Аксиоми на Тарски

Аксиомите на Тарски (според Алфред Тарски), се збир аксиоми за суштинскиот дел од Евклидовата геометрија кој може да се формулира како логика од прв ред со идентитет и за кој не е потребна теоријата на множества (Tarski 1959) ,т.е. тој дел од Евклидовата геометрија е формулирана како елементарна теорија ). Други модерни аксиомизации на Евклидовата геометрија се Хилбертовите аксиоми и Бирхофовите аксиоми .

Преглед

На почетокот на неговата кариера Тарски предавал геометрија и ја истражувал теоријата на множества. Неговиот колега Стивен Гивант (1999) ја објаснил почетната точка на Тарски:

Од Енрикес, Тарски дознал за работата на Марио Пјери, италијански геометар кој бил под силно влијание на Пеано. Тарски го претпочитал системот на Пиери [од неговиот труд Точка и сфера], во кој логичката структура и сложеноста на аксиомите биле потранспарентни.

Потоа Гивант вели дека „со типична темелност“ Тарски го осмислил својот систем:

Што беше различно кај пристапот на Тарски кон геометријата? Како прво, аксиомскиот систем бил многу поедноставен од кој било од аксиомските системи кои постоеле дотогаш. Всушност, должината на сите аксиоми на Тарски заедно не е многу повеќе од само една од 24-те аксиоми на Пиери. Тоа беше првиот систем на Евклидовата геометрија кој беше доволно едноставен за сите аксиоми да се изразат само преку примитивните поими, без помош на дефинирани поими. Уште поважно, за прв пат беше направена јасна разлика помеѓу целосната геометрија и нејзиниот елементарен дел - т.е. нејзиниот дел од прв ред.

Како и другите модерни аксиоматизации на Евклидовата геометрија, Тарски користи формален систем составен од низи на симболи, наречени реченици, чија конструкција ги почитува формалните синтаксички правила и правилата на докажување кои ги одредуваат дозволените манипулации на речениците. За разлика од некои други модерни аксиоматизации, како што се Бирхофовата и Хилбертовата, аксиоматизацијата на Тарски нема примитивни објекти освен точките, така што променлива или константа не може да се однесува на права или агол. Бидејќи точките се единствените примитивни објекти, и бидејќи системот на Тарски е теорија од прв ред, не е можно ниту правите да се дефинираат како множества од точки. Единствените примитивни односи (предикати) се „помеѓу“ и „конгруентност“ меѓу точките.

Аксиоматизацијата на Тарски е пократка од нејзините ривали, во смисла дека Тарски и Гивант (1999) ја прават експлицитна. Таа е поконцизна од онаа на Пиери бидејќи Пиери имал само два примитивни поима додека Тарски вовел три: точка, меѓусебност и конгруентност. Таквата економија на примитивни и дефинирани поими значи дека системот на Тарски не е многу погоден за правење на Евклидова геометрија. Наместо тоа, Тарски го дизајнирал својот систем за да ја олесни неговата анализа преку алатките на математичката логика, т.е. за да го олесни изведувањето на неговите метаматематички својства. Системот на Тарски го има необичното својство дека сите реченици можат да бидат напишани во универзално-егзистенцијална форма, посебен случај на нормалната форма на пренекс. Оваа форма ги има сите универзални квантификатори кои претходат на сите егзистенцијални квантификатори, така што сите реченици може да се преформулираат во форма $\forall u\forall v\ldots \exists a\exists b\dots .$ Овој факт му овозможил на Тарски да докаже дека Евклидовата геометрија може да се реши: постои алгоритам со кој може да се одреди дали некоја реченица е вистинита или не е. Аксиоматизацијата на Тарски е и комплетна. Ова не е во спротивност со првата теорема за некомплетност на Гедел, бидејќи на теоријата на Тарски и недостига експресивната моќ која е потребна за толкување на аритметиката на Робинсон (Franzén 2005).

Аксиоми

Алфред Тарски работел на аксиоматизација и метаматематика на Евклидовата геометрија наизменично од 1926 година до неговата смрт во 1983 година, при што во делото Тарски (1959) го најавил неговиот зрел интерес за оваа тема. Трудот на Тарски и неговите студенти за Евклидовата геометрија кулминирала во монографијата Schwabhäuser, Szmielew и Tarski (1983), во која ги поставиле 10-те аксиоми и една аксиомска шема прикажани подолу, поврзаната метаматематика и прилично малку од темата. Гупта (1965) дал важни придонеси, а во Тарски и Гивант (1999) е опишана историјата.

Фундаментални односи

Овие аксиоми се поелегантна верзија на множеството кое Тарски го смислил во 1920-тите како дел од неговото истражување за метаматематичките својства на геометријата на Евклидската рамнина. За оваа цел било потребно преформулирање на таа геометрија како теорија од прв ред . Тарски го направил тоа поставувајќи универзум од точки, со мали букви кои означуваат променливи кои примаат вредности од тој универзум. Еднаквоста е обезбедена од основната логика (види логика од прв ред#Еднаквост и нејзините аксиоми ). Тарски тогаш поставил две примитивни релации:

• Помеѓу, триадична релација. Атомската реченица Bxyz или (y)B(x,z) означува дека y е „помеѓу“ x и z, со други зборови, дека y е точка на отсечката xz . (Оваа релација се толкува инклузивно, така што Bxyz е тривијално точно секогаш кога x=y или y=z).
• Конгруенција (или „еднаквост“), тетрадична врска. Атомската реченица Cwxyz или (w,x)C(y,z) или вообичаено wx ≡ yz може да се толкува како wx е складна на yz, со други зборови, дека должината на отсечката wx е еднаква на должината на отсечката yz .

Релацијата „помеѓу“ ја доловува афиноста (како што е паралелноста на прави) на Евклидовата геометрија. Со конгруентноста, е покриен нејзиниот метрички аспект (како агли и растојанија). Позадинската логика вклучува идентитет, бинарна релација. Во аксиомите се повикува на идентитетот (или неговата негација) во пет наврата.

Аксиомите подолу се групирани според типовите на релации на кои се повикуваат, а потоа се подредени прво според бројот на егзистенцијални квантификатори, а потоа според бројот на атомските реченици. Аксиомите треба да се читаат како универзални затворачи; оттука сите слободни променливи треба да се земат како премолчено универзално квантифицирани.

Аксиоми за конгруентност

Рефлексивност на конгруенцијата

$xy\equiv yx\,.$

Идентитет од конгруенција

$xy\equiv zz\rightarrow x=y.$

Транзитивност на конгруенција

$(xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.$

Коментар

Додека релацијата конгруентност $xy\equiv zw$ формално е 4-насочна врска меѓу точките, исто така може да се смета, неформално, како бинарна врска меѓу две отсечки $xy$ и $zw$. Со комбинација на горенаведените аксиоми „Рефлексивност“ и „Транзитивност“, се докажува дека:

• оваа бинарна релација е всушност еквиваленција. Таа е:
  • рефлексивна: $xy\equiv xy$ .
  • симетрична: $xy\equiv zw\rightarrow zw\equiv xy$ .
  • транзитивна: $(xy\equiv zu\land zu\equiv vw)\rightarrow xy\equiv vw$ .
• и редоследот по кој се наведени точките на отсечка е ирелевантен.
  • $xy\equiv zw\rightarrow xy\equiv wz$ .
  • $xy\equiv zw\rightarrow yx\equiv zw$ .
  • $xy\equiv zw\rightarrow yx\equiv wz$ .

Аксиомата „транзитивност“ тврди дека складноста е Евклидова, со тоа што е испочитуван првиот од „вообичаените поими“ на Евклид .

Аксиомата „Идентитет од конгруенција“ интуитивно наведува дека ако xy е складна со отсечка што почнува и завршува во иста точка, x и y се иста точка. Ова е тесно поврзано со поимот рефлексивност за бинарни односи .

Аксиоми за „Помеѓу“

Аксиома на Паш

Идентитетот „Помеѓу“

$Bxyx\rightarrow x=y.$

Единствена точка на линискиот сегмент $xx$ е $x$.

Аксиома на Паш

$(Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).$

Непрекинатост: φ и ψ го делат зракот на две половини и аксиомата го потврдува постоењето на точка b која ги дели тие две половини

Аксиомска шема на непрекинатост

Нека φ(x) и ψ(y) се формули од прв ред што не содржат слободни примероци ниту на a ниту на b. Исто така, нека нема слободни примери на x во ψ(y) или на y во φ(x). Тогаш сите примери на следнава шема се аксиоми:

$\exists a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \exists b\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].$

Нека r е зрак со крајна точка a. Нека формулите од прв ред φ и ψ ги дефинираат подмножествата X и Y од r, така што секоја точка во Y е десно од секоја точка од X (во однос на a). Тогаш постои точка b во r која лежи помеѓу X и Y. Во суштина, ова е конструкцијата на пресек на Дедекинд, изведена на начин што избегнува квантификација преку множества.

Пониска димензија

$\exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].$

Постојат три неколинеарни точки. Без оваа аксиома, теоријата би можела да се моделира со еднодимензионална реална права, една точка или дури и празно множество.

Конгруентност и помеѓу

Повисока димензија

Повисока димензија

$(xu\equiv xv)\land (yu\equiv yv)\land (zu\equiv zv)\land (u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).$

Три точки кои се еднакво оддалечени од две различни точки формираат права. Без оваа аксиома, теоријата би можела да се моделира со тридимензионален или повисокодимензионален простор.

Аксиома на Евклид

Секоја од трите варијанти на оваа аксиома, сите еквивалентни во однос на преостанатите аксиоми на Тарски со постулатот за паралела на Евклид, има предност во однос на другите:

• А разделува егзистенцијални квантификатори ;
• Б има најмалку променливи и атомски реченици ;
• В бара само еден примитивен поим, меѓусебност. Оваа варијанта вообичаено се дава во литературата.

А : $((Bxyw\land xy\equiv yw)\land (Bxuv\land xu\equiv uv)\land (Byuz\land yu\equiv uz))\rightarrow yz\equiv vw.$

Нека отсечка ги спојува средините на две страни од даден триаголник. Таа отсечка ќе биде долга колку половина од третата страна. Ова е еквивалентно на тврдењето дека збирот на внатрешните агли на кој било триаголник е еднаков на два прави агли.

Б : $Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy\lor \exists a\,(xa\equiv ya\land xa\equiv za).$

За даден произволен триаголник, постои кружница која ги содржи сите негови темиња.

Аксиома на Евклид: В

В : $(Bxuv\land Byuz\land x\neq u)\rightarrow \exists a\,\exists b\,(Bxya\land Bxzb\land Bavb).$

За произволен агол и која било точка v во неговата внатрешност, постои отсечка која ја содржи v, со крајни точки на двете страни од аголот.

Пет отсечки

Пет отсечки

${(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu\equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.$

Започнете со два триаголника, xuz и x'u'z'. Нацртајте ги отсечките yu и y'u', поврзувајќи го секое теме од секој триаголник со точка на страната која е спротивна на темето. Резултатот е два поделени триаголника, секој составен од пет отсечки. Ако четири отсечки од еден триаголник се складни со соодветна отсечка во другиот триаголник, тогаш петте отсечки во двата триаголника мора да бидат складни.

Ова е еквивалентно на признакот САС (страна-агол-страна) за складност на два триаголника; ако аглите uxz и u'x'z' се складни (постојат складни триаголници xuz и x'u'z' ), а двата пара соодветни страни се складни (xu ≡ x'u' и xz ≡ x'z'), тогаш преостанатиот пар страни се исто така складни (uz ≡ u'z').

Конструкција на отсечки

$\exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].$

За која било точка y, во која било насока (одредена со x) може да се нацрта отсечка која е складна на која било дадена отсечка ab.

Дискусија

Поаѓајќи од две примитивни релации чие поле е густ универзум од точки, Тарски изградил геометрија на отсечки на прави. Според Тарски и Гивант (1999: 192-93), ниту една од горенаведените аксиоми не е фундаментално нова. Првите четири аксиоми воспоставуваат некои елементарни својства на двете примитивни релации. На пример, Рефлексивноста и Транзитивноста на Конгруенцијата утврдуваат дека Конгруенцијата е релација за еквиваленција за правите отсечки. Идентитетот на Конгруенцијата и релацијата Помеѓу го решаваат тривијалниот случај кога тие односи се применуваат на неразлични точки. Теоремата xy ≡ zz ↔ x = y ↔ Bxyx ги проширува овие аксиоми на Идентитетот.

Голем број други својства на Помеѓу може да се изведат како теореми^{[се бара извор]} me]u кoи:

• Рефлексивност: Bxxy;
• Симетрија: Bxyz → Bzyx;
• Транзитивност: (Bxyw ∧ Byzw) → Bxyz;
• Поврзаност: (Bxyw ∧ Bxzw) → (Bxyz ∨ Bxzy).

Последните две својства целосно ги подредуваат точките кои ја сочинуваат отсечката.

Горната и Долната димензија заедно бараат секој модел од овие аксиоми да има специфична конечна димензионалност. Соодветните промени во овие аксиоми даваат множества на аксиоми за Евклидовата геометрија за димензии 0, 1 и поголеми од 2 (Tarski and Givant 1999: Аксиоми 8⁽¹⁾, 8⁽ⁿ⁾, 9⁽⁰⁾, 9⁽¹⁾, 9⁽ⁿ⁾ ). Забележете дека за цврстата геометријане се потрбни нови аксиоми, за разлика од случајот со Хилбертовите аксиоми. Згора на тоа, Долната димензија за n димензии е едноставно негација на горната димензија за n - 1 димензии.

Кога бројот на димензиите е поголем од 1, релацијата Помеѓу може да се дефинира преку Конгруентноста (Тарски и Гивант, 1999). Прво се дефинира релацијата „≤“ (каде $ab\leq cd$ се толкува „должината на отсечката $ab$ е помала или еднаква на должината на отсечката $cd$"):

$xy\leq zu\leftrightarrow \forall v(zv\equiv uv\rightarrow \exists w(xw\equiv yw\land yw\equiv uv)).$

Во случај на две димензии, интуицијата е следнава: За која било отсечка xy, се зема можниот опсег на должини на xv, каде што v е која било точка на нормалната симетрала на xy. Очигледно е дека додека не постои горна граница на должината на xv, постои долна граница, која се јавува кога v е средната точка на xy . Значи, ако xy е пократок или еднаков на zu, тогаш опсегот на можните должини на xv ќе биде надмножество од опсегот на можни должини на zw, каде што w е која било точка на нормалната симетрала на zu .

Потоа може да се дефинира релацијата Помеѓу со користење на интуицијата дека најкраткото растојание помеѓу кои било две точки е отсечка:

$Bxyz\leftrightarrow \forall u((ux\leq xy\land uz\leq zy)\rightarrow u=y).$

Аксиомската шема за непрекинатост нè уверува дека подредувањето на точките на правата е комплетно (во однос на својствата што може да се дефинирливи од прв ред). Аксиомите на Паш и Евклид се добро познати. Треба да се забележи дека за Евклидовата геометрија се потребни само следниве дополнителни аксиоми:

• Конструкција на отсечки. Оваа аксиома ги овозможува мерењето и Декартовиот координатен систем со едноставно доделување на реалниот број 1 на некоја произволна непразна отсечка; 

Нека ддф значи добро дефинирана формула (или синтаксички правилна формула) на елементарната геометрија. Тарски и Гивант (1999: 175) докажале дека елементарната геометрија е:

• Конзистентна : Не постои ддф таква што и таа и нејзината негација истовремено се теореми;
• Комплетна: За секоја реченица или таа или нејзина негација е докажлива теорема од аксиомите;
• Решлива: Постои алгоритам со кој се проверува вистинитоста на секоја реченица. Ова следува од Тарскиевите:
  • Постапка за одлучување за реално затворено поле, кое го нашол со елиминација на квантификаторите (теорема на Тарски-Зајденберг);
  • Аксиоми кои овозможуваат (повеќедимензионална) верна интерпретација како реално затворено поле .

Гупта (1965) докажал дека горенаведените аксиоми се независни, со исклучок на аксиомата на Паш и Рефлексивноста на конгруенцијата.

Со негирање на Аксиомата на Евклид се добива хиперболичната геометрија, додека со целосна елиминација се добива апсолутната геометрија. Целосната (за разлика од елементарната) Евклидова геометрија бара откажување од аксиоматизацијата од прв ред: се заменуваат φ(x) и ψ(y) во аксиомската шема за Непрекинатост со x ∈ A и y ∈ B, каде A и B се универзално квантифицирани променливи кои примаат вредности од множества од точки.

Споредба со Хилбертовите аксиоми

Хилбертовите аксиоми за рамнината геометрија се 16 на број, и ги вклучуваат Транзитивноста на конгруенцијата и варијанта на Аксиомата на Паш. Единствениот поим од интуитивната геометрија кој се повикува во забелешките за аксиомите на Тарски е триаголникот. (Верзиите B и C од Аксиомата на Евклид се однесуваат на „кружница“ и „агол“, соодветно.) Во Хилбертовите аксиоми потребни се поимите „полуправа (или зрак)“, „агол“ и поим за триаголник кој „вклучува“ агол. Покрај релациите Помеѓу и Конгруенција, кај Хилбертовите аксиоми се бара примитивна бинарна релација „лежи на“, со која се поврзуваат поимите точка и права. Аксиомската шема за непрекинатост игра улога слична на двете аксиоми на Хилберт за непрекинатост. Оваа шема е незаменлива; Евклидовата геометрија во јазикот на Тарски (или еквивалентен со него) не може да биде крајно аксиоматизирана како теорија од прв ред. Хилбертовите аксиоми не сочинуваат теорија од прв ред бидејќи за неговите аксиоми за непрекинатост е потребна логика од втор ред .

Првите четири групи аксиоми од Хилбертовите аксиоми за геометрија на рамнина се би-интерпретабилни со Тарските аксиоми освен непрекинатоста.

Исто така види

• Евклидова геометрија
• Евклидов простор

Наводи

• Franzén, Torkel (2005), Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, A K Peters, ISBN 1-56881-238-8
• Givant, Steven (1 December 1999). „Unifying threads in Alfred Tarski's Work“. The Mathematical Intelligencer (англиски). 21 (1): 47–58. doi:10.1007/BF03024832. ISSN 1866-7414.
• Tarski, Alfred (1959), „What is elementary geometry?“, Во Leon Henkin, Patrick Suppes and Alfred Tarski (уред.), The axiomatic method. With special reference to geometry and physics. Proceedings of an International Symposium held at the Univ. of Calif., Berkeley, Dec. 26, 1957-Jan. 4, 1958, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, стр. 16–29, MR 0106185.
  • Available as a 2007 reprint, Brouwer Press, ISBN 1-4437-2812-8
• Tarski, Alfred; Givant, Steven (1999), „Tarski's system of geometry“, The Bulletin of Symbolic Logic, 5 (2): 175–214, doi:10.2307/421089, ISSN 1079-8986, JSTOR 421089, MR 1791303
• Schwabhäuser, W.; Szmielew, W.; Tarski, Alfred (1983). Metamathematische Methoden in der Geometrie. Springer-Verlag.
• Szczerba, L. W. (1986). „Tarski and Geometry“. Journal of Symbolic Logic. 51 (4): 907–12. doi:10.2307/2273904. JSTOR 2273904.