Шварцшилдов полупречник

Швардшилдов полупречник (или гравитациски полупречник) — полупречник (полупречник) на таква сфера што ако целата маса на некое тело се збие во таква сфера, брзината за напуштање на површината на телото е еднаква на брзината на брзината на светлината. Пример за тело со помал полупречник од Шварцшилдовиот полупречнике е црната дупка. Во моментот кога ѕвезден остаток се собира до големина помала од овој полупречник, тогаш светлината не може да ја напушти површината на телото и истото станува непосредно невидливо. Станува збор за полупречник кој се однесува ан секое количество маса. Името Шварцшилдов полупречник е дадено во чест на германскиот астроном Карл Шварцшилд кој го пресметал точното решение на општата теорија за релативноста во 1916 г.

Врската меѓу особеностите на масата и поврзаните физички постојани. Секое масивно тело се верува дека ги поседува сите пет својства. Но, поради екстремно големите или пак мали вредности на постојаните, општо е невозможно да се потврдат повеќе од две или три својства за било кое тело.

Шварцшилдов полупречник (r_s) — способноста на масата да предизвика закривеност на просторот и времето.

Гравитациски параметар (μ) — способноста на масивно тело да дејствува со гравитациска сила на други тела.

Инерцијална маса (m) — способноста на масата да се спротивставува на надворешни дејанија.

Енергија при мирување (E₀) — способноста на масата да се претвори во други видови на енергија.

Комптонова бранова должина (λ) — го претставува квантното однесување на масата во однос на локалната геометрија.

Историја

Во 1916 г. Карл Шварцшилд го доби точното решение на Анштајновите равенки за гравитациското поле надвор од невртежни, сферно симетрични тела (погледај Шварцшилдова метрика). Користејќи го изразот $M={\frac {Gm}{c^{2}}}$, решението содржи израз со облик ${\frac {1}{2M-r}}$, каде вредноста на $r$ ја создава сингуларноста кој станува познат под името Шварцшилдов полупречник. Значењето во физиката на сингуларноста, и дали воопшто може да се случи во природата, е проблем дебатиран многу декади, не постоеше општа прифатливост за постоењето на црна дупка сè до втората половина од XX век.

Параметри

Шварцшилдовиот полупречник на едно тело е пропорционален со неговата маса. Соподветно, Сонцето има Шварцшилдов полупречник кој изнесува приближно 3 км, додека пак на Земјата изнесува само 9 мм, големина на кикиритка. Масата на метагалаксијата има Шварцшилдов полупречник со големина приближна на 10 милијарди светлосни години.

	полупречник (м)	густина (г/см3)
Универзум	4,46×1025 (~4,7 Гсг)	8×10−29 (9,9×10−30)
Млечен Пат	2,08×1015 (~0,2 сг)	3,72×10−8
Сонце	2,95×103	1,84×1016
Земја	8,87×10−3	2,04×1027

Равенка

Шварцшилдовиот полупречник е пропорционален со масата со пропорционална постојана т.е. гравитациската постојана и брзината на светлината:

$r_{\mathrm {s} }={\frac {2Gm}{c^{2}}},$

каде:

$r_{s}\!$ е Шварцшулдовиот полупречник,

$G\!$ е гравитациската постојана,

$m\!$ е масата на телото,

$c\!$ е брзината на светлината во вакуум.

Постојаната на пропорционалноста, 2G/c², е приближно 1,48⋅10^-27 м/кг, или 2,95 км/сончева маса.

Тело со секаква густина може да биде достатно големо за да падне во сопствениот Шварцшилдов полупречник,

$V_{s}\propto \rho ^{-3/2},$

каде:

$V_{s}\!={\frac {4\pi }{3}}r_{\mathrm {s} }^{3}$ е зафатнината на телото,

$\rho \!={\frac {m}{V_{s}\!}}$ е неговата густина.

Класификација на црните дупки според Шварцшилдовиот полупречник

Тело чиј полупречник е помал од сопствениот Шварцшилдов полупречник се нарекува црна дупка. Површината до која се протега Шварцшилдовиот полупречним се однесува како хоризонт на случување кај невртечко тело (вртежна црна дупка има поинаков начин на дејствување). Ниту светлината а ниту и честички можат да побегнат низ површината од просторот под хоризонтот на случување па оттука и името „црна дупка“.

Црните дупки можат да се класифицираат според големината на Шварцшилдовиот полупречник, или пак истоветно според нивната густина. Црните дупки со многу големи густини имаат мали Шварцшилдови полупречници, додека пак поголемите црни дупки имаат помала густина.

Супермасивни црни дупки

Симулиран изглед на црна дупка пред Големиот Магеланов Облак.

Супермасивна црна дупка (СМЦД) е најголемиот вид на црна дупка, со големини од стотици, илијадници или милијарди соннчеви маси. (Набљудувани се супермасивни црни дупки со маси до 21 милијарда (2,1 × 10¹⁰) сончеви маси, како што е NGC 4889.) За разлика од ѕвездените црни дупки, супермасивните црни дупки имаат мали густини. Просечната густина на супермасивните црни дупки може да биде помала од густината на водата како што е случајот со некој супермасивни црни дупки.

Шварцшилдовиот полупречник на телото е пропорционален со кубниот корен на неговата зафатнина, ако се претпостави дека телото има постојана маса и густина. Така, кко што телото насобира материја при нормална густина (во овој пример, 10³ кг/м³, густината на водата), Шварцшилдовиот полупречник ќе се зголемува побрзо од физичкиот полупречник. Кога тело со оваа густина ќе нарасне до маса поголема околу 136 милиони (1,36 × 10⁸) пати од масата на Сонцето, тогаш физичкиот полупречник ќе биде помал од Шварцшилдовиот полупречник, и ќе се создаде супермасивна црна дупка.

Се смета дека супермасивните црни дупки како овие не се создаваат веднаш по создавањето на сингуларноста при колапсот на ѕвезденото јато. Наместо тоа тие го започнуваат своето постоење како помали, со големина на ѕвездени црни дупки и стануваат сè поголеми со насобирањето на амтерија или пак со проголтување на други црни дупки.

Шварцшилдовиот полупречник на супермасивната црна дупка во ценатарот на нашата галаксија ќе биде приближно 13,3 милиони километри.

Ѕвездени црни дупки

Ѕвездените црни дупки имаат поголеми густини отколку супермасивните црни дупки. Ако некоја од нив насобере материја со јадрена густина (густината на јадрото на еден атом, околу 10¹⁸ кг/м³, неутронските ѕвезди ја постигнуваат оваа густина), таквото насобирање ќе предизвика колапс во сопствениот Шварцшилдов полупречник од околу 3 сончеви маси а со тоа и ќе се добие ѕвездена црна дупка.

Првобитни црни дупки

Мала маса има екстремно мал Шварцшилдов полупречник. Маса слична на Монт Еверест има Шварцшилдов полупречник со големина помала од нанометар. Просечната густина при тие големини ќе биде толку голема што не постои познат механизам кој може да ги збие толку телата. Овие црни дупки веројатно се создале во раниот развој на универзумот, веднаш по големата експлозија, кога густините биле екстремно високи. Па така овие хипотетични минијатурни црни дупки се наречени првобитни црни дупки.

Други употреби на Шварцшилдовиот полупречник

Кај гравитациската дилатација на времето

Гравитациската дилатација ан времето во близина на, споро вртежни, приближно сферни тела, како што е Земјата или Сонцето може да се пресмета приближно со употреба на Шварцшилдовиот полупречник на следниот начин:

${\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}$

каде:

$t_{r}\!$ е изминатото време за набљудувачот во радијалната координата „r“ во самото гравитациско поле,

$t\!$ е изминатото време за набљудувачот оддалечен од масивното тело (а со тоа и надвор од самото поле),

$r\!$ е радијалната координата на набљудувачот (што е исто и со растојанието до центарот на телото),

$r_{s}\!$ е Шварцшилдовиот полупречник.

Резултатите од Паунд–Ребковиот опит од 1959 г. биле во согласност со предвидувањата на теоријата за општата релативност. Со мерење на Земјината временска гравитациска дилатација, овој опит индиректно го измери Земјениот Шварцшилдов полупречник.

Кај Њутновите гравитациски полиња

Њутновото гравитациско поле во близина на големо, споро вртежно, скоро сферно тело може да се пресмета приближно со употреба на Шварцшилдовиот полупречник на следниов начин:

${\frac {g}{r_{s}}}\left({\frac {r}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

каде:

$g\!$ е гравитациското забрзување во радијалната координата „r“,

$r_{s}\!$ е Шварцшилдовиот полупречник на гравитациското централно тело,

$r\!$ е радијалната координата,

$c\!$ е брзина на светлината во вакуум.

На површината на Земјата:

${\frac {9,80665\ \mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}}{8,870056\ \mathrm {mm} }}\left({\frac {6375416\ \mathrm {m} }{299792458\ \mathrm {m} /\mathrm {s} }}\right)^{2}=\left(1105,59\ \mathrm {s} ^{-2}\right)\left(0,0212661\ \mathrm {s} \right)^{2}={\frac {1}{2}}.$

Кај Кеплеровите орбити

За сите кружни орбити околу централно тело:

${\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

каде:

$r\!$ е полупречникот на орбитата,

$r_{s}\!$ е Шварцшилдовиот полупречник на гравитациското централно тело,

$v\!$ е орбиталната брзина;

$c\!$ е брзина на светлината во вакуум.

Истото може да се пренесе и на елиптични орбити на счедниот начин:

${\frac {a}{r_{s}}}\left({\frac {2\pi a}{cT}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

каде:

$a\!$ е големата полуоска;

$T\!$ е орбиталниот период.

За земјата која кружи околу Сонцето:

${\frac {1\,\mathrm {AU} }{2953,25\,\mathrm {m} }}\left({\frac {2\pi \,\mathrm {AU} }{\mathrm {light\,year} }}\right)^{2}=\left(50655379,7\right)\left(9,8714403\times 10^{-9}\right)={\frac {1}{2}}.$

Релативистички кружни орбити и фотонски орбити

Кеплеровата равенка за кружните орбити може да се воопшти на релативистичка равенка за кружни орбити земајќи ја предвид и временската дилатацијапреку брзината:

${\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}$

${\frac {r}{r_{s}}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)={\frac {1}{2}}$

$\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\left({\frac {r}{r_{s}}}-1\right)={\frac {1}{2}}.$

Последната равенка покажува дека телото кое орбитира со брзина на светлината ќе има орбитален полупречник 1,5 пати поголем од Шварцшилдовиот полупречник. Ова е специјална орбита позната под името фотонска орбита.

Поврзано

• Црна дупка
• Чандрасекарова граница