Ојлерови закони за движење

Во класичната механика, Ојлеровите закони на движење се равенства кој го проширува Њутновиот закон за движење на точка честички до движење на цврсто тело.. Тие биле формулирани од страна на Леонард Ојлер околу 50 години откако Исак Њутн ги формулирал неговите закони.

Преглед

Ојлеровиот прв закон

Ојлеровиот прв закон се наведува дека линеарна динамика на телото, p (исто така познато како G) е еднаков на производот на масата на телото m и брзината на неговиот центар на маса v_cm:

$\mathbf {p} =m\mathbf {v} _{\rm {cm}}$.

Внатрешни сили помеѓу честичките кои го прават телото да не придонесува за промена на вкупниот импулс на телото, како таму е еднаква и спротивна сила, што резултира во никаков мрежен ефект. Законот е исто така покажан, како што се:

${\displaystyle }$.

каде a_cm = dv_cmdt е забрзување на центарот на масата и F = dpdt е на вкупно применетата сила на телото. Ова е само на време дериватно на претходната равенка (m е константа).

Ојлеровиот втор закон

Ојлеровиот втор закон наведува дека стапката на промена на аголниот импулс L (понекогаш познат H) за една точка, која е фиксна во инерцијален појдовен систем (често маса центарот на телото), е еднаков на збирот на надворешни моменти на сила кои дејствуваат на тоа тело M (исто така познато како τ или Γ) за таа точка:

$\mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }}$

Имајте на ум дека горенаведената формула важи само ако дветеM и L се пресметуваат во однос на фиксен инерцијален систем или рамка паралелно со инерцијалниот систем, но фиксно на центарот на маса. За цврсти тела преведување и ротирање само во 2D, ова може да се изрази како:

${\displaystyle }$,

каде што r_cm е на позиција вектор на центарот на маса во однос на точката за која на моменти се сумирани, α е аголно забрзување на телото за неговиот центар на маса, и I е моментот на инерција на телото за неговиот центар на маса. 

Објаснување и деривација

Дистрибуцијата на внатрешните сили во отпорно телото секако не се еднакви во текот, односно стресовите се разликуваат од една точка до следното. Оваа варијација на внатрешните сили во текот на телото е регулирано од страна на Вториот Њутнов закон за движење на конзервација на линеарна динамика и аголен импулс, што за нивната наједноставна употреба се применуваат на маса на честички, но се продолжува во континуирана механика на телото на континуирано се дистрибуираат маса. За континуирано тело овие закони се наречени Ојлерови закони на движење. Ако телото е претставено како свикување на дискретни честички, секое регулирано од страна на Њутновите законите на движење, а потоа Ојлеровите равенки може да се изведе од Њутновиот закон. Ојлеровите равенки може, сепак, да бидат земени како аксиоми на опишување на законите на движење за продолжен тела, независно од било која честица дистрибуција.

Вкупната телесна сила се применува на континуирано тело со маса m, масна густина ρ, и волумен Vе волуменот составен интегрирани над обемот на телото:

${\displaystyle }$

каде b е силата која дејствува на телото по единица маса (димензии на забрзување, нагрешно наречена "тело сила"), и dm = ρ dV е бесконечниот масен елемент на телото.

Телесни сили контактни сили кои дејствуваат на телото доведува до соодветните моменти на оние сили во однос на дадена точка. Така, на вкупно примени вртежен момент M за потекло е дадена со

${\displaystyle }$

каде M_B и M_C односно укажуваат на моменти предизвикани од телото и контакт сили.

На тој начин, збирот на сите применети сили (во однос на потеклото на координатен систем) кои дејствуваат на телото можат да бидат дадени како збир од волуменот и површината составена:

${\displaystyle }$

${\displaystyle }$

каде t = t(n) се нарекува површинско влечење интегрирано над површината на телото, пак n означува единица вектор нормално и насочено нанадвор за да ја површината S.

Нека координатен систем (x₁, x₂, x₃) се инерцијален појдовен систем, r се на позиција вектор на точка честички во постојано тело со однос на потеклото на координатен систем, и v = drdt биде брзина вектор на таа точка.

Ојлеровиот прв закон (закон на билансот на линеарна динамика или рамнотежа на сили) се наведува дека во инерцијалниот систем рамка време стапка на промена на линеарна динамика p на произволно дел од еден континуиран телото е еднаква на вкупниот број примени сила F дејствуваат на тој дел, а тоа е изразено како

${\displaystyle }$

Ојлеровиот втор закон (закон на билансот на аголна импулс или рамнотежа на torques) се наведува дека во инерцијалниот систем време стапка на промена на аголна импулс L на произволно дел од еден континуиран телото е еднаква на вкупниот број примени вртежен момент M дејствуваат на тој дел, а тоа е изразено како

${\displaystyle }$

Каде ${\displaystyle }$ е брзината, ${\displaystyle }$ на волумен, и на деривати на p и L се матерјални деривати.