е векторот од центарот на масата $\mathbf {C}$ до референтната точка $\mathbf {R}$. Користете ја оваа равенка за да ја пресметате матрицата на инерција,

$\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.$

Дистрибуирајте преку вкрстениот производ за да се добие

$\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.$

Првиот термин е инертната матрица $\mathbf {I_{C}}$ во однос на центарот на масата. Вториот и третиот термин се нула по дефиниција на центарот на масата $\mathbf {C}$. И последниот термин е вкупната маса на системот помножена со квадратот на кососиметричната матрица $[\mathbf {d} ]$ конструирана од $\mathbf {d}$.

Резултатот е теоремата за паралелна оска,

$\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},$

каде што $\mathbf {d}$ е векторот од центарот на масата $\mathbf {C}$ до референтната точка $\mathbf {R}$.

Забелешка за знакот минус: Со користење на симетричната матрица на пресек на положбени места во однос на референтната точка, матрицата на инерција на секоја честичка има облик $-m\left[\mathbf {r} \right]^{2}$, кој е сличен на $mr^{2}$ кој се појавува при рамно движење. Сепак, за да се направи ова правилно, потребно е знак минус. Овој знак за минус може да се апсорбира во терминот $m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]$, по желба, со користење на својството на skew-symmetry на $[\mathbf {r} ]$.

Скаларен момент на инерција во рамнина

Скаларен момент на инерција, $I_{L}$, на тело околу одредена оска чија насока е одредена од единечниот вектор $\mathbf {\hat {k}}$ и поминува низ телото во точка $\mathbf {R}$ е како што следува:

$I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,$

каде што $\mathbf {I_{R}}$ е момент на инерција матрица на системот во однос на референтната точка $\mathbf {R}$, и $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ е косо симетрична матрица добиена од векторот $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$.

Ова е изведено на следниов начин. Нека круто собрание на $n$ честички, $P_{i},i=1,...,n$ , имаат координати$\mathbf {r} _{i}$. Изберете $\mathbf {R}$ како референтна точка и пресметајте го моментот на инерција околу линијата L дефинирана од единечниот вектор k преку референтната точка R, $\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}}$. Вертикалниот вектор од оваа линија до честичката $P_{i}$ е добиен од $\Delta \mathbf {r} _{i}$ со отстранување на компонентата која проектира врз $\mathbf {\hat {k}}$.

$\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},$

каде што $\mathbf {E}$е идентитет матрица, со цел да се избегне забуна со инерција матрица, и $\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}$е матрица на надворешен производ формирана од единечниот вектор $\mathbf {\hat {k}}$ по должината на линијата $L$. За да го поврзе овој скаларен момент на инерција со инерцијалната матрица на телото, воведејте ја коси-симетричната матрица $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]$ така што $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y}$, тогаш имаме идентитет

$-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},$

истакнувајќи дека $\mathbf {\hat {k}}$ е единица вектор.

Квадрираната големина од нормалниот вектор е

${\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}$

Поедноставувањето на оваа равенка го користиме идентитетот на тројниот скаларен производ

$\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),$каде што точки и крстот производи се разменуваат. Разменување на производи и поедноставување со забележување дека $\Delta \mathbf {r} _{i}$ и $\mathbf {\hat {k}}$ се ортогонални:

${\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}$

Така, моментот на инерција околу линијата $L$ преку $\mathbf {R}$ во правецот $\mathbf {\hat {k}}$ се добива од пресметката

${\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$

каде што $\mathbf {I_{R}}$ е момент на инерција матрица на системот во однос на референтната точка $\mathbf {R}$.

Ова покажува дека матрицата на инерција може да се користи за пресметување на моментот на инерција на телото околу одредената оска на вртење во телото.

Инертен тензор

Инертната матрица често се опишува како инертен тензор, кој се состои од истите моменти на инерција и инерцијални производи за трите координатни оски. Тензорот на инерција е конструиран од тензорите од девет компоненти, (симболот ⊗ е тензорски производ)

$\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j},\quad i,j=1,2,3,$

каде $\mathbf {e} _{i},i=1,2,3$ се трите ортогонални единечни вектори кои ја дефинираат инерцијалната рамка во која телото се движи. Користејќи ја оваа основата на тензорот на инерција е даден од

$\mathbf {I} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}I_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}.$

Овој тензор е од степен два, бидејќи тензорите на компонентите се конструирани од два базични вектори. Во оваа форма тензијата на инерција е исто така наречена инерцијален бинор.

За крут систем на честички $P_{k},k=1,...,N$ секоја маса $m_{k}$ со координати на положбата $\mathbf {r} _{k}=(x_{k},y_{k},z_{k})$, инертен тензорот е даден со

$\mathbf {I} =\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left(\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right)\mathbf {E} -\mathbf {r} _{k}\otimes \mathbf {r} _{k}\right),$

каде што $\mathbf {E}$е тензор на идентитетот

$\mathbf {E} =\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}.$

Во овој случај, компонентите на инертниот тензор се дадени со

${\begin{aligned}I_{11}=I_{xx}&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{22}=I_{yy}&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{33}=I_{zz}&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\\I_{12}=I_{21}=I_{xy}&=-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{13}=I_{31}=I_{xz}&=-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{23}=I_{32}=I_{yz}&=-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}$

Инерцијалниот тензор за континуирано тело е даден со

$\mathbf {I} =\iiint \limits _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {E} -\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,\mathrm {d} V,$

каде $\mathbf {r}$ ги дефинира координатите на точката во телото и $\rho (\mathbf {r} )$ е масата на таа точка. Интегралот се презема преку волуменот $V$ на телото. Инерцијалниот тензор е симетричен, бидејќи $I_{ij}=I_{ji}$.

Алтернативно, исто така, може да се напише во однос на операторот на аголен импулс $[\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x}$:

$\mathbf {I} =\iiint \limits _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{T}[\mathbf {r} ]\,\mathrm {d} V=-\iiint \limits _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,\mathrm {d} V$

Инерцијалниот тензор може да се користи на ист начин како инерцијалната матрица за пресметување на скаларниот момент на инерција околу произволна оска во насока $\mathbf {n}$,

$I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,$

каде точниот производ се зема со соодветните елементи во тензорите на компонентата. Производ на термин инерција како што е $I_{12}$ се добива со пресметка

$I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},$

и може да се толкува како момент на инерција околу x-оската кога предметот ротира околу y-оската.

Компонентите на тензорите од степен два можат да се соберат во матрица. За тензорот на инерција оваа матрица е дадена со,

$\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}.$

Често во ригидните механичари на телото е да се користи нотација која експлицитно го идентификува x, y и z-оски, како што се $I_{xx}$и $I_{xy}$, за компонентите на тензорот на инерција.

Инерцијална матрица во различни појдовни системи

Употребата на матрицата на инерција во вториот закон на Њутн претпоставува дека нејзините компоненти се пресметуваат во однос на оските паралелни на инерцијалната рамка, а не во однос на фиксирана референтна рамка на телото. Ова значи дека додека телото ги поместува компонентите на матрицата на инерција, со текот на времето се менува. Спротивно на тоа, компонентите на матрицата на инерција, измерени во фиксирана рамка на телото, се константни.

Рамка на телото

Нека инерцијалната матрица на рамката на телото во однос на центарот на масата се означува со $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ и ја дефинира ориентацијата на телото рамка во однос на инерцијалната рамка од матрицата на ротација $\mathbf {A}$, така што,

$\mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,$

каде што векторите y во фиксираниот координатен рамка на телото имаат координати x во инерцијалната рамка. Потоа, матрицата на инерција на телото измерена во инерцијалната рамка е дадена со

$\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.$

Забележете дека $\mathbf {A}$ се менува додека телото се движи, додека $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ останува константен.

Главни оски

Измерен во телото рамка инерција матрица е константна реална симетрична матрица. Вистинската симетрична матрица има спектрално распаѓање на матрицата во производот на вртежна матрица $\mathbf {Q}$ и дијагонална матрица ${\boldsymbol {\Lambda }}$, дадена од

$\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},$

каде

${\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.$

Постојат знаци на телото на телото на телото. Овој резултат првпат го покажал Џ. Силвестер (1852), и претставува форма на Силвестеровиот инерцијален закон.

За тела со постојана оска.

Елипсоид

Елипсоид со полуглавни пречници етикетирани $a$, $b$, и $c$.

Моментот на инерцијална матрица во координатите на телото-рамка е квадратна форма која ја дефинира површината во телото наречена Пуансонов елипсоид. Нека ${\boldsymbol {\Lambda }}$ е инерција матрица во однос на центарот на маса усогласен со главните оски, а потоа на површината

$\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,$

или

$I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,$

дефинира елипсоид во рамката на телото. Напишете ја оваа равенка во форма,

$\left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,$

да се види дека полуглавните пречници на овој елипсоид се дадени со

$a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.$

Нека точка $\mathbf {x}$ на овој елипсоид се дефинира во однос на неговата големина и насока,$\mathbf {x} =||\mathbf {x} ||\mathbf {n}$, каде што $\mathbf {n}$ е единичен вектор. Тогаш врската прикажана погоре, помеѓу инерција матрица и скаларен момент на инерција $I_{\mathbf {n} }$ околу оската во правец $\mathbf {n}$, дава

$\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =||\mathbf {x} ||^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =||\mathbf {x} ||^{2}I_{\mathbf {n} }=1.$

Така, големината на точката $\mathbf {x}$ во правец $\mathbf {n}$ на инерцијалниот елипсоид е

$||\mathbf {x} ||={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.$

Поврзано

• Централен момент
• Список на моменти на инерција
• Вртежна енергија

Надворешни врски

• Angular momentum and rigid-body rotation in two and three dimensions Архивирано на 29 март 2010 г.
• Lecture notes on rigid-body rotation and moments of inertia
• The moment of inertia tensor
• An introductory lesson on moment of inertia: keeping a vertical pole not falling down (Java simulation)
• Tutorial on finding moments of inertia, with problems and solutions on various basic shapes Архивирано на 14 август 2009 г.
• Notes on mechanics of manipulation: the angular inertia tensor