Торичелиев закон

Торичелиев закон за истекување — закон кој го добил името по италијанскиот математичар и физичар Еванџелиста Торичели. Според законот брзината на истекување на течноста на дното на голем сад (со мал отвор) е еднаква како течноста слободно да паѓа од површината на течноста до отворот и е:

Торичелиевиот закон за истекување.

Брзината на истекување на течноста е толкава колку што течност од површината до отворот слободно би паѓала.

Приказ на Торичелиевиот закон.

$v={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

каде што: g – забрзување на Земјината тежа, а h – висина на отворот до површината на течноста.

Торичелиевиот закон за истекување може да се добие од Бернулиевата равенка:

${v^{2} \over 2}+g\cdot z+{p \over \rho }={\text{konstanta}}$

каде што: v – брзина на флуидот, g – забрзување на Земјината тежа, z – висина на течноста над референтната точка, p – притисок и ρ – густина. Ако утврдиме дека z = 0 за мал отвор на дното на садот, тогаш притисокот p на врвот на садот е еднаков на атмосферскиот притисок, а брзината на течноста v на врвот на садот е 0, бидејќи течноста речиси не се движи на врвот на садот или нејзината брзина е занемарлива со оглед на брзината на истекување на течноста од мал отвор. На мал отвор, каде z = 0, притисокот е ист како атмосферскиот притисок. На овој начин излегува:

$g\cdot z+{p_{atm} \over \rho }={v^{2} \over 2}+{p_{atm} \over \rho }$

$\Rightarrow v^{2}=2\cdot g\cdot z\,$

$\Rightarrow v={\sqrt {2\cdot g\cdot z}}$

z е еднакво на h, бидејќи висината на отворот е до површината на течноста, па се добива:

$v={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

Објаснување

Да замислиме дека имаме резервоар во кој тече течност од страна така што таа секогаш стои на исто ниво. На дното на резервоарот има отвор низ кој течноста истекува надвор. Течност со маса m (kg) на одредена висина h има потенцијална енергија m ∙ g ∙ h . Кога течноста истекува низ отворот на дното на резервоарот, потенцијалната енергија на течноста се претвора во кинетичка енергија, така што мора да биде:

$m\cdot g\cdot h={\frac {m\cdot v^{2}}{2}}$

каде што: v - брзина на истекување на течноста. Од овој израз произлегува дека висината на течноста до која би се качила поради кинетичката енергија е:

$h={\frac {v^{2}}{2\cdot g}}$

Оваа висина, која на течноста ѝ дава брзина v, се нарекува висина на брзината и е мерка за кинетичката енергија на течноста. Од изразот за висината во зависност од брзината, произлегува дека брзината на истекувањето е:

$v={\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

исто како и при слободен пад. Тоа значи дека брзината на истекување зависи само од висината h на течноста над отворот и не зависи од нејзината густина. Живата и водата ќе истекуваат подеднакво ако отворите се подеднакво длабоки под нивото на површината. Не е важно како е отворот сместен, односно дали ја насочува течноста надолу, настрана или нагоре. Овој закон го открил Торичели, па затоа е наречен Торичелиеви закон за истекување, кој гласи:

Брзината на истекување на течноста е толкава колку што би била ако течноста слободно би паѓала од површината на течносто до отворот.

Меѓутоа, Торичилиевиот закон важи само за идеални течности кај кои што нема внатрешно триење или вискозност, додека кај реалните течности триењето мора да се земе смета со триењето.

Теоретската количина на течност, која истекува низ отворот за една секунда, се нарекува проток и се мери во m³/s или l/s (литри во секунда) и е еднаква на цилиндар со висина v и пресек S, односно:

$Q=S\cdot v=S\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

Заради триењето на отворот, протокот всушност ќе биде помал и ќе изнесува:

$Q=0,97\cdot S\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

Ако отворот е пресечен само во ѕидот на резервоарот и не е заоблен, протокот на вода под отворот не е цилиндричен, туку стеснет, односно се јавува стеснување или контракција, па неговиот пресек е 0,64 ∙ S. Според тоа:

$Q=0,97\cdot 0,64\cdot S\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}=0,62\cdot S\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

Земајќи го предвид триењето и контракцијата, имаме општ израз за протокот:

$Q=\mu \cdot S\cdot {\sqrt {2\cdot g\cdot h}}$

каде што: μ - коефициент на истекување, така што за заоблени отвори μ = 0,97, а за отвори со остри рабови μ = 0,62.

Извори

• T. E. Faber: "Fluid Dynamics for Physicists", publisher = Cambridge University Press, 1995.
• Stanley Middleman: "An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design", publisher = John Wiley & Sons, 1997.
• Dennis G. Zill: "A First Course in Differential Equations", 2005.