Рамнодијагонален четириаголник

Во Евклидовата геометрија, рамнодијагонален или еквидијагонален четириаголник е испакнат четириаголник чии две дијагонали имаат еднаква должина. Рамнидијагоналните четириаголници биле важни во древната индиска математика, каде што четириаголниците прво биле класифицирани според тоа дали се рамнодијагонални, а потоа во повеќе специјализирани видови.

Рамнодијагонален четириаголник, прикажани се неговите еднакви дијагонали, Варињоновиот ромб и нормалните бимедијани

Посебни случаи

Во рамнодијагонални четириаголници спаѓаат рамнокраките трапези, правоаголниците и квадратите.

Рамнодијагонален делтоид што го максимизира односот на обемот и пречникот, впишан во Релоов триаголник

Помеѓу сите четириаголници, обликот што има најголем однос на неговиот обем и неговиот пречник е рамнодијагонален делтоид со агли π/3, 5π/12, 5π/6 и 5π/12.

Особини

Испакнат четириаголник е рамнодијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм, паралелограмот образуван од средните точки на неговите страни, е ромб. Еквивалентен услов е бимедијаните на четириаголникот (дијагоналите на Варињоновиот паралелограм) да бидат нормални.

Испакнат четириаголник со дијагонални должини $p$ и $q$ и бимедијални должини $m$ и $n$ е рамнодијагонален ако и само ако:

$pq=m^{2}+n^{2}.$

Плоштина

Плоштината K на рамнодијагонален четириаголник лесно може да се пресмета ако се знае должината на бимедијаните m и n. Четириаголникот е рамнодијагонален ако и само ако:

$\displaystyle K=mn.$

Ова е непосредна последица на фактот дека плоштината на испакнатиот четириаголник е двапати поголема од плоштината на неговиот Варињонов паралелограм и дека дијагоналите во овој паралелограм се бимедијани на четириаголникот. Користејќи ги формулите за должините на бимедијаните, плоштината може да се изрази и во однос на страните a, b, c, d на рамнодијагоналниот четириаголник и растојанието x помеѓу средните точки на дијагоналите како:

$K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.$

Други формули за плоштина може да се добијат со поставување p = q во формулите за плоштина на испакнат четириаголник.

Врска со други видови четириаголници

Паралелограмот е рамнодијагонален ако и само ако е правоаголник, а трапезот е рамнодијагонален ако и само ако е рамнокрак трапез. Тетивните рамнодијагонални четириаголници се токму рамнокракните трапези.

Постои двојство помеѓу рамнодијагоналните и ортодијаголните четириаголници: четириаголникот е рамностран ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм е ортодијагонален (ромб), а четириаголникот е ортодијагонален ако и само ако неговиот Варињонов паралелограм е рамнодијагонален (правоаголник). Еквивалентно, четириаголник има еднакви дијагонали ако и само ако има нормални бимедијани, и има нормални дијагонали ако и само ако има еднакви бимедијани. Силвестер (2006) дава дополнителни врски помеѓу рамнодијагоналните и ортодијагоналните четириаголници, преку обопштување на Ван Обеповата теорема.

Четириаголниците кои се и ортодијагонални и рамнодијагонални, и кај кои дијагоналите се долги барем колку сите страни на четириаголникот, имаат максимална површина за нивниот дијаметар меѓу сите четириаголници, решавајќи го случајот n = 4 на најголемиот мал проблем со многуаголник . Квадратот е еден таков четириаголник, но има бескрајно многу други. Рамнодијагоналните, ортодијагонални четириаголници се нарекуваат средноквадратни четириаголници бидејќи тие се единствените за кои Варињоновиот паралелограм (со темиња во средните точки на страните на четириаголникот) е квадрат. Таков четириаголник, со последователни страни a, b, c, d, има површина:

$K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right).$

Средноквадратен паралелограм е точно квадрат.

• 
  Пример на средноквадратен четириаголник
• 
  Средноквадратен трапез
• 
  Средноквадратен делтоид
• 
  „средноквадратен паралелограм“, квадрат

Надворешни врски

• A Van Aubel like property of an Equidiagonal Quadrilateral at Dynamic Geometry Sketches, interactive geometry sketches.