Многуаголник

Многуаголник — геометриска фигура од сврзани прави линии, сочинувајќи затворена прекршена линија. Тој е традиционално рамнинска фигура што се граничи со затворена патека, составена од конечна низа од отсечки. Тие се нарекуваат „страни“ или „рабови“, а точките во кои се среќаваат се нарекуваат „темиња“. Еден n-аголник е многуаголник со n страни. Многуаголникот е дводимензионален пример за поопштиот поим политоп, што може да биде во колку било димензии.

Разни многуаголници

Класификација

Видови на многуаголници

Број на страни

Главна одлика на еден многуаголник е бројот на страни. Го добива името со додавање на наставката „-аголник“ на бројот на аглите. Така, имаме „триаголник“, „петаголник“, „десетаголник“, „стоаголник“ итн.

Испакнатост и видови на неиспакнатост

Многуаголниците се одликуваат по својата испакнатост или по видот на неиспакнатост:

• испакнати: ако повлечеме линија низ многуаголникот (нетангентна), таа ќе ја пресече неговата граница точно двапати. Друг начин на претставување би бил дека сите внатрешни агли се помали од 180°.
• неиспакнати: можеме да повлечеме линија што ќе ја пресече границата повеќе од двапати. Со други зборови, има барем еден внатрешен агол поголем од 180°.
• прост: границата на многуаголникот не се сече самата себеси. Сите испакнати многуаголници се прости.
• вдлабнати (коккавни): неиспакнати и прости.
• ѕвездест: целата внатрешност е видлива од една точка, без пресекување на работ. Мора да е прост, а може да е испакнат или вдлабнат.
• самопресечен: границата на многуаголникот се сече сама со себе.
• ѕвезда: многуаголник што се самосече на правилен начин.

Симетрија

• рамноаголен: сите агли се еднакви.
• опишлив: сите агли лежат на една кружница што можеме да ја опишеме.
• рамностран: сите агли лежат на иста симетриска орбита. Тие се воедно и опишливи и рамноаголни.
• рамностран: сите страни имаат иста должина. (многуаголник со 5 и повеќе страни може да биде рамностран без да биде испакнат)
• тангентен: сите страни се тангентни на впишана кружница.
• правилен: многуаголник е правилен ако е опишлив и рамностран. Неиспакнатиот правилен многуаголник се нарекува „правилна ѕвезда“.

Друго

• правоаголен: многуаголник чии страни се среќаваат под прав агол, т.е. сите внатрешни агли се 90 или 270 степени.
• монотон во однос на дадена линија L, ако секоја нормална на линијата се сече со многуаголникот повеќе од двапати.

Својства

Номенклатура на еден многуаголник

Агли

Еден многуаголник има толку ќошиња колку што има страни. Секое ќоше има неколку агли, од кои најважни се:

• внатрешниот агол
• надворешниот агол

Плоштина

Плоштината на еден прост многуаголник (без самопресек) може да се изрази со следнава формула:

$P={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{(i+_{n}1)}-x_{(i+_{n}1)}y_{i})\right|={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})+\left(x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}\right)\right|$

За плоштината на многуаголникот важат следниве својства (аксиоми):

• плоштината на многуаголникто секогаш е позитивен реален број
• плоштината на многуаголникот не зависи од неговата местоположба, т.е. складните многуаголници имаат еднакви плоштини
• ако многуаголникот е составен од два или повеќе многуаголници што не се преклопуваат, тогаш неговата плоштина е еднаква на збирот од плоштините на составните многуаголници
• квадтарот со страна а има плоштина еднаква на а²

Поврзано

• Впишана кружница
• Опишана кружница
• Геометриска фигура
• Полиедар
• Политоп
• Правилен многуаголник
• Прост многуаголник
• Поплочување (теселација)

Наводи

• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes, (Methuen and Co., 1948)

Надворешни врски

• „Polygon“ од Ерик В. Вајсштајн — MathWorld (англиски)