Хилбертови аксиоми

Хилбертови аксиоми — збир од 20 претпоставки предложени од Давид Хилберт во 1899 година во неговата книга Grundlagen der Geometrie ^[1]^[2]^[3]^[4] (прев. „Основи на геометријата“) како основа за современ третман на Евклидовата геометрија. Други познати современи аксиоматизации на Евклидовата геометрија се оние на Алфред Тарски и на Џорџ Бирхоф .

Аксиоми

Хилбертовиот аксиомски систем е конструиран со шест примитивни елемента: три примитивни поима:^[5]

точка ;
права (линија) ;
рамнина ;

и три примитивни релации (односи)^[6]:

Помеѓу, тернарна релација - релација која дава врска помеѓу три точки;
Лежи на (припадност), три бинарни релации од кои една за врска меѓу точки и прави, една за врска меѓу точки и рамнини и една за врска меѓу прави и рамнини;
Конгруенција, две бинарни релации: една релација меѓу отсечки и една релација меѓу агли, секоја означена со инфиксот ≅ .

Отсечки, агли и триаголници може да се дефинираат преку точки и прави, користејќи ги релациите помеѓу и припадност. Сите точки, прави линии и рамнини во следните аксиоми се различни освен ако не е поинаку наведено.

I. Инцидентност

За секои две точки A и B постои права a која ги содржи. Пишуваме AB = a или BA = a. Наместо зборот „содржи“, можеме да користиме и други форми на изразување; на пример, може да кажеме „А лежи на а“, „А е точка на а“, „а поминува низ А и низ B“, „а ја спојува А со B“, итн. Ако A лежи на a, а во исто време и на друга права b, го користиме и изразот: „Правите a и b ја имаат заедничката точка A“ итн.
За секои две точки не постои повеќе од една права која ги содржи двете; следствено, ако AB = a и AC = a, каде што B ≠ C, тогаш исто така BC = a .
Постојат најмалку две точки на една права. Постојат најмалку три точки кои не лежат на иста права.
За секои три точки A, B, C кои не се наоѓаат на иста права, постои рамнина α која ги содржи сите. За секоја рамнина постои точка која лежи на неа. Запишуваме ABC = α . Ги користиме и изразите: „A, B, C лежат во α“; „A, B, C се точки на α“, итн.
За секои три точки A, B, C кои не лежат на иста права, не постои повеќе од една рамнина која ги содржи сите.
Ако две точки A, B од правата лежат во рамнина α, тогаш секоја точка од а лежи во α. Во овој случај велиме: „Правата a лежи во рамнината α“, итн.
Ако две рамнини α, β имаат заедничка точка A, тогаш тие имаат барем уште една втора заедничка точка B.
Постојат најмалку четири точки кои не лежат во рамнина.

II. Подреденост, ред

Ако точката B лежи помеѓу точките A и C, B е исто така помеѓу C и A, и постои права која ги содржи различните точки A, B, C.
Ако A и C се две точки, тогаш постои барем уште една точка B на правата AC таква што C лежи помеѓу A и B. ^[7]
Од трите точки на една права, нема повеќе од една која лежи помеѓу другите две.^[8]
Аксиома на Паш : Нека A, B, C се три точки кои не лежат на иста права и нека a е права која лежи во рамнината ABC и не поминува низ ниту една од точките A, B, C. Потоа, ако правата a поминува низ точка на отсечката AB, таа исто така ќе помине или низ точка на отсечката BC или низ точка на отсечката AC.

III. Конгруентност (складност)

Ако A, B се две точки на права a, и ако A' е точка на истата или на друга права a', тогаш, на дадена страна на A' на правата a' секогаш можеме да најдеме точка B′ така што отсечката AB е складна со отсечката A′B′. Оваа релација се означува со AB ≅ A′B′. Секој сегмент е складен на самиот себе, т.е. имаме AB ≅ AB.
Пократко, оваа аксиома вели дека секоја отсечка може да се нанесе на дадена страна од дадена точка на дадена права линија на барем еден начин.
Ако отсечката AB е складна на отсечката A′B′ и, исто така, на отсечката A″B″, тогаш отсечката A′B′ е складна на отсечката A″B″, т.е. ако AB ≅ A′B′ и AB ≅ A″B″, тогаш A′B′ ≅ A″B″ (транзитивност).
Нека AB и BC се две отсечки од правата a кои немаат заеднички точки освен точката B, и, дополнително, нека A'B' и B'C' се две отсечки од истата или од друга права а' кои немаат друга заедничка точка освен B'. Тогаш, ако AB ≅ A′B′ и BC ≅ B′C′, имаме AC ≅ A′C′ .
Нека е даден агол ∠ (h,k) во рамнината α и нека е дадена права a′ во рамнина α'. Исто така, да претпоставиме дека во рамнината α′ земаме една одредена полурамнина (страна) во однос на правата a′. Со h’ го означуваме зракот (полуправата) од правата a’ со почеток во точката O’ од оваа права. Тогаш во рамнината α′ има еден и само еден зрак k′ за кој аголот ∠ (h, k), или ∠ (k, h), е складен на аголот ∠ (h′, k′) и во исто време сите внатрешни точки на аголот ∠ (h′, k′) лежат на дадената страна на a′. Оваа врска ја означуваме со ∠ (h, k) ≅ ∠ (h′, k′) .
Ако аголот ∠ (h, k) е истовремено складен на аголот ∠ (h′, k′) и на аголот ∠ (h″, k″), тогаш аголот ∠ (h′, k′) е складен на аголот ∠ (h″, k″), т.е. ако ∠ (h, k) ≅ ∠ (h′, k′) и ∠ (h, k) ≅ ∠ (h″, k″), тогаш ∠ (h′, k′) ≅ ∠ (h″, k″).
Ако во двата триаголника ABC и A′B′C' важат конгруенциите AB ≅ A′B′, AC ≅ A′C′, ∠BAC ≅ ∠B′A′C′, тогаш конгруенцијата ∠ABC ≅ ∠A′B′C′ важи (и, со промена на ознаката, следува дека важи и ∠ACB ≅ ∠A′C′B′ “.

IV. Паралели

Евклидова аксиома:^[9] Нека a е која било права, а точката A не е на неа. Тогаш има најмногу една права во рамнината, определена со a и A, која минува низ A и не ја сече a.

V. Непрекинатост

Аксиома на Архимед: Ако AB и CD се некои отсечки, тогаш постои број n таков што меѓу n отсечки CD конструирани последователно од A, долж зракот од A кон B, постои некоја која ја содржи точката B.
Аксиома на комплетност на права: Не постои проширување (проширување на права која веќе постои, обично се користи во геометријата) на множеството од точки на правата со редослед и конгруентни односи кои би ги зачувале односите што веќе постојат меѓу оригиналните елементи, како и фундаменталните својства на редот и конгруентноста на права кои следуваат од аксиомите I-III и од V-1.

Отфрлената аксиома на Хилберт

Хилберт (1899) вклучил и уште една, 21-ва аксиома:

II.4. Секои четири точки A, B, C, D од правата секогаш можат да бидат означени така што B ќе лежи помеѓу A и C, а исто така и помеѓу A и D, и, дополнително, C ќе лежи помеѓу A и D и исто така помеѓу B и D.

Е.Х. Мур и Р.Л. Мур независно докажале дека оваа аксиома е излишна, а првиот го објавил овој резултат во една статија објавена во Трансакции на Американското математичко друштво во 1902 година.^[10]

Пред ова, аксиомата сега наведена како II.4. била нумерирана како II.5.

Изданија и преводи на Grundlagen der Geometrie

Оригиналната монографија, заснована на неговите сопствени предавања, била организирана и напишана од Хилберт за меморијалното обраќање во 1899 година. Ова било брзо проследено со француски превод, во кој Хилберт ја додал V.2, Аксиомата за комплетност. Преводот на англиски јазик, овластен од Хилберт, бил направен од Е.Џ. Таунсенд и заштитен со авторски права во 1902 година. Овој превод ги вклучил промените направени во францускиот превод и затоа се смета дека е превод на второто издание. Хилберт продолжил да прави промени во текстот и се појавиле неколку изданија на германски јазик. Седмото издание било последното кое се појавило во животот на Хилберт. Во предговорот на ова издание Хилберт напишал:

„Сегашното седмо издание на мојата книга Основи на геометријата носи значителни подобрувања и дополнувања на претходното издание, делумно од моите последователни предавања на оваа тема и делумно од подобрувањата направени во меѓувреме од други писатели. Главниот текст на книгата е соодветно ревидиран“.

По седмото следеле нови изданија, но главниот текст во суштина не бил ревидиран. Измените во овие изданија се биле во прилозите и во додатоците. Промените во текстот биле големи во споредба со оригиналот и бил нарачан нов англиски превод од Open Court Publishers, кои го објавија преводот на Таунсенд. Така, второто англиско издание било преведено од Лео Унгер од 10-то германско издание во 1971 година. Овој превод вклучува неколку ревизии и проширувања на подоцнежните германски изданија од Пол Бернајс.

Преводот на Унгер се разликува од преводот Таунсенд во однос на аксиомите во следново:

Старата аксиома II.4 е преименувана како теорема 5 и соодветно поместена.
Старата аксиома II.5 (Пашова аксиома) е пренумерирана како II.4.
V.2, Аксиомата за комплетност на правите е заменета со:

Аксиома за комплетност. На систем од точки, прави и рамнини, невозможно е да се додадат други елементи така што така генерализираниот систем ќе формира нова геометрија која ги почитува сите пет групи на аксиоми. Со други зборови, елементите на геометријата формираат систем кој не е подложен на проширување, ако ги сметаме за валидни петте групи на аксиоми.

Старата аксиома V.2 сега е теорема 32.

Последните две модификации се должат на P. Bernays.

Други промени кои вреди да се забележат се:

Терминот права линија кој го користел Таунсенд насекаде е заменет со права.
Аксиомите на инциденца од Таунсенд биле наречени Аксиоми за поврзување.

Примена

Овие аксиоми ја аксиоматизираат Евклидовата цврста геометрија. Отстранувањето на пет аксиоми во кои се споменува „рамнина“ на суштински начин, имено I.4–8, и менувањето на III.4 и IV.1 за да се изостави спомнувањето на рамнините, дава аксиоматизација на геометријата на Евклидовата рамнина.

Хилбертовите аксиоми, за разлика од аксиомите на Тарски, не сочинуваат теорија од прв ред бидејќи аксиомите V.1–2 не можат да се изразат во логика од прв ред .

Вредноста на Хилбертовите Основи била повеќе методолошка отколку суштинска или педагошка. Други големи придонеси за аксиоматиката на геометријата биле оние на Мориц Паш, Марио Пјери, Освалд Веблен, Едвард Вермилје Хантингтон, Гилберт Робинсон и Хенри Џорџ Фордер. Вредноста на Grundlagen е неговиот пионерски пристап кон метаматематичките прашања, вклучително и употребата на модели за докажување на независни аксиоми како и потребата да се докаже доследноста и комплетноста на еден аксиомски систем.

Математиката во XX век еволуираше во мрежа од аксиоматски формални системи. Ова беше, во значителен дел, под влијание на примерот што Хилберт го постави во Грундлаген. Сепак, обидот од 2003 година (Meikle и Fleuriot) да се формализира Grundlagen со компјутер, покажа дека некои од доказите на Хилберт се чини дека се потпираат на дијаграми и геометриска интуиција, и како такви откриле некои потенцијални нејаснотии и пропусти во неговите дефиниции.^[11]

Поврзано

Евклидов простор
Основи на геометријата

Белешки

↑ Sommer, Julius (1900). „Review: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899“ (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 6 (7): 287–299. doi:10.1090/s0002-9904-1900-00719-1.
↑ Poincaré, Henri (1903). „Poincaré's review of Hilbert's "Foundations of Geometry", translated by E. V. Huntington“ (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 10: 1–23. doi:10.1090/S0002-9904-1903-01061-1.
↑ Schweitzer, Arthur Richard (1909). „Review: Grundlagen der Geometrie, Third edition, Teubner, 1909“ (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 15 (10): 510–511. doi:10.1090/s0002-9904-1909-01814-2.
↑ Gronwall, T. H. (1919). „Review: Grundlagen der Geometrie, Fourth edition, Teubner, 1913“ (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 20 (6): 325–326. doi:10.1090/S0002-9904-1914-02492-9.
↑ These axioms and their numbering are taken from the Unger translation (into English) of the 10th edition of Grundlagen der Geometrie.
↑ One could count this as six relations as specified below, but Hilbert did not do so.
↑ In the Townsend edition this statement differs in that it also includes the existence of at least one point D with C between A and D, which became a theorem in a later edition.
↑ The existence part ("there is at least one") is a theorem.
↑ This is Hilbert's terminology. This statement is more familiarly known as Playfair's axiom.
↑ Moore, E.H. (1902), „On the projective axioms of geometry“ (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 3 (1): 142–158, doi:10.2307/1986321, JSTOR 1986321
↑ On page 334: "By formalizing the Grundlagen in Isabelle/Isar we showed that Hilbert's work glossed over subtle points of reasoning and relied heavily, in some cases, on diagrams which allowed implicit assumptions to be made. For this reason it can be argued that Hilbert interleaved his axioms with geometric intuition in order to prove many of his theorems."

Наводи

Хауард Евс, 1997 (1958). Основи и фундаментални поими на математиката. Довер. Chpt. 4.2 ги опфаќа Хилбертовите аксиоми за геометрија на рамнина.
Ајвор Гратн-Гинис, 2000 година. Во потрага по математичките корени. Издание на Универзитетот Принстон.
Давид Хилберт, 1980 (1899). Основи на геометријата, второ издание. Чикаго: Оpen Court.
Laura I. Meikle and Jacques D. Fleuriot (2003), Formalizing Hilbert's Grundlagen in Isabelle/Isar Архивирано на 4 март 2016 г., Theorem Proving in Higher Order Logics, Lecture Notes in Computer Science, Volume 2758/2003, 319-334, doi:10.1007/10930755_21

Надворешни врски

Hazewinkel, Michiel, уред. (2001) [1994], „Hilbert system of axioms“, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
"Hilbert's Axioms" at the UMBC Math Department
"Hilbert's Axioms" at Mathworld
Foundations of Geometry public domain audiobook at LibriVox

[1] Sommer, Julius (1900). „Review: Grundlagen der Geometrie, Teubner, 1899“ (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 6 (7): 287–299. doi:10.1090/s0002-9904-1900-00719-1.

[2] Poincaré, Henri (1903). „Poincaré's review of Hilbert's "Foundations of Geometry", translated by E. V. Huntington“ (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 10: 1–23. doi:10.1090/S0002-9904-1903-01061-1.

[3] Schweitzer, Arthur Richard (1909). „Review: Grundlagen der Geometrie, Third edition, Teubner, 1909“ (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 15 (10): 510–511. doi:10.1090/s0002-9904-1909-01814-2.

[4] Gronwall, T. H. (1919). „Review: Grundlagen der Geometrie, Fourth edition, Teubner, 1913“ (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 20 (6): 325–326. doi:10.1090/S0002-9904-1914-02492-9.

[5] These axioms and their numbering are taken from the Unger translation (into English) of the 10th edition of Grundlagen der Geometrie.

[6] One could count this as six relations as specified below, but Hilbert did not do so.

[7] In the Townsend edition this statement differs in that it also includes the existence of at least one point D with C between A and D, which became a theorem in a later edition.

[8] The existence part ("there is at least one") is a theorem.

[9] This is Hilbert's terminology. This statement is more familiarly known as Playfair's axiom.

[10] Moore, E.H. (1902), „On the projective axioms of geometry“ (PDF), Transactions of the American Mathematical Society, 3 (1): 142–158, doi:10.2307/1986321, JSTOR 1986321

[11] On page 334: "By formalizing the Grundlagen in Isabelle/Isar we showed that Hilbert's work glossed over subtle points of reasoning and relied heavily, in some cases, on diagrams which allowed implicit assumptions to be made. For this reason it can be argued that Hilbert interleaved his axioms with geometric intuition in order to prove many of his theorems."

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]