Триангулација

Триангулација – во тригонометријата и геометријата процес на одредување на позиција на некоја точка со образување на триаголници до неа од однапред познати точки. Овој пристап се разликува од трилатерацијата каде растојанието се мери со директни методи. Според Толковниот речник на македонскиот јазик, триангулацијата е „мерење на земјиште со делење на триаголници“.

Овој метод се заснова на прецизно мерење на должината на основата и аглите кон саканата точка и примена на тригонометриските функции со чија помош се добива позицијата и растојанието до бараната точка.

Пример за триангулација во рамнина, пресметување на растојанието до саканата точка со помош на должината на основата и два агли

Слика 1. Растојанието до саканата точка може да се пресмета со помош на два агла α и β, и растојанието l

Во овој пример се подразбираат релативно мали растојанија за l и d, во случај на поголеми растојанија (споредливи со полупречникот на Земјината топка) мора да се примени сферна тригонометрија (тригонометрија на сфера). За мали растојанија (до неколку километри) може да се искористи следната пресметка:

$\ell ={\frac {d}{\tan \alpha }}+{\frac {d}{\tan \beta }}$

Значи

$d=\ell \,/\,({\tfrac {1}{\tan \alpha }}+{\tfrac {1}{\tan \beta }})$

Користејќи ги тригонометриските идентитети tan α = sin α / cos α и sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, претходниот израз станува:

$d={\frac {\sin \alpha \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell$

Историја

Слика 2. (Lui Hui c. 263), како да се измери висина на остров, илустрација од издание од 1726 година

Триангулацијата е позната од античко време, во VI век пред новата ера грчкиот филозоф Талес ја пресметал висината на пирамида така што ја измерил должината на сенката на пирамидата во моментот кога должината на неговата сопствена сенка била еднаква на нејзината висина (па со самото тоа и висината на пирамидата е еднаква на должината на сенката на пирамидата, заради сличноста на триаголници). Проблеми од овој вид им биле познати на древните Египќани, на пример проблемот 57 од Ахмесовиот папирус зборува за тоа. Кинескиот картограф и географ Луи Хуи во III век користел триангулација за мерење на висината на непристапни провалии.